Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 93
Текст из файла (страница 93)
22) у = ч»(х) полунепрерывна сверху в хо. Следовательно, »с(х) непрерывна в х = хо. Из непрерывности»о(х) и следствия 7.5 выводим, что 7 = О, если у > ч»(х). Наконец, аналитичность р (х) следует из теоремы 7.9. Понятие 5»-связного решения определяется точно так же, как в двумерном случае. Т е о р е м а 9.8. Теорема 8.1 обобщается на и-мерный случай. Так как» = У, доказательство в точности такое же, как лри и = 2.
(ч > о)* [У к а з а н и е. Отметим, что ип ) О в 11 и возьмем ( = х.пт!и (О, ип — и) в качестве пробной функции.] 2, Доказать (9.б). [У к а з а н и е. Пусть Ы вЂ” функция расстояния до дЕе; И, = Ще, еслибы < е; с1, =1 если с(>е. Пусть( Е Се(Е),Г> О. Тогда — [чи ч(Гт1) = Ц„о) е. ч6А) (ГТ(„„) .1У 1, < О, если е мало.
Таким образом, — /7о 71" + Т < )т" е. 7Г, где Т--!ш И ' ~, е о Введем переменные (т,,..., з„,) = з (по касательным направлениям) и р (по нормали) вблизи Яз О дее и запишем 1 1 — 'ус1, = — и + — 0(р ), и — внешняя нормаль, О < 0< 1, с е 1 = 1(з) + 0(р). Тогда ди Х = Вш' )' Г() — [ в(ен~1х,л 1< е) др ) = !пп,(. [ — Г(з)и(з,р)[ > О. [ я,о(шацх,з,>- е) Э 1О. Двухфазная зш(ача Стефана Однофаэная задача Стефана была введена в гл. 1, з 9. В двухфазной задаче тем- пература льда не равна нулю тождественно.
Для классической формулировки этой задачи введем ограниченные области Сз в )с", Се С Се С С~ С С~ С Сз, и положим Р~ = С,~С„, Рз = Сз1С~. В начальный моментР, занята водой,аР,— льдом. Пусть г, = ас„г, = ас„г, = дР, О аР,. Обозначим 0 температурувР, О Рз. Ищем поверхность Г: Ф(х, т) =Он функцию В, удовлетворяющие следующим условиям: 0(6,0) = Ь,(х) на Рб 0(х, г) = «;(х, т) на Г,х (О, ) (1=1,2) (10.1) 0 = О, Ус~ ~7 В~ Р Ф вЂ” Рсз чхвз 7„Ф = аФ~ на Г, ав,. й,10, — — '= О в (2,. = О Р,(Г), дг т> е 511 Наконец, предполагается, что Г(0) совпадает с Ге, Г называется свободной границей. Дадим слабую постановку. Пусть а, = 1/к, а =Вз/о; на Г~ Х (О, »), й = Аз/ео на Р~ Х (0) и введем функцию о,и, если и >О, а(и) = о,и — о, если и4 О.
Будем обозначать а внешнюю нормаль к С = Сз~Се и положим и = В;/п~ в До наконец, опРеделим От = с х (О, т), с(г) = с х (г). 0 и р е д е л е н и е 10.1. Пара (и, 7) называется слабым решением задачи Стефана в 0т, если и ~ А фт), 7 Е Т. (1гт), — о <7 <0 п.в. на множестве (и=о), у=а(и) п.в.на(ичьо) и т а,, О (иЬ Р+ТРт)дхс/Г = / /  — с/Яс/à — /'7(х, 0)~Р(х,о)с/х (10.3) От еес аа с лля любой функпли у такой, что Р,~р, Р', р, Р,р Е СЯг), р = 0 на С(Т/ и на аС Х (О, Т), р называется пробной функцией. Можно показать, что если и — классическое решение (10.1), то и — также слабое решение.
(10.4) Предположим,что аС~Ст В (О<В<1); «, >7,>О, Вз >Тт >О;. п1 >О в Ры йз <О в Рз, ЛЕС(С) Гт Н 'з(С); е — сужение функции Ф такой, что Р,Ф„Р'„Р, Р;РЕЕТ), (10.5) Т е о р е м а 10.1. Существует единственное слабое решение (и, 7) задачи Стефана и О 1ит!2 <, Ог еаз знр / ! т/ и!' < (10.7) Окгк т С(Р Под единственностью подразумеваем, что если (и, у), (й, 7) — два решения, то и =й п.в. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть аю (и) — функции класса С, аппроксимируюшие а(и): 0<ос <а,'„(и), аю(и) =а(и), если ~ и ! > 1/гп. Рассмотрим параболическую задачу а' (о)п,— до= О в д~, о = а на аС Х (О, Т), и='и иа С(0). (10. 8) Согласно [1301 сушествует единственное решение п = ою задачи (10.8).
Можно, 512 где Р~(т) — область в ( г = з), ограниченная Г~ Х (з) и Г(з): Ф(х„з) = 0; Вз = В в Я. ЗДесь /со о — заданные положительные числа, Ь~ и В~ — заДанные фУнкции и (-1)' 'й, > о, (-1)'-'В, > о. (10.2) далее, показать (см. задачу 2) что существуют де-окрестность Ь'> для Г; (1 = 1, 2) нее )О такие,что ( — 1) ' ' о,„> ее в (1Ь'; Г> Р;) Х (О, Т) .
(10.9) По принципу максимума имеем также !о~! <С, (10.10) где С не зависит от т. Из (10.9) следует, что до„, а; — = Ьи в ((Г;Г>Р>)Х(О,Т). дг Используя (10.10) и стандартные параболические оценки, получаем ! г о,„! < С на дС Х (О, Т). (10.1! ) Умножим теперь обе части дифференциального уравнения нз (10.8) на до„,/дг и проинтегрируем по Ь>„. Легко находим, что /до ~' О~ — ) + Г !ро !'<С.
О,~дг р пг> Подробности предоставляются читателю. л Для доказательства единственности предположим, что (и, 7), (и, 7) — два решения. Тогда О (7 — 7)(Р, +еДР)= О (10.12) От дпя любой пробной функции у, где 1 и(х, г) — й(х, г) если иФй, е(х, г) = ! 7 — 7 ( О, если и = й. Отметим,что О<е<с, с=соотг. Выберемпоследовательность е ЕС фт), ею>О,такую,что !с,„— е!,< < 1/гл, е,„< 1+с, ь'ит> и возьмем ею = е,„+ 1>т. Тогда е,„к; 2+с, е < С !е — е! -'О,, е 'ь'(ят> ' ' ь'(О > (10.13) Для произвольной функции )'Е Се (Дт) пусть р — решение задачи ду„, — +е Ьр =Ув0т, дг (10.14) р = 0 на С(Т) и на дС Х (О, Т).
(1ОЛ 5) Доказательство существования можно теперь завершить, взяв подпоследовательность такую, что и,„- и слабое Н'~(Дт) ил.в. а (о )~7 е-слабо в 2 Ит). Умножая обе части (10.14) на гЛчг и интегрируя по 1е„, легко находим, что .г ~тг,р ~г+ Хе (А,,г )г ~ СД. С<.1 а. щ ™ Яе ещ (10.16) Оценим теперь У вЂ” ю И (7 7)г. Ят Подставив пробную функцию е = р в (10.12), получаем И (7 — 4 — + еще~ = ХХ (7 — 7)(е — е)гЛгг = — 1щ 0т г дт I Ят (10.17) !.7 1<С П 1 е — е 1 ~ ЬФ~ ! ~С ХХ хlе 1з/е~ -'Хе Ч ! гЛФ~ !+ Ят Ят + С Д' 4е 1 х/е —;Хее ~ !Ьущ 1 в = Ущ,г + Хщ г.
От Для любого малого г1>0 положим Еч =Ят гз (1 Ге — Ге1> и) Так как ещ -~ е в г,', то для любого малого Л > 0 найдется лг, = т(П,Л) такая„что шеа Е„> Л, если лг > лг г . Полагая Е„= (етЛЕч, имеем 1,г <Сп Д ъ'е ! гЛгг )+С ХХз/е 1гЛр Л еч Таким образом, . .7~ г ~Со~ Д ещ 1 гЛр 1~ +СЛ Пе ! Ьор 1~ ~ 0т еч у'* < С(П~ + Л) Д' — (в си у (10.16)) .
Ят е Аналогично, е Хг Сп' П вЂ” +СП вЂ” ~ П— рте лч е, 1ите и ввиду (10.13) з' г < (Слг +Сз/Л) Д' —. Хг если т достаточно большое. зависяшееот П,Л. Таким образом, мы доказали, что Хг У' < (Спг + С.У Л ) П вЂ” . (! 0.18) нт ещ Выбирая последовательность Х = Хт Е Сс" (()т), сходяшуюся к й — и в Е'(гет), полу. л чаем (10.18) для Х = и — и. После подстановки результата в (10,17) находим, что (й — и)' И (7 7)(й — и) ~ С(г? + ч' Л) ХХ (10.19) Ят Яг ещ Л е м м а 10.2. Пусть Г = й — и.
Тогда гт гг Ит гг( — = 9' — . т - ««т ем 12т е Предположим, что лемма верна. Так как т à Π— = Х(Т-Т)(и-и), получаем из (10.19) )) (Т вЂ” у)(й — и) = О, 0т л откуда и =и. До к а зател ь ста о л е ммы 10 2 Для любого малого Б >О положим йь = ((х, «) Е Дт; ~ й (х, «) — и (х, «) ! < Б ), Хе = 1гт~йь, йь = ((х, «)Е(«т; 0 < 1 й(х,«) — и(х, «) ! <Б) . Тогда Т2 Т2 Тт 0 — = Π— ьИ— (10.20) от е «та е те ещ (й — и) =)Т е,„ Об Тт И— аь е й — и а (й) — а (и) =О (й — и) < «т а(й) — а(и) с,„ ~~6 с е — ~й — и~<СБ Д вЂ” — <СБ; ст е,ч 6 <С 9 (10об) здесь бьюо исцользовано (10.13).
Анююгично 1' Π— = ХГ (а(и) — а(и)) (и — и) < ~6 е Йа <С)( ~й — и~<СБ. йь Так как Ха измсрилю, для почти всех(хе,«ь) Е Хь 1Х, зв,1 1лп =1, а е )В ! (10.22) где В, — шар с радиусом е и центром в (хе, «с), а ! А ! — мера Лебега множества А. Вели положить В« = (х, «) Е Хь, 1 Хь Г~ В, 1 > (1/2) ~ Ве ~ ЧО < е < — ) . « 515 то е«с е;,, и х ь~ (1.1 е«) имеет меру нуль.
следовательно, для любого е > О су. шествуету' =/(е) такой,что шез(г,а~Ег) < е. Поэтому (см. (10 21)) уг Π— < С О вЂ” < Сх/е. (10.23) ха(ь е ва1еуе,„ Аналогично, /г ГГ » ~съ/е. ~6!ау На множестве г, а имеем е (х, г) > Л (Ь), где Л (б) > О. Можно выбрать е,„как усред- нение е, это будет гарантировать, что е,„> е,„Э Л(б) 2 на Еу при условии, что гл достаточно большое. Таким образом, 0 </~)ею < С на Е. Так как е ~е па., то по теореме Лебега /г ~2 11ш Гà — =Д вЂ” . (10.25) луе„, г:; е Комбинируя (! 0.21) — (10.25), получаем из (10.20) /г !ппаор Π— — Π— ~<С(6+з/е).
рте 0т е! (1 0.24) Поскольку б, е — произвольные положительные числа, получаем утверждение леммы. При доказательстве теоремы 1О.! мы получили несколько побочных результатов, которые сейчас кратко напомним. Первый, резулыат сравнения: если (и, у) и (й, у) -- решения, соответсгвуюшие (уг, я), (усе), и й ~ л, я)Х, то и,- и.
Х Г (!я — г ~г+! ~,М вЂ” е )!г!с(я,гуг< 1 ас и пусть и~ — решение задачи Ьи=бв П, (10.28) ю =я на 36. (10.29) Тогда д и (х, г) — и (х, г) ! гах уг < -. о с (1О. 30) Используя (10.б), которое справедливо также при Т =, можем вывести из (10.30), что ,Г ! и (х, г) — и (х) ! с(х — О, (10.31) с Следующий результат связан с устойчивостью.
Предположим, что (и, 7) и (и, у) - решения, соответствующие (й, я) и (ь. 5), и я может быть продолжена до функции Ф в Д .. как в (10.5). Тогда Д' о (й — и) О (й — и) (у — у) < Ут От <С О )уг уг!г+С ГГ [)Ф Ф~г+1~'„(Ф. Ф)!2), (10.27) с<о! ит где константа С не зависит от Т. Предположим, что для некоторой функции я ~ Ст'р(дС) имеет место если г — ~ . Двухфазная задача Стефана может быль переформулирована следующим образом: найти решение и уравнения Э Эт — (.) = ° ° а'(а ), т (10.32) удовлетворяющее соответствующим начально-краевым условиям в слабом смысле, см.задачу 3 из 3 9 гл.1. Введем функцию, обратную к а (и): ц и — + —, если ю< — о, из цз (10.33) О, если — о<и <О, ю — —, если О<и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
