Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 92
Текст из файла (страница 92)
т,), л(53 э) = [аэ. тт) . а, = а, тт = т,. А«) Ьэ. Пусть5, зацапав виде у=«г(х), глек(х)««й«монотонно убывает. Предположим, что 5, лежит ниже у = йэ. Доказать, что существует единстнешюе решение и свободная граница для него, у = р(х), есть монотонно убывающая функция лри г, < х < аэ. [У к а 3 а и н с. Используйте [' = +(и - (««э — у)') в качестве пробной функции лля вывода равенства 1 ! 5т( (ь )) — )2 (" с ь«) .[ (7 — 1ни — (и -3)), = О. («с «««) Вэорой интеграл равен — п«ее[[и = 0) О )у < йэ)).
Тем самым и ) О в [у < Ьэ) н. в частно«ли. «э(к) ~ 1«э. Следовательно, решение и 5з-связное и поэтому онределеио единственным образом. Монотонность р доказывается так же, как и в задаче 6 (В).) э 9. Зацача фильтрации в и-мерном случае В этом параграфе мы обобщим результаты из а 6 — 8 на п.мерный случай. Там, где воэмон;но. будем использовать те же обозначения, что и раньше. Так, перегород- ка есть п.мерная область 51, ограниченная поверхностями 5, (непроницаемая часть), 5«6«ас«ь.
контактирующая с воздухом) и 5з (часть, контактирующая с водой). Предполагаем (см. (6.2)), что 5, и5э О5э кусочноС''-поверхности: обе явпяются графиками по направлению у: 5э 'кэ 5 э лежит выше 5,, з э открыто и задано в виде (9.1) у = )(х)(х ЕВе,Ва открыто) тле)'ЕС''(Ве). Здесь под "5 кусочно С ' ' " подразумеваем, что имеется конечное разбиение ( Б«) по- верхности 5, гле Х«равномерно класса С'' и дБ; кусочно С«д (п — 2)-мерные многообразия. Обозначим Х.= (х, у) точки в Лн, где х — точка из Вп Будем также прещюлагать, что 5э состоит лз конечного числа непересекающихся компонент 53;,.
ес«н (хе, уе) Е й н хе Е л(д53 3 ), то существует шар К С В" такой, по К Е л(5» «) и хе Е дК. (9.2) Формулировка задачи (А) остается без изменений. Теоремы 6.1 и 6.2 верны с теми же доказательствами. Доказательство того, что и Е В[ ', (й) в действительноцр сти распространяется вплоть до границы вблизи С '-части границы. В частности, иЕСЛ(йе) для любого О< )3 < 1, где йа — произвольная подобласть й, йе С й О 5,.
Теперь обобщим результаты из д 7. Прежде всего, отмеп«м, что теорема 7.1 остается верной без изменений в доказательстве. Далее, верна 33. Л. Фридман Л е м м а 9.1. Мнозкество й О ( и > 01 имеет вид ((х,у); Я (х) < у < |а(х)1, где у (х) лолунелрерывна снизу и чг(х) = Я'(х), если х Е (п( (я(Яо)). Доказательство такое же, как для теоремы 7.3. Доказательство леммы 7.2 верно лишь для двумерного случая.
Распространим результат леммы 7.2 на л-мерный случай. Фактически, надо установить глацкость свободной границы в л-мерном случае. Фиксируем точки Л1 = (хо У~) ~ Яг ° Хо =(хо.уо) ~ й Уо <У|. Ле м ма 9.2. Валли(хо, уо) =О,тодля любых О< б< 1,е > 0 и(х,у) = О(! х — хо("е) тгуо + е < у < уг. Д о к а з а т е л ь с т в о основано на несколькихлеммах. Выберем малые положительные числа б и бо такие, что Вь(хо) С я(Яг) Вь(хо) Х ( й ) С й, где й = уо — бо. Пусть 2' = Вь (хо) Х (й, Н), где Н достаточно большое, скажем Н > Я "(х) 'ч х Е й, и продолжим и нулем в с ~й.
Л е м м а 9.3. Суи(ествует ограниченнач нелоложительнач измеримая функция д(х), » Е Вь (хо), такая, что .( %'( (57и + т(ч > о)е) = ( д(х)((х,г(х))ах (9.4) для любой ('ЕСо (й). До к аз а'те л ь с та о. Пусть игг — решение уравнения ) 9(' (9игг + е) = 0 ЧУ~ЕНг(й), ь -0 на Я,, 1=0 на Яз, (9.5) ип Е Н'(й), игг = ио на Яг (ЗЯз. Согласно принципу сравнения (см. задачу 1) имеем и < ип. Так как также и = ил = = 0 на Яг, то формально получаем — (ч! — (~с я, е.
где С вЂ” константа, и отсюда легко выводится (9.4) с ди ВЯ д = — — —, дЯ вЂ” злемент поверхности на Я,. аа дх ' Однако так как Эи/Эа не является хорошо определенной, будем действовшь иначе. Пусть л о = л П й. Функция и ж и — игг удовлетворяет уравнению гге = — т2(г(„> Е) — = иг В Ц) (УО) где д, — положительная мера в ло; действительно, если (' Е Со (л ), то (так как йгин = 0 в л и +(' " пробная функция для задачи (А) ) распределение Ьо на ( дает (Ьи,('1 = — ("ч'о (т(' = — (чи.
ч('= ('1 е. Ч( = (и > о) ,( ьт =,( ((х, р(х)) дх = — (иг, ь 1. (ч>о) Продолжим функцию с нулем в е ')Уе. Так как с < 0 в е".е и и = 0 на ЭУе Г) Я,, продолженная функция о удовлетворяет (см. задачу 2) неравенству дс < д, в д)'(Е), (9.6) т.е. дня любой (' Е Сею (У), Т > О, )'оЬ( ~ <и,, ( > =- )'l ч .. е. ~7~. Поскольку и Е С" (2 ), левая часть равна величине -)Ро )т) = — )'Ри 37Т + ~тти„. Рг„.
Таким образом, 0> )(Т7и + У е) 37Т> Э =-- ') '7ип . т)Ь > ) — ип В,ох Эу откуда легко следует (9.4) . Действитепьно, функционая гВ) = )'Г~ + ! „-.,)е) 9Т ограничен на Се(Ут г) Е) и 0 < -Г(Т)<С' ) 1', если 1' > О. я г и По теореме Радона - - Никодима ГЯ =,Г В(х)('(х,у(х))дх, 0<-В(х) ~ С Вх(х ) Наконец, так как любая функция Т Е гте1(е,) может быть записана как Т' то получаем (9.4) дня произвольнойь ~ Се(е.). Л е м ма 9.4. Функция ту(х,у) = ) и(х, т)дт (9.7) у принадлежит С 'В(е.е) для любого О( В С 1.
Д о к азате пьета о. Полагая у Кх, у) = 3' Кх, е) й, $ ~ О, $ = 0 на Эе. Г) (у ) й), можем преобразовать (9.4) снедуюц)им образом (см. вывод (7.16)): ) ('7~ .Чуг + $У ) = ) В(х) ( ) Кх, е)ба) бх. я ВЬ (х~ ) Лх) Отсюда Ью = У,,+д,, (9.8) д, — ограниченная положительная мера в У, и требуемое утверждение следует в силу эллиптических оценок. 33н Лемма 9.5. Нмеет место нераеенстео их<Си еХо, где С вЂ” положительная константа. Доказательство.
Сначала покажем,что (9.9) ит <с в Уо, с=селга. Рассмотрим конечные разности 1 гь и(х„у) = — (и(х. у) — и(х, у — 7)), 7 > О. У в уо. Напомним, что и (и тем самым Ьтти) непрерывна в уо. Кроме того, Лтти ггр. моническая в Уо т1 ( и > 0). Пусть вт — решение задачи Ьо'=О в г,, вт = глах(Ьтти, 0) на дно. Так как пт > 0 и г) то и ч 0 иа Хо й д (и > 0), то по принципу максимума вт > Ьти в Уо гЗ(и>0). Поскольку Яг класса С", мы можем представить вт в виде дб вт(Х) = — ( — (Х, У) шах (гьтти. 0) ИЮ, ах, да где 6 — функция Грина в Хо.
Следовательно, Ци(Х) < вт(Х)< С ( ! гьтти 1Ю о~о при условии,что 81гт(Х, доУо) ' ео > О, где д~У~ = (Вг(х ) Х (дЦ О ((дВг(хо) Х (д, Н)) т~ й1' Сзависит от ео. Интегрируя относительно б, В по оаалым интервалам, получаем Щи(Х) <С ( ! Ьтти!ахг(У, где интегРиРование пРоеодитсп по нгкотоРоб п мсР- ной окрестности добро. Ввиду и Е Аг(й) имеем Ь~~и(Х) < С ( 1и 1, откуда О (при несколько меньших б и д, чем в определении Уо) вытекает (93) при 7 — О. Рассмотрим функцию г = еи — Ми + та в Уо, У где с > 0 мало.
а М большое. Если сПат (Х, д(и > 0)) > е, то и Э со(с) > О, и, полагая М =- М(е) достаточно большим, получаем г (Х) < О. Если д1гт (Х, д(и > 0)) < с, то ю < Сс (по лом ме 9.4) и 1 сит ! ~се (ввидУ 9.9); тем самым г ч; Сое (ф— константа, не зависл- щая от е). Поскольку ввиду (9.8) Ьг = Ью > 1 в Уо '' (и>0), то можно рассуждап так же, как в доказательстве теоремы 6.3 из гл. 2 (с —:: вместо ю) и вывести, что г < 0 в Х~ ю (Вг (хо) Х (б, Н)1 й й длЯ любого б'< о пРп условии, что е достаточно мало. Таким образом, и„ < Си в Хо, подбирая соответствующим образом б можно получить зту оценку в Уо.
Д о к а з а т е л ь с та о л е м мы 92, Возьмем 6 < 6'<ус <у,. Длялюбых Ь < у' < Ь <у < у,, хЕВа(ха) У и(х, у) = и(х, у') + ( и,(х, т) гй < У У < и(х,у') + С 1' и(х, т)дт < и(х,у')+Св(х,у'). (по лемме 9.5) У' Интегрирование по у', 6 < у' < Ь', дает 1 и(х,у) < С,ю(х, Ь), С, = —, + С (9.10) Ь' — Ь Поскольку ю(хс, уа) = О, если у > ус, в > О, ю Е С'+а (по лемме 9.4), имеем 5ти(ха, у) = О н в(х,у) < С!х — хь ~ "~. Комбинируя зто с (9.10), получаем утверждение леммы 9.2. С л е д с т в и е 9.6. Если ха Е п(д5з), то и(хс, у) > 0 для всех (хс, у) ~ й. Действительно, если и(х, ур) 0 для некоторой (х, уа) Е й, то согласно предположению (9.2) и строгому принципу максимума ди — Ф 0 в (хо у)Ей, у>уо ° ди где производные берутся как предел конечных разностей а соответствующем направлении, перпендикулярном оси у.
Это противоречит лемме 9.2. 3 а м с ч а н н е 9.1. Свойство шара,предполагаемоевлсмме9.2,используется лишь в доказательстве следствия 9.6. Это свойство можно заменить на свойство конуса с вершиной в хс (см. задачу 7.6 из гл. 2) . Теперь докажем теорему. Т е о р е м а 9.7. Предположим, что Хд = (ха, ус) принадлежит й й д(и > 0). Тогда для некоторого б > 0 свободная граница в [Ва (ха) Х (уа — Ь, ' ) ) Г~ й представима в виде у = Ч~(х), у(х) аналитическая; крометого, 7=0, если у>у(х). Д о к а з а т с л ь с т в о. Лемма 7.4 распространяется на и-мерный случай, если предположим в этой лемме, что и(х,у) = 0 на дВь(х) Х (й,Н). Таким образом, следствие 7.5 также остается справедливым.
Далее используем лемму 9.2 и рассуждения из леммы 7.6 для установления полунепрерывности сверху р (х) . Рассмотрим область Р такую, как на рис. 22; Р ограничена снизу у = Ь, с боков — дВр(ха) Х (й, ) и сверху — гладкой поверхностью у =дг(х); Р содержится в цилиндрсУ =Вр(хс) Х (й, ). Выберем1ч'(х) так, что е. и > сонм > 0 на (у = Л'(х)) т1 й, (9.11) где и — внешняя нормаль, Пусть иа — функция, удовлетворяющая условиям Ьиа=О в Р, ио = 0 на у=йт(х), оа = р на оставшейся части дР. Рис. 22 Продолжим оо нулем в Уо — = с Г» й. Тогда оо Е г»'(7о).
Покажем, что если с, р малы, то еоо > и на д«ос»й, (9.12) ч(еоо + е) с > О на (У=Д»(х)) Г» Уо. (9.13) » «-е Действительно, в силу леммы 9.2 условие (9.12) удовлетворяется, если с > ср Далее, (9.13) выполняется, если е»»оо . с + е . с > О, т.е. ввиду (9.11), если с ~ » во| <со, со >О.
Изменяя масштаб, находим, что ~»уоо! <С, так что если е «С» (для доста- точно малого С,), то (9.13) имеет место. Таким образом, (9.12) и (9.13) верны, если выбрать е =С,, ср «~С«. » еа Рассмотрим функцию о = еоо. В силу (9.12) ц > и в 52, (9.14) >и на даос»й, где 5» = (дсо Г» й) О (дно Г»5»), Из (9.13) заключаем также, что »«' 1»»» (»2о + Х >о е) > 0»т»»' ЕО'(Ео).
»»'>О, »» =О на Бз. и« (о>о) (9.15) Задачи 1. Доказать, что и < ип. 510 Функция о является "суперрешением" в Яо в том же смысле, как и функция о, использованная при доказательстве леммы 7.6. Фактически, то же цоказательство показывает, что и «о в со. Ввиду формы П (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
