Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Общы двумерная задача фильтрации. Существование В задаче фильтрации, изученной в гл. 1, В 5 и в гл. 2, В 6 перегородка была в форме прямоугольника. Теперь мы рассмотрим двумерную перегородку общего вида и установим существование и единственность, а также регулярность свобод- ной границы. Обозначим Х = (х, у) точку плоскости. Предположим, что дй состоит из трех частей: Я, — непроницаемая часть; Яг — часть, контактирующая с воздухом; 54— часть, контактирующая с резервуаром с водой (см.
рис. 21). Предположим, что имеется конечное число разделенных резервуаров Яу (1 <] <х) с уровнями воды у = йг, н положим Яз. = дй О( у < Ьг ) . Таким образом, Яз = С1 Яэг. 1=! Обозначим А часть 11, заполненную водой. Граница А состоит из четырех частей: Г, С Я, — (нелроницаемая), Гг С й — (свободнаЯ гРаница), Гз = Яз — (часть, контактирующая с резервуарами), Го С Яг — (влажная часть перегородки, контактирующая с воздухом — линия просачивания ) .
4вт Часть Гз задана, но все другие Гт априори неизвестны. Гидродннамнческое давленйе на оз дается функцией Ьэ — у, Продолжим эту функпмю В Яз полагая " ~ — у и (х,у)= О на Ят, Обозначим и внешнюю нормаль к А. Если обозначить и функцию давления то, как ив гл.1, З 5, нмеем Ли=О в А, д — (и+у) = О на Г,, ди д и = О, — (и +у) = О на Гг ди (6.1 ) и=и на Гэ д и =ие и — (и+у)» О на Гч. ди С этого момента предполагаем: Я, и Яз ОЯз непрерывны и кусочно С"е-кривые; обе являются графиками по направлению у; (6.2) Ят ОЯз лежит выше Я,.
удовлетворяют неравенству Я (х) < Я'(х) (о, < х < т,) . Прн х, < с, нлн хе > т, прямая х =хе не пересекает Я~ О Яз ОЮз. 488 Таким образом, существует интервал о, < х < т, такой, что любая прямая х = хе с хе б [о„т,) пересекает Я, (и Яз О Яз) либо в одной точке, либо по замкнутому отрезку, и функции 5 (х) = аир(х; (х, у) Е 51), Я (х) 1ПГ(х (х у) ЕЯз О Яэ) Далее, предположим, что Я (х), Ю'(х) кусочно-непрерывны. (6З) Отметим, что й = ((х, у); Я (х) < у < Я'(х), о, < х < т,). Обозначим я(Е) проекцию множества Е на ось х и пронумеруем Яза так, что л(Язи)= [х; оз< х< тт), та< ом,, (6А) где о; может совпадать с т,.
Таким образом, в случае прямоугольной перегородки (гл. 1, з 5) о, = т, = о. = 0 и ог = тг = т„= а. Заметим, что аи ау — = — — > О на Гг. др др Так как и = иа на Гз, по принципу максимума и > 0 в А. Если» й С'(й), » = 0 на Гз, » > 0 на Га, то, интегрируя по частям, получаем )'чи ч»+ )'»т = А А /ди 'Ъ д — )' ~ — + р е)»= )' — (и+у)»< О, г,ог,ог,~, др ) г, др где (6.1) н соотношение ду/др = р е были использованы.
Здесь е — единичный век- тор, направленный по вертикали: е = (О, 1). Продолжая и нулем в й~ А и исполь- зуя функцию Хевисайда 1 при т>0, Н(т) = 0 при т<0, имеем ) 52». (~7и+Н(и)е)= ) 5г» - ни+ )» < О. А (6.5) О, если т< О, т/«, если 0< т< е (е>0), 1, если т>е, и классы функций К= (оЕН'(й); о=и на Яг 'чзЯз), Ка = ( о Е Н'(й); о = 0 на Яг 12 Яз) .
32. А. Фридман Дадим теперь слабую постановку задачи. Так как Г4 априори неизвестна, бу- дем брать пробные функции» с условием» > 0 на Яг. Задача (А). Найти пару (и, у), где и Е Н'(й), у Е Т,"(й), такую, что 0< т< 1, у = 1 на (и>0), и> О, и=из наЯг 12 Яз, (5ги + Те) < 0 зт» ЕН'(й), » > О ла Ь'г, » = О на Яз. (6.6) Если показать (это будет сделано ниже) что у = Т(и>о), то (6.6) будет совпа- дать с (6.5). Т е о р е м а 6.1. Задача (А) имеет решение (и, т) . До к аз атель ство.
Предположим сначала, что дй е С'"". Введем функ- ции, непрерывные по Липшицу, Рассмотрим задачу со штрафом: найти и, такую, что и,ЕК, )рт Яи„+ Н,(и,')е) = О Ъ( яКе, (6.7) Для решения этой задачи при любой с Е йз(й) рассмотрим следующую задачу; найти н е. К такую, что я(Ш т1 — н') - =У'7ю Р(Л вЂ” ) = д = — ) Н, (и) — (т1 — н ) = — Р'(и — нг) а ду (6,8) длЯ всех г1 Е Ке. Отметим, что 1г'(Л)1 ~ Се( Л~ ~, 1 (Се — сопз1) и а(ю, т1) — коэрцитивная билинейная форма на К. Таким образом, существует единственное решение (6.8) .
Кроме того, легко найти, что ~ю~н.(а) ~ С, (6.9) где С вЂ” константа, не зависящая от е. Следовательно, отображение и~ = Ти переводит множество (нее'(й), 1ц!, < С) Поэтому и,. =О, т.е. ие (6.1 О) Поскольку и О на 53 то дие — <Онана, ди (6.11) д — Ьи„. = — Н,(и,) ду и О-- Н, ~м 1. Кроме того,в силу (6.9) 1и (,< ~ ~С Но согласно обычным эллиптическим оценкам 1и,! -~ С ЧРЕ(1, ), и иР ПО !ос (6.12) (6.13) где С -- константа, нс зависящая от е. 490 в компактное подмножество, и ввиду теоремы Шаудера о неподвижной точке существует решение н уравнения н = Тю. Это и является в точности решением и, задачи (6.7). Так как и, = и = О на Яз 11 Яз, можно взять 1 =и в качестве пробной функции в (6.7), тогца получим —,(1ри,) =.1Н,(и,)(и,) — О, Теперь выберем последовательность е = е ( 0 такую, что и, -+и равномерно в С))е,(й) (0< а< 1), и„- и слабо в Н'(й), Н, (и„ю)-~у е.слабо в В"(й).
Очевидно, 0" Т < 1 и у = 1 на множестве (и> 0). Кроме того, и> Ои и =и на Яз О Яз' Для любой (' такой, как в (6.6), ди, (ч1 (чи„. +Н,(и,)е)= ( — (' < 0 й 8 до в силу (6.11). Полагая е = е 10, получаем неравенство в (6.6). Таким образом, (и, т) есть решение задачи (А). Выше мы предположили, что дй Е С'+а. В общем случае, когда дй кусочно класса С'+а, мы аппрокснмируем область й областями с гладкими (класса С"е) границами, сглаживая угловые точки дй. Легко видеть, что соответствующие решения сходятся к решению для й. Определение 6,1.
Функция 1, определенная в (6.6), называется пробной функиией (для (А)). Из предыдущего доказательства мы в действительности получили решение из С,'+,а (й ) для любого 0 < а < 1 (см. (6.13) ) . Теперь докажем следующую теорему. Те о ре ма 6.2. Для любого решения (и, т) задачи (А) имеем: и ЕСо 1(й). )ос Сначала установим лемму. Ле м ма 6.3. Если В„(Х) С й О (и > О) и дВ„(Х) Г) д(и > 0) Ф ф, го и (Х) < Ст, где С вЂ” константа. До к азат ел ьс тв о. Для любого б > 0 пусть и — гармоническая функция в кольце И = В„,„(х)Лв,д(Х) при граничных значениях о = Л вЂ” = 1п1 и на дВНз(Х), эВНз(х) о=О на дВ„+а(Х) ФуНКШан 1 = хщаХ(Π— и, 0) ПОСЛЕ ПрОдОЛжЕНИя НУЛЕМ В йЛ Р СтЮЮВятея ПрОбНЫМИ функциями. Сле)ювательно, в силу (6.6) 3'1г п1ах (о — и, 0) .
( чи + уе) = О. (6.14) о Можно записать )(т)тах(о — и, 0) . чи = ) 1)шах(о — и, 0) 7(и — о) + о о + 3 9 шах(о — и, 0) ° ~'(о+у) — (Чшах(о — и,О) е. о о Первый интеграл в правой части равен величине —,Г 1 Tшах(о — и,О)!з — ( ! Tо)т.
(". ) оо(к=о) Второй интеграл обрагцается в нуль, так как о + у гармоническая, а шах(о — и, 0) = 49! 0 на дР. Используя эту информацию, из (6.14) получаем / ! ч(и — и)'!э = — / !%п!э+ )чщах(и-и,О)(у — 1)е. пп(и>о) оп(к=о) и В последнем интеграле, если и > О, то т = 1 и подьитегральное выражение обращэ; етсн в нуль. Тем самым интеграл ограничен сверху величиной / ! р и!, пп(а=о) и мы получаем 1 ! ~( — и)'!э ~ Г !'7 и!(1 — ! тщ!). (6.15) пп (и >о) т)о (к =о) Покажем, что / ! 7(и — и)'!' > О.
пп(к>о) Действительно, иначе и ~ и в (и > 0), и так как Р содержит точки свободной границы, то и будет обрапаться в нуль во всех таких точках, что яротнворе ит прннпипу максимума. Отметим, далее, что ! [7и ! — строго монотонно убывающая функпия расстояния от Х. Следовательно, из (6.15), (6.1 6) !чс!( 1 в В,,э(Х). (6.1 6) С другой стороны, Л !~с! -'' г — — на дВ„„ь(Х), г+6 Задачи 1. Доказать, что решение задачи (6.7) единственно. (у к а з а н и е.
Есин и,, иэ — два решения и ю -- и, — иэ, то !/р ' ~(! ~ /!ю! !Ьг!. Возьмем Б >О, 1 = Пи — Б)'/ю и покажем, что — /, =С, / ~ — '-!, /!Р1 (~+ —. ( >э) юэ ( >э)~ ю ! ~ ю 1э<С Используйте неравенство Пуанкаре и положите б -еб.) где с — положительная константа. Таким образом Л < г/с. Мы доказали, что !лГ и 4 г/с, эябт!х) откуда по неравенству Харлана следует и(Х) ~ Сг. Доказательство теоремы 6.2 аналогично (с использованием леммы 6.3) доказательству теоремы 3.2 гл. 3. Обозначим 1х характеристическую функпию множестве Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
