Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 84
Текст из файла (страница 84)
3 а м е ч а н н е 2.1. Лемма 2.2 остается верной, если г) — произвольное положительное число, не обязательно малое, но тогда с зависит также от 11. Лействитель- но, это следует из тех же рассуждений, примененных к й(х, г)=()а(х, г +()г) с достаточно малым ()и. В следующей лемме, которая является в некотором смысле обратной к лемме 2.2, е — положительное число, определенное в (221), т — некоторая положительная константа, зависящая только от гп, п, н Х, а, С вЂ” произвольные положительные константы, удовлетворяющие вместе с е условиям С' т т — 1 ° е< — ет К С*а|В,(, )(~а~ ' >С(С') ~ е= — и), (231) аз ь аь((нь-1) ит(х ге)Вх > а Ви(х') а (2.32) у аз т/(т-1) и'"(х', Ге+)(а) > с~ — ) (2.33) где с=а'( ПСе и Се — положительная константа,зависящая толькоотгп,ю Эта лемма отражает следующий физический факт: если большая масса газа была в Вя(хе) в момент ге, то газ заполняет окрестность х в момент ге+а.
Доказательств о. Для простоты заменим х — хе на х и г — Ге на г. Пусть а ч ч 1((ги — ь) й(х, г)= — ) и(Ях, от). ),Лз Тогда з- й~ (х, 0) г(х > а. (2.34) Введем функцию Грина (при п > 3) и — 2 ()-тз — и рз — а ( 3 тз) 2 (т= ~х() в шаре В р. Она удовлетворяет условиям Ор(р) = Ор (р) = О, бр (т) > О, если О < т < р, и ЬС =ан!я -уаб(х) (а„=п(п — 2)) в смысле распределений, где ун — положительная константа,зависящаятолько от и, 1и — индикаторная функция А и б(х) — мера Дирака. Для п = 2 возьмем р 1 6 (т) —" 1и — — — (рз тз) 2 459 где С(С ) — положительная константа, зависящая только от С', ~и, п.
Эти соотношения выполнены для (1) произвольных фиксированных Х, С, есин е достаточно мало и а достаточно большое, или (П) произвольного а, если Х достаточно большое и е достаточно малое. Л е м м а 2.3. Пусть хе Е Я", ге > Ве, М > О, а > О, а < П. Если Тогда если 0( г ( 1 и й гладкая,то )'бс(т)Й(х, с)сЬ >,/ ~бс(т)й ф,а)сЬей = о в, с с с / С, (т) сьй™ (х, а) сЬ сЬ -у„~ й (О, г) сЬ о и„ / / й ~ (х, з) сЬ Ж о в, о о в, Следов атея ъио, 1 Сс(т)й(х, г)сЬ > -'у„/' й (О,г)с/а+ао / /йос(х, а)сЬс(г, в, о о в, (2.35 если и глацкая. Это неравенство имеет место для решений и и (по аппрокснма ции), для решения и.
Положим р(г) = / йос(х, г)сЬ в, и рассмотрим сначала случай, когда и си л( 2 или — > — ° и — 2 вс — 1 (2.3б) Тогда Хбс(т)й(х, с)сЬ-( ( /Счс(т)сЬ)'/ч,/((й(х, г)"')сЬ) с/"', в, в, в, (2.37) где 1/ у + 1/тл = 1 и /С» Ь( в, (2 38) Таким образом, из (235) получаем с 1 р(з)с/з( сс/й (О,з)сь+сз(р(с)) /~ о о (2.39) где Сс — положительные константы, зависящие только от «с, сь Рассмотрим теперь случай, когда (2З6) не выполнено, но л ис л( 4 или — >— я — 4 сл — 1 (2.40) Так как С с (т) ограничена, то вдали от т = 0 С,(т)й(х, г)( Сз Х й(х, г)< Со(р(г)) с~ В,~вс/з В.1вс/з Для х ЕВс/з можем представить й~(х, с) через функцию Грина Сс/о.
7мй (х г)="о Х 'с (У г)ссУ ./ Сс/о(~У х~)Сзй (У Г)ссУ в,/о(х) в,/о(х) (2 41) (Здесь опять подразумеваем гладкость й; более точно: все вычисления выполняются для й/, а затем в последнем неравенстве мы переходим к пределу при / -о%) Вспоминая, что сзй =Йс > ей, получаем й(х,г)=(й (х,г)]' < ~[/) ! и (у,г)1/у+/)ее ! б1/4(]у — х!)п(у,г)с/у] в1/4(х) в1/4(к) < 2/)~/ (р(Г))'/ +2/)~' е'/ ( ) б1/4(!у-х!)и(У,Г)2У] / < в,/4(х) <2/5„/ (12(г))'/~+С,еч/~+ / б1/4(!У вЂ” х!)и(У,()1(У В, /4(х) /)„- "шах где 1/4 + 1/п2 = 1.
Следовательно, ] б, (]х !)й(х, Г)с/х <СЯ(Ч1(Г)) /~ + Сае~/~ + В1/2 + )' )' б,(]х!)б,/4(]у — х !)й(у, Г)с/у1/х. В!/2 В1/4 (2.42) Последний интеграл имеет вид / б(у)й(у, г)с/у, ВЗ/4 где ввиду (2.40) ,( ! б(у)]Чу<-. изз/я (2.43) Оценивая последний интеграл в (2.42) по неравенству Гельдера и подставляя (2.42) и (2.41) в (2.35), получаем ,/" )2(т) /т < е < С, /" й (О,т)от+ С144~ +Ст(А())'/~. е (2.44) Если (2.40) не выполняется, но л 1П я <6 или — .> —, я — 7 п2 — 1 где Са, Сз, б — положительные константы, завися1цие только от п1, л.
В силу (2.34) (2(0) ) "е ("е = г ! В1 !), ав силу (2.13) (и )с~ еп (2.46) то можем действовать, как и выше, но при оценивании интеграла (2.43) мы сначала выражаем й ( у, г) через функцию Грина б1/а. Очевидно, что зта процедура приводит для любого л к неравенству вида /' Ч1(т) 1й < С, / й "'(О„т) 4/т + Са е~ + Са( р(Г))1/41, (2,45) о о и, следовательно, р'(г) > е '~ее. Поэтому р(г)Р'е 'ьее для 0<г<Л. Предположим теперь, что (2.33) не имеет места, т.е.
й (О, Л) < с. Используя (2.46), получаем йм(0, г) <ееьс, если 0 <г<Л. (2.47) (2 АЗ) Полагая (С~ Лсе'ь+ Сея~)е'"~м/е'/~ =- С и используя (2.47), выводим из (2.45), что /' р(г) с(г < — (р(г))'!и ( — = С, + С 1. о В В Пусть 1 Ф(г)= Х у(г)Юг. о (2.49) (2.5 0) Тогда (ьт (г))~/~ > ВФ(г). Из (2А?) следует, что Ф(г)> Аг, А=е ' ео. (2.51) (2.52) Сравним 9(г) с решением Х'(г) = (ВХ(г)), г > г., х(ге) =Ага.
В силу (2.51), (2.52) $ (г) > х(г), г, < г < Л. (2.5 3) Далее, 1 (ш — 1) Х '(г) С вЂ” В г где константа С определяется из формулы 1 (ш — 1)А го С- Вмт Поскольку т(г) ', если г- С/В'", имеем также ввиду (2.53) С Ф(г)~, если г- Вм здесь использованы определения С, А. 442 прн условии, что Л ~ С/В, однако это невозможно. Тем самым (2.33) должно выполняться при условии, что С ееь(юи — 1) + го' (2.54) (щ — 1) Р~~ ~ ге ~'В Выбирая ге = Л/2, легко проверить, что (2.54) есть следствие (2.31) и определений В, с. Л е м ма 2.4. При тех же обозначениях, что и в лемме 2.3, если )гг о(х, Ге)г(х > ае — (ае х и(м г)ра), (2.55) ВЛ(х~) 1гг о(х,т +ло) > с — (с =с( г)1 ).
о (2.56) До к аз а тел ь ство. Так как п(х,гс)с(х = — у им '(х,те)г(х< Вл(х ) Ш вЂ” 1 ВЛ(хч) < Со ( Х и'"(х, ге) гКх)(м ВЛ(хе) где константа Се зависит только от т, и, то для вывода (2.56) можно иепосредст. веяло применить лемму 2.3. Задачи 1. Пусть ие, йр принадлежат Е'(Я"), ие>йе. Показать, что если и(х,г), й(х, г) — решения уравнения пористой среды с начальными данными ие(х) и йе(х) соответственно, как утверждается в теореме 1.7, то и(х, г) > й(х, т) . 2.
Показать, что решение и из теоремы 1.7 удовлетворяет условию Хи(х, г) сЕх =,(и,(х) йс. лп и (У к а з а и и е. Используйте аппроксимацию и;.) 3 3. Непрерывность по Гельдеру решеиия Пусть й ' — положительное целое, определеииое формулой ° + 1 2-(г ° + г)е < т( е го) < 2 — ь*е с с (3.3) где с — положительное целое, зависяШее только от пг, п, Пе; с будет определено ии- 463 Т е о р е м а 3.1. Решение и(х, т) уравнения пористой среды непрерывно по Гельдеру в каждом множестве Я" )( (По ) Пе >О. До к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать непрерывность по Гельдеру произвольного гладкого положительного решения и при условии, что константа и показатель Гельдера ие зависят от 1'.
Дпя простоты заменим и; иа и. Сначала докажем неравенство типа неравенства Гельде ра в одной точке (хе, тс ), где тс >2пе, пе >О. Пусть С„=((х, ); ~»- е ~<яь, Ге-оде)«е), (3.1) Мь = шах(зпр и, т(') для некоторого е > О. (3.2) же. Выберем Я»=2 ", о(Я»)=С2 е» (оЯ1)<пе) длянекоторого 1 <а<2, С >1,идокажемпоиццукции,что М» =Я» для всех 0 </г < /г', где е определяется из формулы (3.4) (3.5) (а — 2) — + с=О (о<2, е>0). (З.б) т — 1 Отметим, что для любого фиксированного положительного целого ке можно предлоложить, что (3.5) имеет место для /с > ке, так как без потери общности можем считать, что и < 2 "'. Выберем/сс зависящим только от т, л.
Для перехода от /с к /с+ 1 положим м /(т — 1) /о~~») '1 А =~ —,// (3.2) ~ /(,' ( и введем функцию йм(Х,/)=А»и~Я»(Х вЂ” Хо)+Хо О(К»)(à — ГО)+ГО) (3.8) в С =((х, г); 1х — хе 1<1, гс — 1<1<ге). Тогда А»М» =А»Я»=С, (3.9) где С ж/(ю — 1) (3.10) Поэтому зори~ =А»М» = С. С (3.11) и затем выбрать с достаточно большой так, чтобы выполнялось (3.12). Начиная с этого момента, считаем с, и фиксированными. Рассмотрим функцию й'"(х, г+ гс) йм(х, г+ ге) и(х,г)= А»М» С В силу (3.12) и ю(х, -1)1/х < В, (х') С (3.14) По лемме 2.3 и (З.З), (3.4), если /с</г', то й~(х, Гс — 1) 1тх <1 (3.12) В,(х ) при условии, что си'/м достаточно большое, зависяшее только от щ, л, С.
Таким образом, можно выбрать я так, что 1 — < —, (3.13) С 2 и в силу (3.11) в < 1 в В(хе, 1) Х ( — 1, 0). (3.15) Кроме того, Ст1в=,5йм =А Втьи'а > ь а > — АаяатС3 С1 ят е (так как Ьи~ > — С1 ). Замечая, что й С1/т в1/т — ь в 1 т гл получаем 1 Сов — С /~ — в /м вт=О. РП (3.16) Если в, < О, то 1 м СЬв — С /~ — в, Э СЬв > — С~Яаа лз тогда как если и, <О,то 1 1 Ст1в-С'/'" —, > С/т -С'/'" — '/'"-',=О Рл ГИ в силу (3.15), (3.16). Такимобразом, в обоих случях 1 С." — С'1™ — в, > С, Ц, гл (3.17) и в(х, г) < 9 — + (1 — д) + С'я т — ' С В=В(х,г)Я(О,,1-В,), О<В,<1, где Ве — фиксированное число, не зависящее от /1 и Сз — константа, зависящая толь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
