Эйген, Шустер - Гиперцикл. Принципы самоорганизации макромолекул - 1983 (947301), страница 24
Текст из файла (страница 24)
анализ можно облегчить, применяя численное интегрирование. Мы проиллюстрируем эти методы на примере элементарных гиперциклов, которые представляют все основные свойства гиперциклической самоорганизации'. И)1.1Качественный анализ Поскольку мы имеем дело с диизмичесхими системвми хооперирующихсв компонентов, наибольший интерес представляют устойчивые вттрвхторы внутри области коицеитрвций, имеющей физический смысл. Более конкретно, мы должны исследовать устойчивость таких особых точек, длв которых отдельные собственные значения мвтрипы Якоби имеют нулевые действительные части.
В рвзд. тгн (твбл, 9) мы встречзлись в основном с двумя случаями: 1. Нулевые собственные значения (юи) О, ) = 2, 3, ..., и ( / и 1 1, 2, ..., и) длв особых точек х~ в вершинах симплексов Ви 2. Чисто мнимые собственные значения (юз 4 —— ~ 1) длх г 1з> центральной особой точки четырехчлеивого гиперцикла .нв ь4з.
4 Длв частного случая гиперциклз, у которого член второго порядка хех,е о функции роста заменен членом х41п хе-ь можно получить зизлвтическое решение (2Ц. з Чисто мнимые собственные значения будут также у влементарных гнперцпклов рвзмериоств 4й, где й — целое число )2. В этих многомерных примерах, однако, центральная особая точке является седлом веззвисимо от природы вкладов более высокого порядка в чисто мнимые собственные значения. 133 Часть Б.
Абстрактный гинерциса (байр) 1 (Цгйугй) (1,йа,а) 1 г Рнс. 30. Динамические системы, соответствующие элементарным гнперцнклам размерности н = 2, 3 и 4. Отдельные системы ото ббажаются на снмплексы 3, и могут быть разложены на глобально инварнантные динамические подснстемы (табл. 10). «Полные» подсистемы 2, 3 н 4 характеризуются ненулевымн значе. ниямн всех популяционных переменных и поэтому описывают развитие, происходящее внутрн симплеисов З»((бы 0 ) х~ ) сь, ! = 1, 2... н), На границах симплексом Ю«(ВБ,) одна нлн большее число популяционных переменных обращаются в нуль н получаются динамические подсистемы меньшей размерности— такие, как «текущее ребро» 2А, «ребро особык точек» 2В н треугольник типа ЗА (отметим, что динамическая система 2А локализуется на границах 3, ЗА и 4, система 2 — на границах ЗА и 4, а система ЗА — на границах 4). Перед тем как проводить общее доказательство устойчивости центральной особой точки в гиперциклах малой размерности н «- 4, исследуем более детально топологию этих систем.
Динамические системы, соответствующие элементарным гн. перцнклам, могут быть представлены в вцде совокупности нескольких подсистем, каждая из которых определяется ва глобально ннварнантном 'подпространстве. Множество точек нли ~одпрастравство будет называться «глобально ннвариантным» по отношению к данной динамической системе в том и только в том случае, если траектория, которая проходит через произ. вольную точку подпространства, никогда не покидает этого под. пространства. В частностн, динамические системы на симплексах 5« можно подразделить на два класса: системы на границе (ВБ«) и системы внутри симплекса (Ю,).
Внутренняя часть симплекса (определенне ее было дано выше) — это область, где нн одна популяционная переменная не обращается н нуль: 0 ~ $~ ( 1, г = 1, 2, ..., а. Ясно, что динамические системы на 15, наиболее интересны потому, что онн опнсывают развитне ннтактных гк- уН(, Динамиюз элементарного гиагрцикла 139 пепцнклов. В дальнейшем мы будем обозначать нх номерамн 2, 3, 4, ..., М. На границе одна, дае нлн большее число популяцнонных переменных обращаются з нуль.
Следовательно, динамнческие системы на ВБ, можно подразделить на динамические системы на симплексах меньшей размерности — на ребрах, гранях н гнаергранях. Чтобы отличить эти системы от полных гиперциклов, мы будем использовать сокращенные обозначения 2А, 2В, ЗА н т. д. Все динамичесние системы, соответствующие элементарным гнперциклам размерности н ( 4, показаны схематически на рис. 30, В качестве конкретного примера в табл. !О представлено разложение четырехмерной системы на !1 подсистем. Все динамические системы вплоть до размерности и = 4 можно анализировать методом Ляпунова (табл.
11). Для трех систем — 2, 3 и 4 в построены функция Ляпунова, н, следова. тельно, центральная особая точка представляет собой устойчн. вый аттрактор. Более того, бассейн втой особой точки распространяется на всю внутреннюю часть симплекса, что оэначаетз независимо от начального распределения популянноняых пере. ценных мы приходнм к одному и тому же устойчивому набору 3 8 (Ц1ДР) (Ц 1ДО) Рнс. 31.
Динамическая топология элементарного гвперцнкла раз. мерностн и = 4. Динамическая система на снмплексе состоит нз системы 4 на внутренней части 13« н четырех эквнвалентных систем типа ЗА на равносторонних треугольниках (8»), каждый нз которых ограничен двумя текущими ребрами 2А и одннм реб. ром особых точек 2В. А. Систему ва внутренней части улобно описывать переменными х, у н г (см.
табл. !!). В плоскости (х, у) (заштрихованная область на рисунке) лежит многообра. зне замкнутых кояцентрических траекторий, принадлежащих центру лннеаризованной системы. Б. Динамическая система ЗА. Каждая траектория начинается из какой-либо точки на ребре особых точек ГЗ и кончается в вершине 3.
Штриховая линия соединяет все точкн, в которых траектории параллельны ребру особых точек !3: УИ1. Динамика элементарного гилгрцинла 141 Часть В. Абстрактный эиларцикл Таблица 1д Глобально нивариантные динамнческяе подсисуэмм элементарного гнперцнкла размерности л 4 Символ Условия Дсзсмсчсскся системс 'Ь, Ь, $в, Ь> 0 Ц-$121-2гФ,1 1,2,3,4, 1 1 — 1+ лб„и Ф Ыв+ йв2в+ $вЬ+ ЬЬ Ь--2гФ. йг 2.,21 — Рча, 1 - 2, 2, 1 — !и Ф ЬЬ+ Ыв 0 Аналогично ВА $в О,йв Оияи Ь йв ьс 1ю — ЬФ, Ф ЬЬ Ь Ив — ЬФ Аналогично $в=$в ОгЬ Яв=о или $с —— Ь 0 йв-2 -О. Ь =Ь=о' 2В 2 О, 1 1, 2, й, 4 Таблица 11 функции Ляпунова [37) для основных гиперциклов размерности л = 2, 3 и 4 Чтобы доказать устойчивость определенной особой точки х динамической системы х = А(х), мы должны найти произвольную функцию У(х), которая удовлетворяет следующим двум критеринм: (1) У (х) 0 и У (х) >О, х щ У, (Т.!1.1) т.
е. функция обращается в нуль в особой точке и положительна в ее окрестности У. Таким образом, У(х) достигает локального минимума в особой точке. У(х) — у ~ — ~ — 1<0, хщи, (Т,!1,2) 41 2л ь,д» у 41 1 У (х) ~(0. (Т.1 !.3) Любая траектория, входящая в окрестность У точки х, останется в этой окрестности. Приведем конкретный пример: стоки асимптотически устойчивы по Ляпунову в строгом смысле, тогда как центры устойчивы только в смысле слабого критерия (Т.11.3).
Для удобства мы будем использовать нормированные переменные Ь, допустим также, что константы скоростей равны единице (Ь = йв = ... = й, = 1), Теперь применим метод Лапу. нова к основным гиперциклам. Функция У-( — ') -ЬЬ ... Ь (Т.11.4) 1 имеет минимум и обращается в нуль в особой точке $ = —; л' итак, выполняется условие (Т.!1.1), Производная У по времени может быть получена простым дифференцированием.
У= — Ьаэ "Ь(1 — лг): с г ) йь$р 1 = й — 1+ лб, . (Т.11.5) ь-! Теперь мы должны проверить критерий (Т.11.2) для систем с различными значениями л. Внутри симплекса Я условие р (0 становится эквивалентным неравенству г(й) < — „. 1 (Т.1 !.б) 1 Найдем г($ю) = —, которое удовлетворяет уравнению У (Ь) = л' 0 ($ю — это центральная особая точка гиперцикла). Для двумерной системы (л = 2) выполнение условия (Т.!1.б) легко проверитгя 1 Ь 21 $в 1 — ~-ьг=2$(1 — $)см 2. (Т.11.7) Лродолясгниг табл. 11 т.е. производная У(х) по времени отрицательна в окрестности особой точки.
По тривиальным причинам У обращаетсн в нуль в точке х: Р(х) = О. Если для данной особой точки динамической системы такую функцию У(х) удается найти, то она называется (строгой) функцией Ляпунова, а точка х является (асимптотически) устойчивой; траектория, проходящая через любую точку в окрестности х, заканчивается в особой точке х. Функцию Ляпунова можно определить также при более сла. бом ограничении: У///. Динамика элементарного гинерцикла 143 142 Часть Б. Абстрактный гиаерцшгл //родолжение табл. // Функция г является параболой с максимумом при 3 = '/з.
Итак, неравенство г(З) ~ '/з выполняется всюду, кроме особой точки й = '/з, где г = Чз. В этом случае У вЂ” это строгая функция Лип нова н йз асимптотически устойчива. )( ля н = 3 ситуации аналогична. Неравенство (Т.!1.6), г ( '/з, выполняетск в каждой точке внутри симплекса Бз, кроме особой точки зз, где г = Чз У снова является строгой функцией Ляпунова, и центральная особая точка эз асимптотически устойчива. Для четырехмерного случая проблема становится более сложной. Условие (Т.1!.3) выполняется почти всюду на симплексе 8«. г - (3 + Ы (2» + а ) - з (1 — з), О Зй з Зй !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
