Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Следовательно, д 4 1опр (р — 1) ° ° ( цР+ ( ((ц( +Р-1)(г 12 )г(г <О. дт о ' (пг+р — 1)2 Полагая е- О, получаем для и = ив л д — (црдх+ С ((и р+ьс(к)П' < 0 (1.46) дг о (г с а > 1, Ь > О. Из последнего неравенства можно вывести (1.41); см. задачи 1 и 2. С л е д с т в и е 1.9. Решение и из теоремы 1.7 удовлетворяет неравенству С ( 'г) < Л2+( — 1) ) (1 0(ь (я )) 2/(2+(т — 1)п) (1.47) где С вЂ” константа, зависящая только от т, и. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Из доказательства леммы 1.8 получаем неравенство (1.47) при условии, что ,( ие(х)Ж= 1 и 1<1. лн 451 29* Для доказательства в общем случае введем функцию 1/(т — 1 ) 1в(х,т)=~ — ) и(Ях, ах); Вз это опять решение для любых а>0, Я >0 и Х ои (, О) (х л 1, ял если аз 1((ол-1) ТлЯ ')ч — ), где Т= ) ио(х)сМ. а ял Применяя (1.47) к ои(х, 1) прн ( = 1, получаем Т2((2о(ол — 1)л) а л/(2+(пг — 1) л) Так как х ЕЯл, а Е(0, ) произвольны,следствие доказано. Задачи 1. Запишем ио = »о, и при в=О.Пусть ио ЕХ~'(й), иопределимЮЕ(0,1) по формуле 1 1 — д Ь Р Ро ар+ Ь полагая (! иПР = Пи() р,вывестн с помощью неравенспва Гельдера, что .
Пи(1)П„( Пи(т)П ар+о ~ ~((1-В)(В Ро (используя неравенство Пи(1)ПР, < ()иоПР,). Затем, используя (1.46), получить оценку 1' (и )Ро(х ~ (А/1)в. показать, что ()')» (РОЬС)ар+о-Р ~В()')» )Ро 1Ь(опора+о-Ро -(, . —.' а(р ро) В= Ср((яро + Ь вЂ” Ро) а(Р— Ро) 7= (р, + Ь- р,н р+Ь-р)' 2. Пусть р(р, 1) = 1п(Х1»(х, яро3х)П( Р+о а 1 1 аро+Ь вЂ” Ро ар+Ь вЂ” Р 452 С помощью задачи 1 вывестя, что в любой р = ро > 1 а а(ар+ Ь вЂ” р) Ф'(р) < ( р+ Ь вЂ” р)' Л(а — 1)С Используя это, а также тот факт, что Ср — 4яК при р —, показать, что а 1 й( ) м р(р,о) —— 1пЛ+С, а — 1 аро+Ь вЂ” Ро и,выбирая Л= «(яро+ Ь вЂ” ро),вывестиоценку а !пйи(«)~! <(а — 1) р(ро,О)— 1п«+С аро+Ь вЂ” ро 3.
Показать, что функция — ~х Р' ~ +) '«1 где й = (л« вЂ” 1 + 2/л) ', является решением уравнения пористой среды с мерой Дирака в качестве начальных данных, и что оно непрерывно по Гельдеру с показателем а = яв(1, 1/(л« вЂ” 1)). 4. Показать, что функпия и(х, «) = [Ах /(Т вЂ” «)1 с А = (л« вЂ” 1)/(2л«(л«+ 1)) есть решение уравнения пористой среды прил = 1. 5.Доказать,чтоесли и=4(и)=л«и '/(л« вЂ” 1) и о(х, «) =С(С« — (х — а) (С> О, пеЯ), то и = т« ' (и) есть решение уравнения пористой среды при л = 1. 6.
Доказать, что если ио Е с «(Я") «1 /,Р («1"), то Решение из теоРемы 1.7 Удовлетворяет условшо л«+р — 1 / / ~, „ч~з,/х о яи 2 з 2. Оценки расширения газа В следующем параграфе мы установим непрерывность по Гельдеру решения уравнения пористой среды. Отметим, что решение в залдче 3 из й 1 непрерывно по Гельдеру с точным показателем ппп(1, 1/(ш — 1)).Наш результат и различные оценки, приводящие к нему, локальны. Для простоты предполагаем, что ио е/ ~ (я ) «1 «, (/г~) ° (2.1) однако в силу теоремы 1.7 для регулярности при «> О достаточно предположить и, Е/.'(Лн). В этом параграфе мы приготовим все необходимое для доказательства непрерывности по Гельдеру. Мы установим несколько лемм, представляющих и самостоятельный интерес, касающихся вопроса, каким образом газ в пористой среде расширяется.
В 5 1 мы показали, как построить единственное решение и (теорема 1.2) как предел последовательности положительных решений. Нам потребуется более уточненный вариант этого процесса. 30. Л. Фридман 453 Пусть и;(х) — последовательность функций, удовлетворяющих следующим условиям: и/ЕС (сси), и/~ 1//, и/(х)=1/1. если !х1>/1/ (Я/, если 1' ), (2.2) и/<1и ! +1, и/(х)1, если /1, 1 ) ~и/(х) — — — ие(х) 1с(г -+ О, если /-+ сс и / Обозначим и/(х, с) решение уравнения пористой среды, соответствующее и/(х). Используя известные результаты по регулярности для нелинейных параболических уравнений 11301 и принцип максимума в полосе [94 а1, можно показать, что 1 т //" и.(х, с) — — ) О, 1 (2.3) еспи !ха-+ равномерно относительно С в ограниченных интервалах 0<с<т (тс!о!>0).
Соответствующее решение и/ я тогда удовлетворяет неравенству (см. (1.38) ) )' и/ я (х. с) сЫ < )' ис (х) с/х, вя вя откуда )' (и/ я (х, с) — — ) с/х < Г ~ис(х) — -~ссх вя" / вя 1 и и; я — 1/1' и 0 (по принципу максимума) . Полагая Я -+, получаем 1" (и/(х, с) — — )с/х < )~и/(х) — -) с1т ли~~ / и и и/(х, с) ~ 1/11 По принципу сравнения 194а, с. 521 и/я(х, с)>и/+, я(х, с) и, таким образом, ис(х, с)1, если 14.
Отсюда следует, что и(х, с) = Ит и/(х, с) существует, / и(х, с) полуиепрерывна сверху. (2.4) (2.5) (2.6) Решение и/ можно получить, решая уравнение пористой среды в цилиндрах Вя Х (О, ) с данными 1 и (х) на /=0, — на дВя. / Она удовлетворяет формально уравнениям '7и"' = и'7 о и ог = (|и — 1)о|го+! ~|хо! (2.9) Пусть /с = 1/(гл — 1 + (2/и) ) . Введем оператор Ю Ью ж ю| — (гп — 1) о|5т — 2п| р„о [Г„ю — — . (2.10) (2.11) Если применим Ь к обеим частям (2.9), то ле|ко выведем, что формально А(д|о) Э' О.
(2.12) Л е м м а 2.1. Имеют место следующие неравенства; иг) и, (2 13) (|и — 1)Ус о|) о (2.14) а Ьо Э' производные понимаютсл в смысле распределений. Л о к а з а т е л ь с т в о. Лостаточно доказать зтн неравенства функции и . Полагая и| о= — и ', ю,=Ьо, т — 1 (2.15) для каждой имеем, ввиду (232), Лю( Э- О, где производные понимаются в классическом смысле. Кроме того, А в силу (2.3) Ьо (х, е) ) — й/е (х ЕЯ"), ( — й9) =Ои 30* 455 Из (2.4) получаем 1 и(х, г)дх < 1 ио(х)дх.
(2.7) л на Таким образом, и ЕА'. Поскольку также и|(Х, Г)<1+!иа ~ |на| по принципу максимума, то же верно для и(х, г). Тем самым и |= А . Можно теперь применить теорему 1.3. Отсюда следует, что и совпадает с С((О„'); А'(Я"))- решением, построенным в теореме 1.2. Таким образом, и совпадает также с решением из теоремь| 1.7. Для вывода и сравнения оценок для и мы часто будем выводить их сначала для и з а затем переходить к пределу при 7-+». Мы часто будем работать с функцией давления (с точностью до множителя) и| о= — и (2.8) и| — 1 если е достаточно мало. По принципу сравнения, используя (23), выводим, что бо)> — й)т в ВнХ(0, ). Очевидно, (2.13) следует из (2.15), (1.1) и бинс =итхц+ х'и 'хц>ибц, а (2.14) следует из (2.13).
В дальнейшем используем обозначения В,(хе)= (х; )х — хе! < г), В„= В„(0), ) Вг) = пюа(В„), 1 2е(х, т)с(х = — )' ст(х, т)их. В„(х.) ~В,~ В(хь) Л е м м а 2.2. Для произвольного 2)е > 0 существуют положительные констан- тЫ 2), С, ЭееиеящиЕ ТОЛЬКО От ГП, П, 2)Е, таКИЕ, ЧтО ВЕРНО СЛЕдуЮщЕЕ. Пуета ХЕ Е Ян, те >2)е, В > О, 0< о< т). Если о(х, те) = 0 для х ЕВВ(хе) (2.1 6) и (2.17) ся2 в(х, те + о) сйс <— ВВ(х ) й(х, т) = — ц(Вх, от), ят о й (х, т) = — и ()сх, ат). ) ' 212 ) Отметим, что о) удовлетворяет такому же уравнению (2.9), как о., В силу (2,)б) (2.17) й(х, 0) = 0 в В„ (2.19) у й(х, 1)с(х < с.
(2.20) в, По лемме 2.1 тй о, >-ей, где е= — 2). Че с)й = ос;"ьо > -е. (2.21) (2.22) Последнее неравенство влечет с) у+ — !Х~з >О, 2п 454 ц(х, те + о) = 0 для х ЕВВ)ь(х ). (2.18) Физическая интерпретация леммы такова: если газ достиг шара Вн)е (х ) в момент т + о,аз момент т в Вн (х ) газа не было,то рассматриваемое количество газавошлов шар Вн(х ) в момент те+о, Доказательство.
Дляпростотывведемобозначение х — х =х и( — т = о о = т. Рассмотрим функции т.е. функция о + е х! /2л субгармоническая в х. То же верно для каждой Ъ;. Следовательно,длялюбого х ЕВс/з е с' Е й (х,!)+ — !х!' < Т ~й~(е,1)+ — 131' с/е. 2п в, Сз(з)~ 2п Поскольку й;(х„г) Ь й(х, С) для всех (х, С), теорема о доминируюпСей сходнмостн дает е 1)+ ~ .~2< Т (8 1)е ~~~2 Т 2п в, з(х1~ 2п е < 2П У уй, 1)с/6+ —.
в, 2п Используя (2.20), заключаем, что й(х, 1)< 2"с+ — если хЕВ,/т. 2п (2.23) Из (2.21) следует, что й(х, 1) Э е '(' О й(х, с) . Комбинируя зто неравенство с (2.23), получаем й(х, с) < е' 2 "с +— 2п,с (2.24) если х ЕВ,/з, О < с < 1. Введем функцию сравнения 1г(г, с)=Х а*с+ г — — ) ~ (г=1х~, Х>0). 3) (2.25) Она удовлетворяет условию р~>(т — 1) )ганг+ 1р„)г]~, где К> 0 (2.26) при ас+ (г — 1/3) 1 > Х (т — 1)(п — 1) г Выберем а = 1/6. Тогда 1г(г, с) > О, если и только если 1 г> — — —.
3 6 (2.27) й(х, с)< Ха/12< К(г, с), если 5/12< г < 1/2, 0< с < 1, ввиду (2.24) при условии, что е н с достаточно малы. (2.28) 457 Таким образом, для 0 < С < 1, 0 < г < 1 (2.26) верно, если Х = Х(т, п) достаточно мало. Далее, й(х, О) = 0 < сг(г, с), если 0 < г < 1/2 Полагая у= )г, й= — й имеем У~ЭЬУ~, йг=Ьй в В /2 Х (0,1), где последнее озотношение понимается в смысле распределений. Покажем, что й < У в В1/г Х (О, 1). (2.29) Показательство получается применением последовательности гладких функций Боли мы умножим У, Э ЬУ~ на (й/ — У)' и Зй;/Ьг = Ьй~~ на — (й/ — У)', проинтегрируем по Вг Х (О, г) и сложим, то найдем / ([й((х, г) — У(г, г)[') + / ~„(й/и — У~) Т~ (н — У) < в„ в„х (ох) /' [1Гхй) — У !(й/ — У)'+ /([И;(Х,О) — У(Г,О)[") . (230) ав„х(е,г) в„ Полагая в (1.37) р = 1+на, мы видим„что / [ тг „й;~ ['5(х1/Г < е ле Следовательно, если мы проинтегрируем (230) относительно г, 5/12 < г < 1/2, то получим 1/12 5/г / ([й.(х, г) — У(г, г)[+)г <С / ((й/ — У)')г + 5/12 Вг (В 1/г,в 5/12) Х (Е 1) 1/12 + /' /г /([й/(х,О)-У(г,О)[')г.
5/12 Вг В силу (2.27), (2.28) каждое из двух подьпггегральных выражений в правой части сходится поточечно и монотонно к нулю при / -+, так как й (х, Г) а й(х, Г). Таким образом, полагая / ~, по теореме о доминирующей сходнмости имеем 1/1 г /' /г/' [н(х,г) — У(г,г)]'=О 5/12 Вг и (2.29). Из (2.29) получаем й(х, г)< 'г'(г, г)=0, если [х[< 1/6, откуда следует утверждение (2.18) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
