Эйген, Шустер - Гиперцикл. Принципы самоорганизации макромолекул - 1983 (947301), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Каждый полинуклеотид 1, специфически транслируется в полнпептид Еь Очевидно, для трансляции ап-г оп.г Ет Рис. 37, Схематическое изображение гиперпикла с трансляцией. Размерность 2)ч п, т. е. а полинуклеотидое н а полипептидон. требуется наличие соответствующего аппарата, который включает в себя по меньшей мере некоторые из продуктов трансляции Е, и использует определенный генетический код. 2. Полинуклеотиды и полипептиды образуют специфические комплексы, которые также проявляют каталитическую активность прн синтезе полинуклео.
тидных копий. Полипептнды могут быть специфическими репликазами или специфическими кофакторами белка с полимеразной активностью, Все вместе этн первичные белки обеспечивают наличие по меньшей мере двух функций: специфической репликации и трансляции. В части В показано, как можно представить себе такую систему. Связи между 1; и Ег должны быть такими, чтобы могло произойти замыкание цепи обратной связи (рис. 37). Математически циклическая симметрия вводится тем, что предполагается образование Часть Б. Абстрактный оиперцикл 1Х.
Гилерциклм с трансляцией 1бб дующий внд: о н и о йьуа с и а-ю ую =)юзю о (73) ою = йюую— о хЮ хю+хп ую ую+ею. о о (74) ~,у сюю к~ х,, еи. о а (77) . специфического комплекса между ферментом Е; и поленуклеотидом 1ь причем 1= ю+ 1 — идю„. Кннетнка синтеза полпнуклеотндов описывается уравнением Мнхазлнса — Мептеп, хотя мы пе вводим предположения о том, что концентрации комплексов.пренебрежнмо малы: к юю !о+ ею и=в 1юею, 1,ею+ Х таама ь)ю+!юею.
(73) Четыре нуклеозндтрнфосфата н нх стехнометрнческпе коэффициенты обозначаются соответственно через Мь и та, Х = 1, 2, 1 1 3, 4. Введем обозначения хю для концентрацпн комплекса 1юЕю, хЮ, ую — длп полной концентрацпп полнпептпдов (Вю) н полио о нуклеотндов (1,), хп ую — для концентраций этих полнмеров в свободвом состоянии. Согласно закону сохранеппя масс Прн быстром установлении равновесной концентрации комплекса концентрация зю связана с полными концентрациями х н у о о следующим образом: Предполагается, что синтез полппептндов является неспецпфпчкым, т.е.
трансляцня полннуклеотнда 1ю осуществляется с помощью общего «аппаратаюс 1ю+ Х ~ьхМаъ — '» 1ю+ Ею. ь Символами Мх и ть обозначены актввпрованные аминокислоты и а и пх стехпометрическне коэффициенты соответственно. Селекцпонные ограничения можно ввести посредством независимой регуляция полных концентрацпй обоих типов бпополпмеров (1 и Е). По аналогии с ограничением постоянной организации будем поддерживать обе суммы концентраций постоянными: Прн всех этих условиях наша динамическая система, состоящая пз 2п связанных днфференцпальных уравнений, пркобретает еле.
Нам достаточно обсудить два предельных случая: 1. При достаточно низких концентрациях концентрация го комплекса !юЕ; становится пропорциональной произведению концентраций полинуклеотида н полипептида: уо гол ю( . г — уохо; г. ~ у'., хо. (79) ю ю Если далее предположить, что процесс трансляции, реакция первого порядка, является быстрым по сравнению с репликацией, реакцией второго порядка (это допушение вполне обосновано, по крайней мере для низких концентраций полинуклеотидов), то концентрация полипептидов примет стационарное значение, которое можно включить в параметры скорости.
Тогда образование полинуклеотидов будет описываться системой дифференциальных уравнений, типичной для элементарного гиперцикла размерности и. 2. При высоких концентрациях гю становится равной меньшей из двух переменных '. г, = )п((уор х'). . (80) Соответственно мы получаем две возможные предельные ситуации: х(,е. рою ч» хо °, о (81) )ю( ч хо чС ус ° г хо (82) В нервом йз этих двух случаев полинуклеотиды ведут себя как независимые конкуренты, тогда как полипептиды — из-за того что ую =уою — г, = 0— ' ш1 = юпбпппп — математический термин, обозначающий мнннмальный член данного множества. 157 УХ. Гаперциплм е транслпцаей Часть Б.
Абстрантнмя гиперцинл остаются в стационарных концентрациях. В естественных условиях, когда такие ограничения, как «постоянные полные концентрации», обычно не выполняются — по крайней мере, для предполагаемых малых значений у,— рост концентрации полинуклеотидов в результате привел бы к обращению концентрационных отношений у:х и, следовательно, к выполнению условия (82).
Вследствие этого начинают выполняться аппроксимации я, хс, у, дс (83) что приводит к 2п-членному каталитнческому циклу, но не к гиперциклу. Итак, в условиях насыщения, т, е. при высоких концентрациях компонентов, гиперцикл перестает вести себя как система с нелинейной скоростью роста. Как объединенная система, он имитирует свойства простого каталитического цикла, который эквивалентен автокатализатору или самовоспроизводящейся единице.
1Х.З. Численные решения Дифференциальные уравнения для каталитиче-ских гиперциклов с учетом в явном виде процесса образования комплекса между полинуклеотидами и .полнпептидами трудно исследовать аналитическими методами из-за иррациональности соответствующих выражений. В этих случаях численное интегрирование сопряжено с большими затратами времени, но тем ие менее оно является единственным источником информации о свойствах этих динамических систем. Для иллюстрации динамики полинуклеотидно-полипептидных гиперциклов мы приведем графики решений, полученных с помощью ЭВМ, а также фазовые траектории. По сравнению с элементарными гиперциклами полииуклеотидно-полипептидные системы содержат новый класс параметров, а именно константы ассоциации комплексов Кь Как и следовало ожидать из различий в кинетическом поведении при нижнем н верхнем концентрационных пределах, константы равновесия оказывают решающее влияние на динамические свойства системы.
С целью систематического исследования мы уменьшим число независимых параметров. Допущения здесь будут в основном те же, что и для элементарных гиперциклов: все константы скоростей для репликации полннуклеотидов †)6 = 1г = .. = 1, = 1, для их трансляции в полипептиды — Ггь —— Йг = ... — — Й, = й, а также все константы ассоциации — К~=Кг=...=К,=К предполагаются равными.
Затем мы исследуем влияние К на свойства динамической системы при фиксированных значениях ) и й для постоянного множества начальных концентраций. Для гиперциклов размерности п=4 интегральные кривые через достаточно большое время приближаются к устойчивому стационарному состоянию. Отдельные концентрации могут испытывать затухающие колебания. Динамика этих систем в сущности такая же, как и для гиперциклов с ббльшими значениями п и малыми константами равновесия. Динамика гиперциклов большей размерности сложнее. Асимптотическое поведение системы изменяется с увеличением константы равновесия К. Ниже определенного критического значения К„ система сходится к устойчивым стационарным состояниям, тогда как при ббльших значениях К(К '= К,р) наблюдаются предельные циклы.
По виду интегральных кривых и траекторий мы различаем четыре случая. Рассмотрим их в порядке увеличения константы равновесия К. 1. При малых значениях К динамическое поведение качественно такое же, как и для гиперциклов меньшей размерности. Интегральные кривые обнаруживают сильно затухающие колебания (рнс. 38), а траектории быстро сходятся по спирали в центр— устойчивое стационарное состояние (рис. 39). 2.
Общий тип динамического поведения в принципе такой же, как и в случае 1. Однако колебания затухают теперь слабо и приближение к стационарному состоянию становится крайне медленным (рис. 40,А, Б). Эта ситуация совершенно не похожа на случай 1, потому что члены, описывающие 159 уХ, Гнларцпклы с трансллцней Часть Б. Абстрактный еиаерцикл хг Рнс. 38. Интегральные кривые динамической системы, соответ.
ствуюшей гнперцнклу с трансляцией. Размерность 2Х6, К = 0,25; начальные условна: у,(0) = 5,0, рз(0) ... Уе(0) 0,5; хь(0) ... = хз(0) = 1,0; полная конпентрацноннаншкала = 5 единицам концентрацнн, полная временная шкала = = 1000 еднннц времени. Значение константы равновесна К на. ходится ниже крнтнческого уровня дла бифуркации Хопфа; еле. ловательно, наблюдаютса затухающие колебания. затухание, не появляются при исследовании нормальных мод, а требуют учета нелинейных вкладов. Феноменологически этот факт проявляется в том, что сначала амплитуды колебаний (почти) постоянны. Такая ситуация возникает, когда константа равновесия К немного меньше критического значения Кею т .е. К = Ккр — БК.
3. При значениях К, немного превышающих критическую константу равновесия (К = К„+6К), наблюдается интересное явление. Поведение динамической системы сначала во многом похоже на случай 2. Отдельные концентрации колеблются с относительно малыми амплитудами, но в противоположность случаю 2 амплитуды вначале немного растут. Однако вслед за этой фазой синусоидальных колебаний волны концентрации резко меняют свою форму и частоту (рис. 40, В, Г), а затем становятся очень похожими на прямоугольные импульсы, с которыми мы встречались при рассмотрении основных гиперциклов Рнс. 39. Траекторнк дннамнческой системы, соответствующей гн.
перцнклу с трансляцией. Размерность 2 Х5, К = 1,0; начальные условия: Ю(0)= 50; рз(0) = уз(0) рз(0) ~ уз(0) 05; х~(0) = хз(0) = хз(0) = х,(0) = хз(0) ! 0 А. Проекция траекторнн на плоскость (уь у,) — на плоскость концентраций полннуклеотн. дов 1, н 1з. Б. Проекция на плоскость (уь х,) — на плоскость кон. пентрацнй полпнуклеотпда 1, н его продукта трансляции — фермента Еь Отметим, что концентрацнн Е, примерно пропорцнональна концентрации 1ь т. е.
условие упрощенна гнперцнкла с транс. лнцней выполняется с хорошей точностью. и. Проекция на плоскость (хь у,) — на плоскость концентраций полнпептнда Е, н полннуклеотнда !ь образование которого каталнзнруетсн Еь Г. Проекция на плоскость (хь х,) — на плоскость концентраций полнпептндов Е, н Ее.
Отметим, что К снова меньше крнтнческого значения дла бифуркации Хопфа, н траектория стремнтсн к центральной особой точке. "7Х. Гилерциклы с трансляцией 161 Часть В. Абстрактный гияерциая 160 тз й г 4 4 6 зак. ппв высокой размерности. Наконец, динамическая система приближается к предельному циклу. 4. При больших значениях К отдельные концентрации колеблются с возрастающей амплитудой, и динамическая система неуклонно приближается к предельному циклу (рис. 40, Д, Е). Такой тип изменения динамического поведения при непрерывном изменении параметра известен из литературы как бифуркация Хопфа [331, Характерное замедление сходимости к асимптотическому решению, обнаруженное в случаях 2 и 3, было описано также и для других динамических систем; его обычно называют «критическим замедлением» при бифуркации Хопфа. Вслучае гиперциклов «замедление» вблизи критического значения К становится более выраженным с увеличением и.
В пятичленном цикле (п=б) явления, соответствующие случаю 3, едва заметны. С другой стороны, каталитический цикл при а=10 имеет гораздо более длительный начальный период (о котором говорилось в п. 3), чем шестичленная система (рис. 41). Начальная фаза синусоидальных колебаний подобна метастабильному колебательному состоянию. Переход к конечному предельному циклу Рис. 40, Траекторви динамических систеы, соответствующих ги. перциклам с трансляцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
