Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Доказать теорему 4 6 для более общего слу ия ие Е /.' (/1"). (У к а з а н и е. Пусть и е (х) = ие (х), если ~ х ! < /)Г иф (х) = О, если ! х1>//. Обозначим и~(х, г) решение с начальным уаговием иое. Пусть и л (х, г) = л"и ()(х, л" /"г). По следствию 1.9 и (х г) < С /зь/ ь 3 5. Дифференцгалыи)е уравнение на свободней границе В этом параграфе мы докажем, что скорость изменения (в пространстве) давления на свободной границе равна скоросш движения (по времени) свободной границы. Фиксируемточкууа й (т) (т >0) н положим й(г) = шах ( А; о(х, г) =— 0 в //л (у) ), (5.1) тя.
й (г) — расстояние от у до й (г) . По теореме 45 й(г]>0 внекотороминтервале 0<г<т+6е (6е>0). (5.2) Введем функцию о(х, г) 7г(е) = шах — ' (е > О, 0 < г < т+ 6,) х ива(г)+е(т) е (5 З) и положим у,(г)= . Вш у,(е), е "~а (5.4) если предел существует. Мы докажем в этом параграфе следующую теорему.
Т е о р е м а 5.1. (1) //редел в (5.4) существует', (П) й' (г + 0) существует; (ш) имеетместа следующее соотношение: 7г(0) = — й'(г + 0) (О < г < т + 6о). (5.5) Разобьем доказательство на несколько лемм. Очевидно, достаточно установить утверждения теоремы 5.1 в точке г = т. Для простоты возьмем у = О. Положим й(т) 7(Е) 7т(Е) 7 7г (0). а по теореме 3.1 для любой последовательности )(Г' Ф имеется подпоследовательиость л/ Ф такая, что ил. (х, г) - и (х, г) равномерно в компактных подмножествах ! А" Х (О,' ). Сопгасно задаче 11 и (х, Г) ь рь (г, Г) при г ~''и', гце /,~д 1/.а = / '.
КРоме того, и > и влечет)е > Гт~, и, таким обРазом,и > > /тх . Используйте соотношение / (е(х, г) г/х < Вп( ш/ 3 ил (х, г) (/х = /1 Таким обраюм, о(х, т) г(е) = пах л нвл+е е Ит у(е), если предел существует. е~е Л е м м а 5 2.Предел в (5,7) существует. До к а э а т е л ь с т в о.
Предполояам, что и > 3. Рассмотрим функции яв-г М(г) ю (Яз-ч г2-в) и — 2 М(г) и'(г) = е7(е) + С(Я+е — г) (г — Я) (С)0) М(Я + е) для Я < г < Я + е . Тогда гаге<- С, если е достаточно мало,сказам,если е < Я/л. Кроме того, ю(г)=0, с(х,т)=0 на дВВ, ге=е7(е)~ и(х,т) в Вл+, (всилу5.6). В силу (2.15) 5ге<гьи в Я <г<Я+е (5.6) (5.7) (5.8) прн условии, что константа Сподходящим образом выбрана (именно С) от) .
Применяя принцип максимума, заключаем о(х, т)<ю(г), если Я<г<Я+е. Считая х б Вп ьа, где 0 < 6 < е, получаем М(Я+6) 67(б) ть е7(е) + С(е — 6) б. М(Я +Е) (5 В) (5.11) г М(г) = Я 1и — . Я Таким обраюм, 67(б) е7(е) С(е — 6) б + (5.10) М(Я + 6) М(Я + е) М(Я + 6) Посколысу М(Я) = О, М'(Я) = 1, то С(е — 6) 6 М(Я+ 6) < гс(е 6), и, следовательно, из (5.10) вытекает, что функция 7(е) Ь(е) = + 2Се монотонно возрастающая.
М(Я + е) Позтому Вт я (е ) существует и тем самым предел в (5.7)' такие существует. е- е Лля л " 2 доказательство то же, за исключением того, что М(г) теперь опреде- ляется так: Возьмем последовательность е 1 0 и точки х Е Вль, такие, чуо и(х'", т) =7(е~), х -+ха ЕдВя. (5.12) Для любого 0 < р < 1 введем конус К вЂ” (х (х — х ) ° х >р1х — х Д К„вЂ” конУс с веРшиной в ха; он лежит вне Вя (за исключением веРшины), н К„пРи р т 0 переходит в полупространство, граница которого касательна к дВя в ха. Л е м м а 53.Для люГюго р ) 0 существует функпняг„(г),удовлетворяющая условию — -+ О, если г а О, аи(т) (5.13) и такая, что и(х, т) — (г — Я) 7 =Кн(г — тт), если х Е Кн, До к аз а тел ь ство.
Так как и(х, т) <7(г) <7+ о(1). г — Я (5.14) то и(х, т) — (г — В) 7 <о(1) (г — гт). (5.15) Таким образом, остается установить нижнюю оценку и(х, т) — (г — Д) 7 > Пн (г — В), (5.1 6) где п,(г) + О, еслн е ь О, г Фиксируем точку г е К„ц положим !г1=рм 6=р, -Я. Докажем, что неравенство вида и(г, т) <7 — с 6 (5.17) не может иметь места, если с — фиксированная положительная константа, а 6 произвольно мапо; зто, очевидно, доказьвает (5.16) . Будем работать с решениями вида 1 иа (х, г) = — и (х + б (х — х ), г + бе) (О < 6 < 1) б уравнения (2.9) . В силу (5,15) и(х, т) < Сад(зт(х, Вя).
(5.18) Сравним и (х, г) дпя т < т < т + и, (а, < 1), ) х ) < Я з (Д < Я, < В + 1) с радиальным суперрешеннем (см. (2,25)) Г(г, г) = Л [С,(г — т) + С,( — К)г (г = ~ х 1), (5.19) тле С Л= 2Се, Сго, < т1п (1,й/2) и Л= Л(т, и) достаточно мало. Ввиду (5 18) и(г, г)» о(х, г), ~ х1<В,, (на! х 1 = В ~ неравенство строгое), так что Р (г, г) > и (х, г), если 1 х 1 = В ~, г < г < < т + о~ с лодходяшим образом выбранным малым о,, Следовательно, согласно принципу сравнения о(х, г) < Л(С',(г — г)+ С,(! х ! — В)1+, откуда оа(х, г) < Л(С',г+ С,! х — х'1)+.
Вспоминая (2.14), можно распространить зто неравенство на г < О (с другой константой Сд).Такимобразом,длялюбого А >О иа (х, г) < С когда ! х ! < А, 1г ! < А, (5.20) С вЂ” константа, не зависящая от Б. Отметим также, что (5.21) ,боа Э -СБ. Располагая зтими двумя неравенствами, можно теперь применить доказательство теоремы 3.1 и вывести, что оа (х, г) равномерно непрерывна по Гельдеру в ограниченных множествах ! х ! <А, ~ г! < А (5.22) с константой и показателем, не зависящими от Б.
Пусть е О =х е Б г — х е г =хе+ Б Тоглаиз (5.15) дляхЕ Димеем оа (х, О) < ТИ(х, Е ') + Ле(Б) В(х, Е'), 0 < Ле(Б) ~ О, если Б -~ О. (5,23) Рассмотрим гармоническую функцию (считаем дпя определенности л > 3) ь( ) (" 1( )) (1(з-е з — л) 1 Л л — 2 Б/ где Л(Б) = Ле(Б) + Себ, Р(х) = ~ х — 0 ~, Се > О. н обозначим Е', Е" сферы с центром 0' н радиусами к/Б, (К/Б) + 1 соответственна Тогда х Е Е' и г'Е Х .
В общем случае, когда х изменяется в Е' (Е" ), хе + + Б (х — х ) изменЯетсЯ в дВл (ЗВл+а) . Котла х + Б (х — хе) изменЯетсЯ в коиУсе К„, х изменяется в том же конусе, Обозначим С область, ограниченную Е', Е", а Де — цилиндр такой, что его ось совпадает с осью К„и К„г~ б С Де. Можно взять диаметр Де так, что он будет положительной константой А „, зависящей только от П (А „-»', если д - 0) .
Пусть Д = Де й С. Для произвольной точки х и множества В запишем 4(х, В) = 81зг(х, В). Она удовлетворяет на Х условиям дй д'й 1=0, — =у+и(б), — К Сб. др дрг (5.26) где и — внутренняя нормаль; более точно, н (х) > Сг (Р— Л) в !е. Отсюда следует па(х,О) <!с+Сед(Л +1 — р)(Р— Л) — ю<(7+ Л(6) +Себ -Сг)(Р— Л) в О.
Взяв, в частности, х = хе+ 6(х'" — х'). имеем и(х"', т) < (7 + тУ(6) + Се 6 — Сг)гу(х, дВл) для всех достаточно больших т. Таким образом, ввиду (5.12) 'у(ет ) < у + п(б) + Со 6 Сг (5.28) что невозможно при достаточно больших нг. Доказательство леммы закончено. Л ем ма 5.4. Омеетместо следующеенеравенство: 1 й(у) — Уг (т) ~ Вгп!и!— тг г т — т (5.29) 48! Вспоминая (5.23), заключаем, что если Се достаточно большая, то Ус(х) > шах(еь (х, 0).
угУ(х, Е ') ) в Д. (5.24) рассмотрим функцию й(х) = Ус(х) + Сед(Л + ! — Р) (Р— Л) (Се > О) . (5.25) Если 6 достаточно мало, то ~Й < — Себ. Выбирая Се достаточно большой, ввццу (5.21) получаем Ь л(х) < сХ па (х, 0) в Д. Очевидно, Ус(х)>ус(х)>шах(иь(х,О),ууУ(х, В')) вД (5.27) ввиду (5.24) . Предположим теперь, что (5.17) верно; придем к противоречию. Из (5.17) имеем иа(г',0) < у — с, а в силу (5.22), если !х — т*! < се,то пь (х, 0) < у — с — С, се (С„> О, а > 0) . Так как из ! х — з*! < се вытекает, что сУ(х, В') > 1 — се, то,используя (5.27), полу- чаем Ус(х) > у(! — се) = у — усе > иь(х,О) = с)2, если ) х — х*! < се при условии, что се достаточно мало.
Вспоминая (5.26), (5.27), мы можем применить принцип максимума к функции и(х) =Ус(х) -- иь (х, 0) в !2 и вывести, что ди' — > Сг на дД О В (Сг > 0), дн Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем ту же иа (х, г), как и выше, где б — произвольное малое положительное число. В сину (5.22) любая последовательность б„, 4 0 имеет подпоспедоватепьность 6 ° такую, что иа -+ ие равномерно по (х, т), 1х! <А, 1г1 <А дпялюбого А >О (б =6,„4 0) (5.30) и ие(х, г) есть решение (2.9) . По лемме 5.3 6 (р — Р) я„(б (р — Я)) иа (х, 0) = у б б где р = г(хе + 6(х — хе)), поспедний чпен стремится к нулю при б — О, тогда как р-+ -х„, еати в качестве оси К„взять ось х„(х„<0) .
Спедоватеп ьно, и, (х, 0) = — ух„. Пусть  — шар с радиусом Яе, лежащий в х„< О, и дВ касается х„= 0 в начале координат. Сравним ие с подходящим решением йс, как в (3.34); обозначим йс соответствующую функцию давления. Выберем йс и Яе так, чтобы носитель х-+си(х, 0) совцадап сВи д йс дио — — в начале координат. дх„ дх„ Поскольку йс(х, 0) вогнута там, где ие(х, 0) пинейна, то йс<ио на с =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
