Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 94
Текст из файла (страница 94)
оа Тогда (10 321 можно змшсать в виде ж,— Др(н)=0 в Й'(йг). (10.34) Отметим, что,о(м ) непрерывна по Лившицу н р (ш) = 0 в некотором интервале. Уравнеьше лля газа в пористой среде имеет вид (10.34) . Хе о ре ма 10.3. Г!усть о задана посредством (10.33). Тогда любое решение (10.34) непрерывно н О .. Таким образом, температура и 1юухфазной задаче Стефана есть непрерывная функция. Георема 10.3 прннадлежиь Каффарелли и Звансу [57]; онн распространили этот резулыат на большой класс функции ч~(зт), в частности, Ф(и) = ! и~ ! айп !У, т > 1.
Иные доказа~ельства получены Бенедетто [77а, Ь~ и Зьемером [183], кроме того, этн авторы заменнлн Ь на эллиптический оператор общего вида (нелинейный, шшергентной форь~ы). Доказательство в [57] и [77а] позволяет установить непрерывность вплоть до границы. Доказате> ьства из [57] и [77а] дают также некоторые модули непрерывности решения; однако эти резулыаты существенно слабее, чем аналогичные, полу~енные лдя частных случаев ~р(ю), описанных в теоремах 9.1 из гл.
2 и 3.1 из гл. 5. Задачи 1. Доказать (10.4) . 2. Показать, что (10.9) верно. [У к а з а н и е. Сравнить с Ьш = О я С, ю = с на Э С,, ш = К на Э Са.] 3. Доказать (!0.26). [У к а з а н н е. Сравнить с с соответствующей ст.] 4. Установить (10.27) с С, не зависящей от Т. 5. Доказать, по если (10.28) верно, то (!) верно (10.30)! (!1) верно (10.31); (!!!) ~'!и]х, г) — ы(х) !" дх — О, если г- для любого р< 2н/(н — 2), прил > 2, ни (х, г) -' н (е) равномерно нох,если и = 1.] 517 $ 11.
Библиографические замечания уравнение пористой среды (сущещвованне и единственность) в одномерном случае л = 1 изучалось Олейник, Калашниковым н Пином [152) . Свойства свободной границы (кривых) были рассмотрены Аронсоном [11а — с], Каффарелли и Фрид- маном [58Ц и Кнерром [127). Для и > 1 существование и единственностьвпервые установлены в [157) .
Более общие теоремы единственности доказали Брезис и Крен. дел [47], Вольперт и Худяев [178). Доказательство единственности, приведенное в 4 1, основано на работе [47) . Следствие 1.9 принадлежит Бенилану [30] и Верону [177]. Частное решение нз задачи 3 4 1 получено Баренблаттом [24) . Лемма 2.1 установлена Аронсономи Бениланом [12) . Задачи 2 — 4 из 5 3 взяты из [! 27]. Теорема 4.6 была установлена Фридманом и Камином [96) . Весь остальной материал из 4 2 — 5 вшють до теоремы 5.6 изложен на основе- [588. Ц .
Следствие 5.7 было доказано Кнерром [127) (см. также [11а-с] ). Теорема 5.8 принадлежит Каффарелли и Фридману [58Ц, доказательство, схематично представленное в задачах, следует доказательству из [! 3) . В [13) показано, что если пе(х) < б(Ь вЂ” х) прн х < О, ве(х)= 0 для х>0, ее(х)(Ь вЂ” х)з -«!3 при х)Ь. то гз =!!/(2(т+1)).
Задачи 14 и 15 из й 5 взяты из [58Ц, а задача 16 основана на [1 1а]. Единственность решений, когда начальные данные — меры, была установлена Пьером [153); так, в частности, решение Беренблатта - единственное решение с мерой Дирака в качестве начальных данных. Соответствующие результаты, характеризующие класс мер, для которых решения существуют, бьщн недавно получены АронсономиКаффарелли [185] и Бениланом. Кренделом и Пьером [186]. Асимптотическое поведение (при г - ) решений уравнения пористой среды в ограниченной области изучалось Аронсоном и Пелетье [14] и Доннелли [78) . Относительно других результатов по асимптотическому поведению при я = 1 см.
[4) н [176). По уравнению и, = Аи"«с т < 1 см. Берриман и Холланд [39) и библиографию там. В этом случае, если т > (л — 2) /л, то для любого Т > 0 существует единственное решение и, строго положительное всюду (при условии, что ие > О, ие Ф 0). Если 0 < т < (л — 2)/л, то и строго положительно в некотором конечном интервале (О, Т) и и (х, Т) — = О. Теорема 6.1 принадлежит Альту [5с) и Брезнсу, Киндерлереру, Стампаккья [50). В [5с] задача со штрафом болееобщеговидаисамапо себе представляет физическую задачу, Теорема 6.1 обобщается на случай переменной проницаемости /г (х, у) (с заменой ч"'и на 17 (/счи) ), неутверждение 7„< 0 в теореме 7.1 требует, вообще говоря, предположения, что х„<0.
Теорема 6.2 принадлежит Альту [5с) . Результаты 5 7 изложены, главным образом, на основе [8) . Лемма 7.4 и доказательство единственности в з 8 взяты из работы [67а), Другое доказательство единственности, применимое к перегородкам более общего вида, бьшо дано в [8] (см. также [63о) ) .
В [8] авторы изучали также поведение свободной границы, когда она пересекается с фиксированной границей. Каффарелли и Гиларди [6) ранее изучали поведение свободной границы, когда последняя пересекает оз. Задачи 1 — 6 4 8 взяты из [67Ь]. Результат из задачи 7 был установлен в [61]; здесь дано другое доказательство. Регулярность свободной границы в л-мерном случае (з 9) установлена Альтом [5Ь]; для неоднородной перегородки такой результат принадлежит Альту и Каффареюии [6Ь]. 'Теорема 10.1 и ее следствия изложены на основе работы Фридмана 194Ь1.
Единственность была независимо доказана Каменомостской 11171, ею также получена теорема существования методом конечных разностей; см. также [4541, 176а1 и 191 относительно других методов. Очень мало извеспю относительно свободной границы в двухфазной задаче Стефана при и > 1; дпя л = 1 см. ссылки„упомянутые в з 12 нз гл. 1. Недавно Мейерманов 11431 доказал дпя л > 1 существование классического решения в малом. СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ 1. А к ер (Ас)гег А.) а) А йее Ьонпдагу ор1лпйайоп ргоЫеш // ЯАМ 1. Майе Ала1. — 1978. — У.
9. — Р. 1179- 1191. Ь) А йее Ьонпдыу оргнпйа1юп ргоЫеш. П // 51АМ 1. Ма(Ь, Апа1. — 1980. — У. 11. — Р. 201— 209. с) 1пгегюг йее Ьонпдагу ргоЫешз Гог 1Ье Гар1асе м)на1юл // АгсЬ. Каг(оп. Месл. Апа1.— 1981. — У. 75. — Р. 157-168. д) Оп 1Ье соптехйу оГ и)нШЬг!нш рйипа сопГгбша1!опз !/ Ма1Ь. Мейюдз Арр!. — 1981.— Ч. 3. — Р. 435-443. 2. Агм он (Азгпоп 8.) 1 есгнгез оп ЕШрг!с Воипд агу Уа1не РгоЫеюп — Уап Хоз1гапд: Рплсе1оп, 1 965, 3. А гм он,П у гл не, Н ир ел 6 е р г (Абшоп Б., ОонбНзА., Нйелбегб Е.) а) Езгнпагм пеаг 1Ье Ьонш!агу Гог зо!нИопз оГ еШрпс м)иаНопз загИГушн белеса! Ьонлдыу сопд1Попз.!. Л Сошшнп.
Риге Арр1. Ма(Ь. — 1959. — У. 12. — Р. 6 23-727. Ь) езпша1ез пеаг гьь Ьошн1агу оГ ешрис рапьн дитегепиа1 м)наполз за1ЬГуьш бепега1 ьонпдыу сопШИопз. П. // Солцпнп. Риге Арр1. Ма(Ь. — 1964. — У. 17. — Р. 35 — 92. — Рус. пер.: Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных лри общих граничных условиях / Пер. с англ. Л.Р. Волевнча; Под ред.
М.И. Вишнка.— Мн ИП, 1962. 4. Ал и какое, Рос та ма я н (АВЬаЬозН., Коз!аллан К.) 1лгбе 1нле Ьебапог оГ зо!нйолз оГ Неншалп Ьоипдыу та1не ргоЫеш Гог 1Ье рогоиз шед!нш е48агюп П 1пдйпа Оп)т. МаШ. — 1981. — Ч. 30. — Р. 749 — 785. 5. А л ь т (АИ Н.%.) а) А Ггее Ьонпдагу ргоЫегп амосмгед иИЬ 1Ье Вон оГ згонпд нагег // АгсЬ. Ка11ол. МесЬ. Ала!. — 1977. — Ч. 64, — Р. 111-126, Ы тье пны пои гьгонбь рогова шедм.
кебиип1у аг 1ье йее шгГасе // мапнзсг. магь.— 1977. — У. 21. — Р. 255-272. с) Бггбшнлбеп дшсЬ гпЬошозепе рогоза Мейзел шИ йемш Канд // 1. Кеше Албан. Ма1Ь.— 1979. — У. 305. — Р. 89-115. 6. Альт, К а ф фар е л ли (АИ Н.%., СайагеВ!Г,А.) а) Ехйгепсе алй гебнйпгу Гог а пцплпшп ргоЫеш нИЬ йее Ьонпдыу // 1. Кеше Апзеи.Мабг.— 1981.— У. 105.
— Р. 105-144. Ь) Р)н!д Пои 1ЬгонбЬ ЬгЬошобепонз рогонз гнейа. Кебнйп1у оГ Ше йее Ьонлдагу. — 1983.— У. 81. — Р. 97-149. 7. А л ь т, К а ф ф а р е л л и, Ф р и д м а н (АИ Н.%., СайагеШ 1..А., Рпедшал А.) а) АхмВУ зУпнне1пс )ег Вочгз// АгсЬ. Ка1Ып. Меси. Ала1. — 1983. — У. 81. — Р. 97-149. Ь) Азуллпе1пс)ег Полз !! Сошпшп.
Рше АРР1. Ма(Ь. — 1982. — У. 35. — Р. 29-68. с) )е1 Полз и!ГЬ бгапгу /! Е Ке!пе Анхен. МаГЬ.— 1982. — У. 331. — Р. 58 — 103. й) 1егз нИЬ Ьво Пшдз 1: Оле йее Ьонпдыу // Гпййла Пшт. МаШ. — 1984. — У. 33. — Р. 213— 243. е) Гегз нИЬ гио ПнЫз П: Тно Ггее Ьонпдапез П Ьшмпа Ппй. Ма(Ь. — 1984. — У.
33.— Р. 369-391. 8. А л ь т, Г и л а р д и (АИ Н.%., СИагд! С.) р)нЫ Пои 1ЬгонбЬ рогош шейа. ВеЬапог оГ Ше йее Ьонпйагу // Апп. Зон. Холл. Риа.— 1982. — У. 9, Х4. — Р. 571-626. 520 9. А л ь т, Л у к а с (А(г Н ЛЧ., Гяс)гйаиь Б.) ()иая-1шеаг ейрбс-рагаЬоПс д!!Тегепца1 сциабопь /! Майи 2. — 1983. — Ч. 183, Х 3. — Р. 31!— 341. 1О. А м б р о э е т т и, М а и ч и н н (Агпьхозе!И, Малс!а! О.) а) Оп хаше Ггее Ьоипдзху ргоЫешь // Кесеп! СопхпЬи!юпз !о Хопблеаг Регги! ВЬТегеп!я! Ециабопь. — Ьопдоп: Р!!пгап, 1981.
— Р. 24-35. Ь) А Пее Ьоипдагу ргоЫеш алд а ге1а!ед юшйшеы ециаИоп // Хапйлеаг Апа1.ТЛеогу,Мед!- оде АРР1. — 1980. — Ч. 4. — Р. 909-915. !!. А р о неон (Агапюп ВАЬ) а) КейийпгУ РгоРегцез оГ Паке Иноийй Рагаиз мед!а//81АМ 1. АРР1. Ыахй. — 1969. — Ч. 17.— Р.461-467. Щ КебиЬИгу рюрегбез оГ Пачь !Ьхоих)г рагоиз шедя; тйе ш!егГасе // Агсл. Кацап. Меси. Апа!. — 1970.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
