Эйген, Шустер - Гиперцикл. Принципы самоорганизации макромолекул - 1983 (947301), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(ТА 1,3) Внутри симплекса мы имеем О (г з '/з, причем г = '/з тогда и только тогда, когда з = '/з. Уравнение з = '/з определяет плоскость Зз+Зз = '/, (см. рис/ 3!,А и 34,Б). Очевидно, что У валяется лишь нестрогой функцией Ляпунова. Этот результат позволяет предположить, что центральная точка является по меньшей мере устойчивой. Для доказательства асимптотической устойчивости введем новые переменные х, у, г: х — 2(эз+ зз) +1, х= — (1+ г) (у — хг), у =2 Кз+ $з) — 1, у (1 — г) (х — уг), г 2(йз+Зз) — 1, г=гз — г+хз — уз, которые сдвигают начало координат в центр симплекса Яз, причем оси координат проходит теперь через середины ребер 23, 34 и 13 соответственно (см.
рис, 31, А). Четвертак переменная, $з = 1 — зз — $» — $з, исключается. Итак, ось г направлена пер. пендикулярно нритической плоскости кз + $» = '/з, через которую проходяг оси х и у. В этой плоскости динамическая система упрощается до следующего вида: х = — у, у = х, г = х' — у'. Производная г по времени обращается в нуль только вдоль двух прямых, х = шу, нли $» = Кз и Зз = Вз соответственно. Следовательно, и этой критической плоскости нет траекторий— за исключением особой точки $з — и система проходит через нее за бесконечно малое время, Условие Щ(/)) ~ О выполняется вдоль любой данной траектории почти в каждый момент времеви — исключениями являются лишь те моменты, когда система проходит критическую плоскость $з + $з = '/з.
Вдоль всех траекторий У(З(/)) монотонно убывает с ростом й У является строгой функцией Ляпунова, так что особая точка $ з асимптотически устойчива. При более высоких' размерностях, и ) 5, У(й) не является функцией Ляпунова, следовательно, этот метод не дает возможности сделать какие. либо предсказания об устойчивости центральной особой точки. стационарных концентраций.
Дли данных динамических систем действительно характерно кооперативное поведение компонентов. Этот результат особенно важен дли четырехмерной системы, где линейнан аппроксимация, использованная при исследовании осо. бых точек, показала наличие центра, окруженного многообразием концентрических замкнутых орбит в плоскости (х, у) (см. рис. 31, А), что не позволяет сделать определенных выводов об устойчивости. Динамические системы на границах симплексов (ББ») определяют поведение неполных гиперциклов, т.е, каталитических гиперциклов, у которых отсутствует по крайней мере один из членов. В деиствительности эти системы описывают кинетику «вымирании» гиперцикла. Они имеют также некоторое значение на определенных этапах образования гиперцикла.
На границах полных динамических систем вплоть до размерности 4 мы имеем два вида ребер — 2А н 2В, а также грань ЗА (рис. ЗО). Все трн динамические системы можно исследовать прямым способом. Ребро 2А соединяет два последовательных чистых состояния, или две вершины, которые мы обозначаем через з и ! (/= = ! + 1 — абм). Как показано на рис. 32, вдоль ребра дей. ствует движущая сила в направлении !-з /. Итак, единственная траектория этой системы ведет от вершины ! к вершине Соответственно мы будем называть систему 2А «текущим ребром». По мере приближения к вершине / движущая сила убы. вает по параболическому закону (рис. 32). Следовательно, линейный член в ряде Тейлора обращается в нуль в особой точке хы и исследование особых точек не может дать нужных сведений о природе этой особой точки. В элементарных гиперциклах вершины симплексов являются седловыми точками: вершина ! устойчива по отношению к флуктуациям, направленным вдоль ребра Ы(бхз ) О, й = з' — ! + + аби), но неустойчива вдоль ребра Т/ (/ = з + 1 — абы).
Итак, на границе любой полной динамической системы мы имеем замкнутую петлю — 12, 23, 34, ..., п1, вдоль которой система вращаетси в определенном направлении. Этот цикл не является единственной траекторией. Чтобы система могла перейти в сле. дующее чистое состояние, в каждой вершине должны происходить флуктуации определенного вида. Существование втой петли отражает циклическую симметрию всей системы, а асимметрии в каждой отдельной вершине — принятую в нашей модели необратимость синтеза и деградации биополимеров. В динамической системе ЗА область значений переменных, имеющая физический смысл, ограничивается двумя последовательными текущими ребрами з! и /Г (/ = з+ 1 — абзз и й =/+1 — пбм) и одним ребром особых точек Тй (й Ф з — 1-1- +абз ).
Траектории этой системы показаны на рис. 31, Б. Они начинаются из какой-либо точки на ребре особых точек и заканчиваются в вершине й, которая, таким образом, является единственным устойчивым аттрактором системы. Вид /з, следова- 144 Часть /и Абстрактный галерцикл О, чйб Д50 Д 7Х хг Рнс. 32. «Текущее ребро» 2А.
Касательный вектор $» $» (1 — Ез)з положителен внутри всей области значений, имеющих физический смысл (О ( $»( 1), и обращается в нуль на обоих концах, которые являются двумя особыми точками системы: (1, 0) и $» (О, 1). Неравенство 3» ) 0 означает, что $з возрастает в течение следующего бесконечно малого интервала времени. Следовательно, на 2А имеется только одна траектория, ведущая из $, к $», т.
е. из вершины ! (в» = 0) к вершине 2 (й, = 1). Динамическая система «течет» вдоль этого ребра. Отметим, что бй~бй» обращается'в нуль в особой точке $» (Вз !), вследствие чего собственное значение линеаризованной системы м = О. Следовательно, исследование особых точек не позволяет установить характер устойчивости этой точки.
тельно, выживает и является остатком этого фрагмента гипер. цикла. Исследование границ основных гиперциклов можно обобщить на случай систем с большей размерностью. Полученные результаты дают возможность предсказать характер асимптотического развития неполных гиперциклов. После того как один из видов гнперцикла элиминируется каким. либо внешним событием, оставшаяся динамическая система становится неустойчивой и через достаточно большое время приходит в чистое состояние. Во всех случаях отбирается тот вид, который в гиперцикле ло- )////. Динамика элементарного еилврцпклп 146 кализован как раз 'перед разрывом. Другими словами, если ! предшествует / (/ /+ 1 — бы), то вид /~ сохранится как последний компонент гиперцикла, разрушенного вымиранием компонента /ь Это поведение вытекает нз свойств каталитическнх цепей.
'т/1П.2. Численное интегрирование Системы дифференциальных уравнений для элементарных гиперциклов с размерностями до л м, 12 интегрировались е помощью стандартных численных методов. Соответствую'щие интегральные кривые х(/) рассматривались а предыдущей работе (4], и их можно не приводить снова, так как здесь нас интересует' другой аспект проблемы. Теперь наша цель— поиск устойчивых аттракторов внутри симплексов Ям которые гарантируют кооперативное поведение компонентов. Соответствующее исследование многообразия траекторий достаточно просто.
Дифференпиальные уравнения для траекторий получаются исключением явной временнбй зависимости из исходной Рис. ЗЗ. Траектория динамической системы 3 для элементарного гиперцикла размерности а = 3 показана в виде проекции иа плоскость (хь хз). Начальные условна: х,(0) = 0,93, хз(0) ~ юВ х»(0) = 0,01. Часть Б. Абстрактнаб гиперцкхл ИП, Яииаиика влежелтлиаер епйериикла 142 хг хг й и (кг) йб ! Б Г Рис. 34.
Траектории динамическик систем 4, 5 и 12 для элественно. (1) л =4: начальные условия — х,(0) =097, х,(0) ция траектории на плоскость (хь х,). Траектория ведет по но затухают. Б. Проекция траектории на плоскость (хь х,). рис. 3!) пересекает плоскость (хь х,) по прямой х,+хз =Чз. рия пересекает плоскость (х, у) только в отдельных точках (табл. 11).
(2) и = 5: проекции иа плоскость (хь хг). В. На= хз (0) = 0000!. Г. Начальные условии: х~(0) = 02004, ческая система приближается к одному и тому же предель- (3) л = 12; проекции на плоскость (хь хз). Д. Начальные чальные условия: х~(0)= 00848, хе(0) = ... = х~з(0) очень близко к контуру ! — 2, 2 — 3, ..., 11 — 12, 12 — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
