Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Мы можем сравнить оба решения в цилиндре 1х1 < А, г > 0 с А > Не. Заключаем, что йс ~ ие. Следовательно, если обозначить Ьст(т), йе(т) функции Ь(т), соответствующие И' и ие относительно произвольной точки уе, лежащей на оси хя (х„> 0), то Це(г) сч 1с (с), (5.31) Можно проверить, что Ьс„(а) = д~ (О) — тз ч о(т') (т - О).
(5.32) Из (5.30) вытекает, что йе(т)<йе(т)+и(б), и(б)-+О, если 6=.6 ' 0 при усзсовии, что йе (т) (определенная относительно и ) и йе(з) вычисляются относительно одного и того же центра уе, а(б) сходится к нулю независимо от выбора уе (еспи, скажем, 1уе! >у„> 0). Из (5.31), (5.32) поэтому получаем Ье (т) ~ ссе (0) — ут + и(6) + Сэ~ . (5.33) Таким образом, мы доказали, что дпя любой поспедоватепьности б,„существует подпоспедоватепьность 6 такая, но (5.33) имеет место дяя всех б б ', С не зависит от выбора подпоспедоватепьности. Следовательно, (5ЗЗ) имеет место дпя всех достаточно малых б.
Из определения иа видим„что 1 й (т)= — й(т+бе) а (5.34) прн условии, что уе (см. выше) подходящим образом выбрано. Используя (5.33), попучаелс 1с (т + б т) < й (т) — 7 бс а + б а(б ) + Ст б. Для произвольного малого т положим т + б т = г и при б -ь 0 получим ! й(г) — й(т)1 / о(б) )вп Ы Э йш ш((7 — — — Сз = 7 — Ст. сьг г — т гьг т Поскольку е произвольно, отсюда вытекает (5.29). Л е м м а 55. Имеет место следующее неравенство; ~ й(г) — й(т) ~ йш тпр ( 7. гФг г — т (5.35) Доказательство. Излеммы5.2 выводим,что длялюбогое>0 ет и(х, т) ( 7 + -) О х ! — Я), 2) если ! х ! < А + с(е, где дь — положительное число, зависящее от е.
Пусть г'(г, Г) (г = ~ х ~) — радиальное суперрешенне (5.19) с С~ = (7+ е)/Х. Тогда )г(г, т)>о(», т), если Я <г<Я+дм при условии, что с7, достаточно мало. Ввиду непрерывности И(г, Г)>и(х, Г), если г .Я +с(, 0(г — т<б откуда ~ й(г) — й(т) ! ( 7 + е, если т ( г ( т + о. г — т Полагая Г 4 т, получаем (5.35).
Доказательство теоремы 5.1. Утверждение (1) следует из леммы 5.2. Из лемм 5.4 и 5.5 выводим, что й'(т + 0) сушествует и равен — 7; таким образом, приходим к утверждениям (й) и (ш) . Дадим приложение теоремы 5.1, предполагая, чю й(г) > йо > О, если т ( г ( т + оо (536) для некоторых положительных констант йе, оь. Это условие означает, что газ не "'концентрируется'" в точке у до тех пор, пока Г (т + ое . Те орем а 5.6.
Существует положительная константа А, зависяины от йе (но не ог ое), такая„что ~ д(у Й(г2)) — 4 (У Й(!1)) ~ ~ К(г2.— г1) (5.37) при условии, что т(Г1 (Гт (т+ оь. Таким образом, свободная граница растет не более чем линейно до тех пор, пока не "закончится" в некоторой точке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть я(х) — решение задачи Ьб = — С, если й(г) < ! х — у 1 ( й(г) + 1, я=О, если !х-у!=й(г).+1, е=У, если ~х — у~=Я", при условии, что о достаточно мало. Можно теперь применить принцип сравнения и получить, что г' > и, если 0 (г (Я + дм 0 (г — т ( о. В частности, о(», г) = О, если ! х ! — Я = — (7 + е) (г — г), где !ч'> апр и.
Тогда я(х) мажорирует о(х, г) и, следовательно, ! зу„о(х, г) ! ч: ! 17„8(х) ! на ! х -у ! = и. В силу (536) !ах(х) ! <К, где Кможетзависеть отйо. Поэтому ур(0) <К,н по теореме 5.1 ! и'(г + 0) ! < К. (538) (5.39) Так как й(1) монотонно убывает и непрерывна справа (по теореме 4.5), то г, г, ' (гз) й(г1)> Х ~ (т)дг Х ~ (с+0)бе~" к(гз гг) (г! ~ гз) (в силу (5.39)),откуда вытекает (537).
3 а м е ч а н и е 5.1. Если не сделать предположения (53б), то будем иметь лишь !(йз)'(г + О)!, (5АО) Теорема 5.1 в частном случае и = 1 дает Следе тане 5.7. Лредположим, что выполнено (3.37). Тогда длл любого г >О суьцесгвуюг и„(К,(г) — О, г), ь з(г+ 0) и сх(йз(Г) Г) = — 1'з(т+ 0). (5.41) Задачи 1. Доказать, что функция и„ограничена в любой полосе г ~: г!о(по > О) . !Указа ние, Функция ия + Сх возрастает по хб й(г) н ограничена на Г(г), так как в силу (5.11), (5.7) тг (11 ! ич (!'з (г), т) ! < — — + 2С.] М(11 ч 1) 2.Пусть 1(т) = зз(г).
Возьмем для простоты г' = О. Пусть зо — решение вида (334), свобоцнаа гРаница дла котоРого,х =1(г), касательна кх =1(г) в г = го (го в Цо >0) и ю„„(х, го) = - 2Р так, где ж > 0; здесь о„„> -2Р,Р--неотрицательная константа (см. (2.15)). Тогда (т >го), Ф) -- ((Го) — (г- го!1 Ыь) <1(г) — Иго! — (г — гоМ (го). Вычислить Г (го) = — 7~ ! (го) Аналогичное утверхсдение верно для (',. Существование ох(~з(г) -. О, г) есть следствие неравенства и„х Э вЂ” С, установленного в (2.15), так как тогда и„ч Сх монотонно возрастает пох.
Закончим этот параграф результатом о сильной регулярности ! ~ (г) . Те о р е м а 58, Лредполохсим, что выполнено (337). Тогда (г(Г) непрерывно дифференцируема для всех г > г*, где г,' = аир(г > О; 1 (г) = 12(0)) . Более точна, .( - 1)'(,.(г) = 5,(г) + П,.(г) для г > т,', (5.42) где $~(г) — выпуклая функция класса С' и п(т) — функция класса С~ ~. Д о к аз а те лье та о схематично представлено в задачах 7 — 13. (; — положительная константа, эависяшая только от гл), 1 (г) ! (го) + (1(г — го) н вывести, что [(~+ й) — р(г) — й['(г+ О) Фь(г) = (й >0) йа/2 удовлетворяет неравенству Фь(г) ь 7РЦ (г+ О) > 0(Ь) в произвольной точке г„.
3. Доказать, что для некоторой конечной положительной меры и т" + 7Р1'5д (5.43) в смысле распределений. [У к а э а л и е. Фь > — С, )' Фь(г)с/г <С Возьмем последовательносп Фь ' де 6 и слабо, где фе — знакопредепенная мера.! 4.Доказать (5.42) с выпуклой $; н и, г2 С". [Указание. Взять П(г) = [(6) + 1'(6 + О)!7 — Ь) — 7Р[(;.(т) — 1(6))ож! 5. Вывести из (5.43 ), что 1'(Ä— 0)ет '"' ':-['(П+ 0)гт ' (Гэ >Г,) н,следовательно,[' (г+0)>с>О,если г>пе >О. 6. Пусть Н(х, г ) — расстояние от( х г) до свободной границы х = ['(с), (х г) принадлежит Фь, 6чэкрестность ([(ге), ге) пересекает ( и > 0).
Показать, что с(х, г) С,< — — <С, (С,>0). д(х, г) [У к аз ан не. Испольэовать неравенства с,с/(х, 0ч* [х — Ь(г) [Я:сэс/(х, г), о(х„г) > ! и„Я(г), г) ! ! х — ['(г) ! — Р(х — ['(1))'.! 7. Показать, что С ! с, ! < С, ! иы ! < — — в /Уа. с/(х, г) [У к а э а н и е. Пусть Я вЂ” квадрат с центром (х, г) и стороной 7 = д(х, г)/2. рассмотрим 1 о(х,!)= о(7х+х,7гьг) в !х[С1, !г!(1. 7 Зта функция удовлетворяет уравнению и =(л — 1)ии +й, С1 <й<Сз. Применить оценку Де Джорджи и затем оценки Шаудера.1 8.
Пусть Р = 1'(го + 0), го > О. Показать, что — и„(х, г) «Р + а(е) в /У„ где и(е)- Опри е- О. [Указание. Если -и„(хл, гл) >Р + б, (хл, гл) (хо го) то и(х, гл) > и(хл, гл) — (Р + Б) (х — хл) — Р(х — хл) и(х, го)> — (Р+Б)(х — хо) — Р(х — хо) . Но — и„(х, го) -'Р,еслих -+хо 3 9. Показать, что ит(х, го) «Р'+ и(е), (х<хо), Учесть, что 1'„„> 0.) 486 если(х, г,)ЕЛ'„где и(е).+О прис О. [Ук аз ание. Если и,(х„, го)>Р'+ Б,ел =хо — хл,то и(хл,го+аел) = и(хл го)+от(хл го)пел+(1/2)а е„и„> >Реп — Ре~ +(Р~+ б)аел — Са ел.
Кроме того, и(хл,го+ос») и/ип « — 01+ оп)(хл — хо — аелР+ о»оп) (ел ил О). Выбрать а < С/Б так, чтобы прийти к противоречию.] 1О. Возьмем для простоты (Дго), го) = (О, О) и положим 1 ит(х, Г) = — и(х7,7Г). 7 Тогда для последовательности 7 - О имеем ит (х, Г) -+ К(х, Г) равномерно в компакт- ных множествах, где К вЂ” опять же решение со свободной границей х = (о(г), если г >О, [ о(г) Ро. если г< 0 )' Ро Т (го О) Пусть то(х г) = Р(Рг — х)'. Закончить доказательст. во теоремы 5.8 (т.е.
показать, что ~~(г) Е С'); достаточно установить, что 1' = в . 11.Показать,что 1'(х,0) "-в(х„О). [Указание. Иначе, так как 1'„„> О, то существует решение юо(х, г) = Р(Рг — х — б)' с Р > Р и Б >О тысое, что Г(х,О) > юо(х, 0),исогласно принципу сравнения К > в о, если г > О. Но тогда ( о(г) > Р г, если г > б / (Р— Р) .1 12. Доказать, что К(х, — 1) > ю(х, — 1). [Ук аз ам ие. Используя задачи 7 — 9с функцией и (7-~0), показать, что йш юГ ( 1'( — М, — 1) — в ( — М, — 1) ) > О, йш (п( ( г (-М, — 1) — вх ( — М, — 1И пп О.
М 13. Доказать, что И = иь [Ук аз ание. Используя задачу 12 и принцип сравнения получим, что И > и, если г > — 1; далее используем задачу 11.] 14. Доказать, что с„непрерывна вплоть до свободной границы х = (г(г), г > г,'. [У к а з а н л е. Использовать теорему 5.8 и неравенство о„„> — 2Р для получения оценки ох(х, г) Э вЂ” охи (го), го) — о(е) В Лг далее см. задачу 8.] 15. Доказать, что с, непрерывна вплоть до свободной границы х = (,(г), г > г,' и с (т" (г) г) = Кг(г)) ' [Указание: с„„> — 2Р, используя задачу 14 получаем, что 11шс, > ((')'.
По методу, указанному в задаче 9, 1ппс, < К ) .] 16. Показать, что утверждение [ ог ~ < Г в задаче 1 справедливо для любой функции ио Е 1,'(41") (т е. предположение (337) ненужно). [Указан не. Еслни <гт', положим 1 ф(г) = — Жг(4 — г) (0 <г< 1), с= $(ю), р = ю„. 3 Запишем дифференциальное уравнение для ю, продифференцируем по х и умножим на р; получим дифференциальное уравнение Х,р = О. Пусть 1 ЕСТ(Ло Х (О, )) 0<Г< 1 г 1гр Если г достигает максимума в (хо, го), то г„=О, Ф㄄— Фх<0 в (хо.го) Используем эти условия и 7.р = 0 для вывода неравенства ь'р' < С р' + ь" С ]р 1' в (х, го) Следовательно, п1ах г < С и тогда также [ о„] ограничено.] з 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
