Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Тогда и(х, «) = О, еслих ЕВл (х') для некоторого Я > О. Пусть «' = т+ (1 — Л)й = «" — Лй, где ЛЕ (О, 1) будет определена ниже. Предположим, что д)ат(х', Г(«' )) < аЯ, (4.5) 471 где аЕ (О, 1) будет определена ниже. Применяя лемму 4.1, выводим с(1 - а)гааз и(х, г~)Ых > (с>0), В(1 ч)я(х') (1 — Л)й где х' Е Г(г') такая, что !х' — х* ! <аЯ.
Следовательно, с(1 — а)'Я~ и(х, г')Их > (1 — а)". Вя(х') (1 — Л)й (4.б) Для данной любой большой С можно выбрать а, Л так, что с(1 а)влв Дз (1 — а)" > С вЂ” . (1 — Л)л ЛЬ (4.7) Отметим, что (4.7) влечет (1 — а)"+з > С(1 — Л) с другой большой константой С при условии, что Л > 1/2. При а = Лт это сводится к следующему: Л) ' >С(1 Л) Последнее неравенство имеет место для некоторого Л, близкого к 1, и достаточно большого 7 (например, Л = 1 — 1/К 7 = я, х достаточно большое).
Из (4.8) следует, что и(х, г') = О, если х Е В„л (х'), а = Лт. Мы можем теперь повторить предыдущие рассуждения с заменой Я на аА, т на г' и л на Лл. Выводим, что б)в((х*, Г(гв)) >азл, гв =1 -Лвй. Двигаясь шаг за шагом, получаем йв((х", Г(г))> Лт"я, если 1=1' — Ла)в. (4.10) Вары руя л в интервале )в < л < Ь/Л (соответствующие значения Я ограничены снизу положительным числом, которое мы также обозначим Я) и полагая й = 1, 2,..., находим, что (4.10) имеет место для всех г, г — й < г< г"; более точно, в))в((х', Г(Г)) > с(Г' — Г)т (с >0), что дает (4.3).
Для доказательства (4.4) отметим, что если точка (х, 1) из Г удовлетворяет условию (х--х*! <С(г — С)т 1' <1<1'+л (й мало), (4.11) тогда отрезок о(х, г) пересекает внутренность множества, для которого (4.3) имеет место. Таким образом, о(х, 1) не содержит точек из Г. По теореме 4.2 отсюда следует, что о(х, г) не пересекает Г. Можно поэтому применить доказательство (4.3) с (х', г') вместо (х, г) и вывести, что и(х", г") Ф О. Так как, однако, и(х", 1") = О, Но если С достаточно большая (зависяшая от т, л, т)е), то лемма 3.3 влечет и(х', г') > О, что, конечно, невозможно.
Таким образом, если (4.7) верно, то (4.5) не может быть верным, т.е. б)в1(х', Г(г')) > а1т. приходим к противоречию, что доказывает, что точки, удовлетворяющие (431), не принадлежат Г. Отсюда следует, что на множестве (4.11) либо и ю О, либо и > О. Первая воэможность противоречит предположению (х', т') Е Г. Таким образом, и > 0 на множестве (4.11), что завершает доказательство (4.4) . 3 а м е ч а н и е 4.!.
Константы С у в (4.3), (4.4) зависят от выГюра т, )т, по не зависят от (х', т'). Теперь предположим: 0 — ограниченная область в )я" с границей класса СЯ, ио(х)>со(д(ят(х, дС))Я, если хЕС, где со >О, и ( 2, ио(х) =О, если х р С. Согласно задаче 3 из я 3 ья(т) Э я1(0) для всех г > О. Можно поэтому выбрать т, 11 в доказательстве теоремы 4.3 независимо от (х", т') при условии, что г' > но дпЯ фиксиРованного т1о > О. ВвидУ замечаниа 4.1 заключаем С и у не зависят от (х', т') . (4.13) Теоремы 4.2 и 4.3 означаю~ (когда (4.12) имеет место), что свободная граница дается функцией т = Я(х) при условии, что а(т то)+т Л (ня — 1) (я — 1) +! <1. т (4.15) Выберем Ь < а и Л'~ а(а — Б) =— Л = — У, где У, > и'" ' + 1. (4.1 6) ЗС А.
Фридман отз и, если Я(х' ) > тяо, ! Я(х) — Ю(х')! <С1х — х' !'1т. (4.14) В силу (4.2) Ь'(х) < для всех х Е ИЯ. Резюмируем: Те о рема 4.4. Если (4.12) верно, то: (!) свободная гранина дается функцией у = Я(х), где Я(х) конечнозначна и равномерно непрерывна по Гельдеру в каждом множестве ! х; Я (х) > я1о), По > 0; (П) внутренность Г(г + я) содерхит (Ся'1т)-окрестность внутренности Г(т ) при условии, что 0 ( я ( 1, т > по (По > 0), где С у — положительные константы, зависчщие только от я!о и ! ио! Дополним (П) следуюшой теоремой.
Т е о р е м а 4 5. Г (т + я) содержится в (Ся'1з) окрестности Г(т), где 0 ( я < (1, т > Но (т1о >0) и С вЂ” константа, зависЯЩаЯ только от Я1о и ! ио ! Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и (х, го) = О, ойя1(хо, Г(го)) = а Рассмотрим функцию и(г,т)=(л(а*(т т')+а(г-ь)) )яд -'1 (ь>о, а>о) для го < т < то + Ь где г=!х — хо|, Ь<то+Ь/а, б(г, г) > О, если и только если г > Ь вЂ” а(г — го). Как и в доказательстве леммы 2.2, яЛУм < У, Тогда при г г», г<а и=О<У ге ~с~ге +Ь г е у> (Ла(а — Ь)] '/1м '1 =%'/1м '1> и, 1 По принципу сравнения (см. доказательство (2.29)) имеем и < У в В„(хе) Х Х (ге, ге + Ь); в частности, и(х, го + Ь) 4.
:У(х, го +В). (4.17) Теперь определим Ь по формуле а — Ь ч/Я. Тогда а из (4.16) дается в виде а-чг ч/~%: (4.! 8) (4.19) Свободная границадля У нмеетвид г~Ь вЂ” а(г — ге) ив 1= ге+Ьв г ~ Ь вЂ” ай =' а — ~/% — ай = а — 2 ч/% Выбирая Ь =аз/(1б/У) (4.20) так, что 2 с/% "а/2; (4.21) заключаем, ввиду (4.19), что и(х,ге+Ь)=О, если ]х — х ](Ь вЂ” ай а/2, Это доказывает утверждение теоремы прн условии, что Л можно выбрать (независимо от а) так, чтобы выполнялось (4.15). Достаточно выбрать Л так, что Л '~ 1/2 и ай+(а — Ь) 1 < -у. (4.22) 2(лч — 1) (л — 1) Так как г > Ь вЂ” ой = а/2, (4.22) есть следствие неравенства 2 Л2чМ<7; а (4.23) (4.25) где 6(а) ((Р' — с~а~] ) 'Дм-'1, л(а — 1) 2тл 474 здесь мы использовали (4.18), (4.19).
В силу (4.21), (4.23) эквивалентно неравенству Л <7. Таким образом, можем выбрать Л гп(п (у, 1/2). 3 а м е ча н не 4.2. Если (4.12) имеет место, то теорема 4.5 влечет ] Я(х') — Я(х')] > с ] х' — х' ]' (с > О), (4.24) если ] х' — х ] достаточно мало и х'. х ие принадлежит С. Закончим этот параграф теоремой об асимптотическом поведении и (х, г) при г -+ . Частное решение нз задачи 3 из $1 будет играть здесь основную роль. Изменим масштаб, полагая для произвольного 2, > О 1 Уь(г,г)-й--' — а б(,—,.
11, г=!х], (Аг)" (Аг) /в / и р — положительная константа такая, что ~„00х Пссх=1. Отметим, что ) .(О) .= ''--'1 и» (4.26) и носитель функции г -«Уг. (г,г) дается формулой (Мг" Кроме того, для любых х Е Н», вещественного т г" ( Уо (1 х — хь 1, г + т) — Уо.
(! х 1, г)) ° О, если г - равномерно относительно х, х Е с1». Те о ре ма 4,6.Пустьи — решениеиз теоремы 1.7 и иь(х) сох. и» (4.27) Задачи 1. Дпя фиксированных А ) О, г ) 0 и достаточно малого е > О показать, что (у )нг» Уь(г,г — е)> Уг,(г,г) при 0<г<8 —, с/б ~сг» (Аг)ь/» Уг,(г, г — е) < Уг.(г, г) при 8 <г< сД3 с/Р о - о, о, о о, о. Д: 1О о « оо, ~О. В запсожх 2 — 10 предполагается, что иь е Се (А") и ие (О) > О.
2. Показать, что Ус,(г, г+ т,) <и(х„г) <Уг,,(г, г+ тз) (4.29) дпя некоторых Тв > О, тг > О. 3. В доказательстве теоремы 4.6 можно предположить, что для любых А > О, вещественного т, г > О, с + т ) О, и(х, г) Ф Уо(г, с+ т) (хЕЯ»), 4. Дпя фиксированного г > О обозначим Ео множество точек (й, т) таких, что Ь >О,т Э'Они(х,г) > Уо. (г,с+т).Пусть Цг)» ацр ( Х; (Х., т) Е ос) . 47$ Тогда г"! и(х, с) — Уг (г, с)1- О лри г- (4.28) равномерно относительно х в любом множестве (! х! < Ссьс"), С ) О, где Ае Таким образом, для больших моментов времени газ ведет себя так, как если бы он был в начальный момент сконцентрирован в начале координат.
Доказательство схематично представлено в следуиацих задачах. на носителе г ~(гг. (г,ге+ т+Л вЂ” е),если е достаточно мало,и,такимобразом, и(х, г + г1) > 1 "ь, (г, г + 1+ т — е) для некоторого 1' >А.1 б. Показать, что есйи и»(х, г) = Л и(Лх, ЛаГг) „Л > О, то для любой последо.
вательности ЛГ' 1 имеется подпоследовательность ЛГ 1 такая, что и». (х, г) ° и (х, г) г равномерно на компактных множествах гг" Х(О, ). 7. Определимьа = 1Ип ь(г). Показать,что длялюбого г >О г и(х,г)= ггс (г,г+т,'), т, <Сг. (Ука залпе. Неравенство и(х, г) > Ггь 01(г,г+т,) влечеи»(х, г)>Л" (г ьег», (Лг, Л"г г+тл») (4.31) 1 тл, г < аГ» г»лГ» < Сг, обеспе швая "> "в (4.31) . Если равенства нет, что (см. задачу 5) ю(х, г+и)> гг (г, г+тг+и — е) на носнтелег - Р'- длянекоторого Ь >Ьа,и ло задаче б щ аГ»( + если Лг достаточно большое.) 8.
Показать, что тг = т„. 9. Показать, что те = О. [Указание, Дпялюбого малого 8 >О и» (О, 8) > С/6 476 Доказать, что существует точка ((, ', т ) Е Е, такая, что Ь (г) = Ь ' и т <С(г + 1), где С вЂ” константа, не зависящая от г. 1У к а з а н и е. В силу (429) Х. г <Ь (г) <г 5. Показать, что г, (г) монотонно неубывающая и существует последователь- ность гГ 1 тзкая, что ь(гг) < г. (гг,, ). (4.30) 1У к а з а н и е. Если ь = А (г е), то существует $ > О такое, что и (х, г е + $) ф г= ггь (г, ге + т + 8) для ,»г"(г +т+О»г. г < с/р (см. задачу 3); следовательно, если г < Оге, гдв О < 0 < 1, (1 — 9 ) достаточно мапо.
Вывести, что и(х,ге+и)> Уь(г,га+т+ч), если т<егге, для любых т1> 8, (гà — 8) мало, де Е (0,1). Согласно задаче 1 и(х, го + л) > Кь (г ге + т + тг — е) (а > 0) в силу (4.29) (С>0), Кроме того, илг(0,6) ю(0,6)= Ф'ь (0,6+ го).) 10. Доказать, что /.е = /~ ' н ил(х, г) Кс (г, г) при Л 1 равномерно по (х, г) в компактных подмножесшах/(" Х (О, ). 11. Завершить доказательство шоремы 4.6, когда вирр ие ограничен. [Ук а за н ие, Рассмотреть и(х — хе,г + е) и использовать (4.27).1 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
