Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Пусть о =((х, у); х! <х<хг й <у< )О й. Предположим,что и>М— — (у — й) на Эл для некоторого М г О. Доказать, что и>М вЂ” (у — и) во. [Ук а за н не. Из)' тт шах(о — и, 0) (17и+ 7е) = 0 вьпекает,что 1 [» шах (о — и, 0) [з = г 0(» > о) ,1 ~7шах(о — и, 0) ('7о + 1(» > о) е)— я — Г тго (!7 о + (1 — 7) е).) го(»=о) 1 8.
Единственность в задаче фильтрации Оп редел е н и е 8.1. Решение (и»,7о) называетсяЯз-связным, если С! ОЯ~ФФ для любой компоненты С!. множества (ио > О) О й. Т е о р е м а 8.1. Решение задачи (А) единственно с точностью до учета почвенного резервуара, т.е. существует единственное Яз-связное решение ио такое, что любое другое решение имеет вид и(х, у) = ио(х, у) + г(И вЂ” у) 1ос (8Л) где Н! — некоторые вещественные числа и В! — связные компоненты множества аг! (у<Н!).
Члены (Н! — у) 1р! характеризуют почвенные резервуары (или отстойники). Очевидно, если Я! задается либо монотонной кривой у = й(х), лабо кривой у = й(х), имеющей один локальный максимум, но без локальных минимумов, то никаких почвенных резервуаров не может быть„и тем самым решение единственно. До к аз а тел ь от в о. Сначала покажем, что если Р— связная компонента йт! (и>0) (и — решение задачи (А)) такая,что Р т!Вэ =Ф (8.2) то и(х, у) = (Н вЂ” у)' в Р.
(8.3) В силу теоремы 7.3 условие (8.2) означает, что п(Р) С п(Я,). Пусть п(Р) = = (хо, х ) н е = [ (х у) Е ь); х, < х < хэ ) Тогда З1х и = +тон принадлежит Н(й) соп!асио лемме 6.4 и поэтому является пробной функцией. Таким образом, ,! ([ (ги ! + 7иу) = О. (8.4) Далее, по лемме 7.4 имеем Г(7и,, + тэ) ~; О. Комбинируя последнее неравенство Я с (8.4), полУчаем Г(из + (их + 7)э ) ~' О. Отсюда следУет,:по и„= О, их = — т в Е. г Так как 7 = 1р, легко вывести, что и = (Н вЂ” у)' в Я длн некоторого вещественного числа Н. Теперь пусть (й, т ) — произвольное решение задачи (А) и обозначим Р; компоненты (и> О) такие, по Р! Г~ба = о!. Полагая, и„= й — Е!огй, То — 7 — т.ттз, (8.5) имеем для любой пробной функции ь ) М Отио+7ое)= 3'!7['. (ттй+7е) — Х,['( — ь" +( )=О.
а о, Таким образом, (ио, то) есть Яз-связное решение низ предыдущего доказательства получаем разложение (ВЛ ). Для завершения доказательства теоремы 8.! остается доказать следующую лемму. Лемма 8,2. Стшегтвуетнеболееодного Бэ-связного решения задачи (А). Д о к а э а т е л ь с т в о.
Предположим, что (и,, т, ), (и,, уэ ) — два Б,-связныл решении; обозначим нх свободные границы х = р,(х), х = !о,(х) соответственно. Пусть ио =и1Аиэ 7о = 7|А7г !оо =Чэд!Еэ '4 = (ио >0). Тогда для любой !" й Н ' (й) О С(й). [ > О, У'Р[' ° [т(и; — ио)+(7; — 7о)! < Г ь(х, Рг(х))Жс, (В.б) ц ь'! где Ь! = ( х Е [о., т,), оо(х) < !о! (х) ) .
Действительно, если с = тш(и; — ио, еь), е > О, то с = 0 на Яэ !!Яэ итемсамым ЗС вЂ” пробная функция. Отсюда следует, что для ( чьу )' о ( ( ~7(и; — иГ) + (7, — 7() е) = 0 1 т с' ~т(и! ио)+ .1 (7! — 7о)су = О. й О Так как первый интеграл равен величине «1'?(и~ — ие)1з + с «1К ч?(и,— ие) й и (»~ — », <»г) й о(»~ — » > ет) получаем « '?Г 1?(п~ - ие) + « (ъ - 7»)Г? < й и (»~ — », > »г) й < «(7? 7е) ( птш ( /) (8.7) й Замечая, что на (ие > 0) имеем и; > 0 и 7~ =7» = 1, приведем последний интеграл к виду (используя следствие 7.8) и,ч~' Г п~' йо(» е т>» ?») 'ч с/ е те (Фо(х) <у<ю(»)) т.
е / = 1впш( «(» — — /) (х, р,(х) — б)бхя' «Г'(х, р,(х)). 610 ьу1 с тн Подставляя его в (8.7), получим « ~?(.т?(и~ — ие) + «(Ъ вЂ” 7»)(г < «Их,чь(х))дх. й й (»~ — » > 61) й Ь? Теперь пусть е » О. Так как и, > ие и Ч(и; — ие) = 0 на множестве ( и~ — ие = 0), то имеем (8.6). Пусть „— круг с центром в одной из компонент Яз ~ Яз и с радиусом г, достаточно малым так, что я(В,) С я(бз 1) и Ге = дВ„Л й. Пусть 1»' — решение задачи йй~=а в В„ й'=1 Г, 0< М<1 на дВ„~Г», И'ф1, И'= 1 в Й~В„, И'ЕН~(й). Тогда по принципу максимума 0< й'<1, (8.8) ай — > 0 на Ге (» — внешняянормальк ЭВ,). ди (8.9) д И' По формуле Грина «(кт — ие) — = «Р(и~ — ие) 1? Ю, следовательно, г, д» ййв, дй' «(ие — ие) — «[~?(И, — ио)» И'+(7' — '?о) И~) г д» й (8.10) Для любого малого е>0 положим а, Е Се, а, = 1 на Ае, а, = О, если йзт(Х, Ае) > е, О», а, < 1.
В силу (8.8) (1 — а,) й' — неотрицательная функция; она обращается в нуль на Яз при условии, что е достаточно мало. Таким образом, она — пробная функция. Позтому «(1?и~ Р((1 — а,) й?)+7~((1-а,)й')г) < О. й Но так как (1 — а,) И' = 0 на Ао и ио = 7о = 0 вне Ао (по следствию 7,8), ) («ио 1«((1 — и,) И9+ 7о [(1 — а,) И'] «) = О.
Вычитая последнее равенство из предыдущего неравенства, получаем и Х Я(Ц вЂ” ио) 1«И~+(7~ — 7о) И~ ] ~ « < Х [ р(и, — и ) . ~7(а, И~) + (7, — уо)(а, Й~) ] . (8.11) Складывая обе части (8.10), (8.11) и оценивая правую часть (8.11) через (8.6), получаем )'(из — ио) — < /' (а, И')(х, чз(х)) с1х. г, д«ь~ При е10 имеем а,(х, р;(х))-+0 для любого хбйи Поэтому д И) /(и1 — ио) < О. г, д« Вспоминая (8.9), заключаем, что и; ио на Го для 1= 1, 2, т.е. и, =из на Го Если обозначить С1 компоненту (и; > 0), которая содержит й й В„, то согласно проведенному доказательству (с В„, 0 <« < г) и, = из в й г1В„.
Ввиду аналитического продолжения тогда имеем и~ = из вС' Г1 Сз, поэтому и Сс =Со; доказательство закончено. Задачи 1. Предположим, что Яз связана се(Яз)= [о,, г,] иЯ, — кривая у я(х) такая, что для некоторого х, > г, имеет место (1) 1с(х) монотонна,еслих>х,; (п)если уо = шах я(х), то прямолинейный отрезок (г, <х<х,, у =уо) лежит г, кх<х, виже Я,. Показать, что любсе решение и положительно на ((х, 1с(х)), х > г,) . [Указание.
Если и(х, у) = 0 дпя х > х', х* Е (г~,х,), положим Д, = = ((х. У) Е й; х < х', У <Ус + е), и возьмем дла достаточно малого е пРобнУю функцию — (и — (Уо + с — у)) ХО, 'показать, что 3' ! г [и — (уо + е — у) ] ! < О.! Ые 2. Перенумеруем резервуары так, что й, > Из >... > Иа. Доказать, что Язсвязное решение и удовлетворяет и < (Ь, — у)'. Аналогично, если С вЂ” компонента решения и такая,что С г15з; =йдля1 <1<1) то и <(А1+ т — у)' в С. [Указание. Функция ]' = (и — (Ь, — у)')' обращается в нуль на Вз ОЯз, и [' поэтому является пробной функцией. Получаем )' ! ч(и — (й~ — у)')'!' + ап («сь,) + 1 !ги!з+ ! 7и„< О.
ао («>л,) ао («>ь,) Используя лемму 7А (й й ( у > И~) есть объединение множеств га), выводим 1 !'7(и — (й~ — у) ) [~+ Х [и,', +(и, +7)'] < 0.] по («<ь,) по («>ь,) 3. Возьмем лг > лг ... > Ь» и положим й» ь, = шЮ . Пусть и — 5э-связное решение и ЬЕ[Ь;„. г, йт), У» = ((х, у) Ей; и(х, у)>(й — у) ) (У» пустое, если Ь >лг, см. задачу 2).
Обозначим С»; связную компоненту У», удовлетворяющую условию С»; г З Яэ» Показать, что У» = С» г О С» г О... Н С» . Некоторые из С»; могутсовпадать. [Указание. Предположим для простоты, что все С», различны, и пусть ! С» = й~ 0 С»» Тогда [' = 1, (и — ()г — у) )' — пробная функция. Можно покас» зать, что .! !гу(и — (й-у)')!'+ )' (!'уи]г+ти ) < О. с» а («к») с» а (г >») По лемме 7.4 ) Ьи,+т') < О, с» а (г>») так что ! ~(и-(й-у)')'!'+ с» а [гк») + / [и,'+(и +т)'] < О.
с» а (г>») Вьшести,чтои>бвС» й(у>И)и и<(л — у) в С».] 4. Пусть и — Яэ-связное решение, (х, Ь) ~с й охг < х < хг и (х„й), (хг, й) принадлежат одной и той же связной компоненте С»; множества У». Показать, что и(х, у) > О при (х, у) Е й Г1 ( [х,, хг] Х ( —, л)) . [Указание. Предположим, что и(хо,уо) = О, (хо,уо) Ей, хг <хо <хг, уо < л, и соединим (х,,й) с (хг,й) в С„~кривой Г; Г пересекает(х=хо) ниже уо. Можно взять Г, лежащей ниже (у = Ц, и обозначить Р область, ограниченную Г и (у = л). Тогда — Хтг(и — (й — у)) — пробная функция и ! ! т (и — (л — у)) ! г < О д а (о > о) т.е, (и — (й — у)) = С в Р й (и >О), где С вЂ” константа. Прийти к противоречию.] 5.
Предположим, что имеется только адин резервуар, и положим л(5з) = = [а,, т, ]. Пусть аг задана в виде у = й(х), где й(х) Лйг — монотонно возрастающая функция при х < а, и монотонно убывающая при х > т,. Показать, что для Яэ-связного решения функция чг(х) монотонно возрастающая при х < а, и монотонно убывающаяпри х>т1. [ У к а з а н и е. Предположим, что утверждение неверно при х > т, . Тогда существуют т, < хо < х,, й < р(х,) < й„уо = р(хо) < й. Соединим (х,, р(х,)) с точкой (а,, ()г) вблизи Яз кривой Г в С» г, придем к противоречию с результатом задачи 4.] б.
Предположим, что есть два резервуара, й, >)гг, «(а;) = [аь т;], а, <аг < < т, < аг < т, = т, и Яг задана в виде У = »(х), где х(х) Рт )г, монотонно возРастает при х Е (а„аг) и монотонно убывает при х Е (т,, ог). Показать, чта (!) свободная граница ч«(х) возрастает при х е (а.. а,); (й) ч«(х) убывает при хе(т,, аэ) в любом интервале (т,, х ), где Ф(х) ) йэ; (и) если ппп 1с(х) = э«(х') < йэ, то ч«(х) с х с а« возрастает лри х Е (х'. аэ ). [У к а з а н и е. Применить метод, использованный в задаче 5.] 7. РассмотРсть Ф«Учай ДвУх РезеРвУаРов с л(53 г) = [а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
