Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Рассмотрим перенос отраженных молекул. диффузное отражение происходит по максвелловскому распределению, поэтому можно применить соотношения (15.2. 17') и (15.2.22), приняв в них х = О, так как после соударения частицы теряют массовую скорость. Так как отраженные частицы иммет другую температуру Т, то У =л )ГКТг/(2Я), (15.2.25) где л, — число отраженных молекул в единице объема. Если принять, что общее число падающих частиц равно числу отраженных, т.
е. А/т = У„то, приравнивая правые части выражений (15.2. 17') и (15.2.25), можно найти связь между концентрациями лг н л! для передней стороны обтекаемой поверхности: и,/=п; )ГТ;/Тг ( е "'+х)/я (1 + ег1х)). (15.2,25) Аналогичное выражение для задней стороны получим, приравняв правые части (15.2.22) и (15.2.25): п а =лт СТт/Тг ( е х' — х тггя (1 — ег1 х)1. (15.2.27) ДАВЛЕНИЕ Давление на плон(адку определяют суммарной потерей количества движения группой молекул в нормальном к поверхности направлении в результате их соударения со стенкой, т. е.
давление равно сумме количеств движения в единицу времени этих молекул перед соударением. Общее выражение для определения давления получают следую- Аэродинамика разреженной среды 377 щим образом. Численно давление, создаваемое молекулой, равно ее количеству движения о!о, а от группы молекул, соударяющихся в единицу времени с единичной поверхностью, оно составляет пгпзогфийИв. Следовательно, давление, производимое молекулами, падающими на переднюю плошадку, 3 оо ! 2 о ! 2 оо 1 2 — à — — Н! 1 — — Нг Р— — Нз г рм = р;(кс„!) ) е с(и )' оге с!о ) е йо, (15.2.28) Ю о оо где р! = та! — плотность.
Значения первого и третьего интегралов определены по (15.2.11'). Второй интеграл по аналогии с (15.2.12) имеет вид о ! 2 о г пг о'е Но=с, ) (х+у) е "с(у=сз,,х'~ е 22(у+ о — х х о +2с,х ) уе с!у+с, ) у'е " с(у. — х — х Здесь первый и второй интегралы в правой части вычислены ранее. Определим третий интеграл, взяв его по частям: оо Р 2 — уо ! у — — х* ук — $/к у'е !2!у = — — хе + — ег1 х+ — ' 2 х 2 — х Таким образом, о 1 2 — ~' — ) —" оее а!о = — с 2(1+ег1х)~хг+ — ) + — ! хе 2 2 ) 2 Учитывая зту зависимость и значения первого и третьего интегралов в (15.2.28), каждый из которых равен с )~н, а также выражение 2,2 !/2 х = яп 8 — — = 31п 8 —, после соответствующих подстановок — 2 г 2'м, 2 2 !7Ю \ н! в (15.2.28) находим следующую формулу для безразмерной величины давления на передней стороне поверхности: р!7 — — — = 3!п281 е + (1+ — ) (1+ег1 х) 222 1 хрк 2хз / (15.2.29) Для определения давления на заднюю сторону поверхности необходимо использовать то же соотношение (15.2.28), заменяя в нем пре- Глава плтнадцатал 378 делы интегрирования по о на — оо ( о < О.
В соответствии с этим 3 сю 1 2 О 1 2 в ! 2 2 — — -2 Н! à — — И2 ! — — ИО 2 !. рРО = рв(пс„„) ] е с(и ] ове 3(о ] е с(в, где О ! 2 — х — — И2 ове а!о=с ~ (х+У) е !(У= )т в — ~ — ! 33 = — с (1 — ег1х) (ха+ — ) — — "' хе . (15.2.30) С учетом (15.2.30) найдем зависимость для безразмерной величины давления на заднюю площадку: ! ав 1 — ' *'т ! ! -; — '1(! — !Д~. !!323!! РГИ ~Х Р'и 2х / Нетрудно заметить, что зависимости, определяющие движение газа на задней стороне поверхности, можно получить из соответствующих выражений для передней стороны, заменив в них х на — х. Наряду с падающими и диффузно отраженные частицы создают давление, величина которого равна сумме нормальных к поверхности количеств движения молекул, покидающих стенку.
Так как процесс отражения частицы происходит по максвелловскому распределению скорости, соответствующему температуре Т, и нулевой скорости массового упорядоченного движения (отражение происходит от относительно неподвижной поверхности), то следует воспользоваться выражением (15.2.28), приняв в нем и' = о' = Ро' = О, и перейти к параметрам с индексом г. В соответствии с этим для передней площадки 3 в 1 2 1 2 в ! 2 2 !".
2 !" — — — — н,; — — н, — — и 2 Е 2 3 р„г — — р„(пс~ ) ) е 33(т' ) 1тве Л' ] е Лу; О после вычисления интегралов имеем р„г — — Кр„Т,12. (15.2.32) Так как плотность отраженных частиц р, = та„а их число в единице объема пт определяют из условия установившегося обтекания У, = А!! по формуле (15.2.26), то для давления, возникающего за счет диффузного отражения, получаем 3Рп'Р т Тт р„г — — — — — — 1 т — ' (е- *+х ]т'!т (! +ег1х)].
(15.2.33) Р! Р,» 2ХВ $ Аналогичная формула для задней площадки имеет вид Аэродинамика разреженной среды рсь =- Р" ,= ""' 1~ — ' (е — "— х 1/л (1 — ег(х)! (15.2.34) »1н 2хз Общая величина относительного давления равна сумме соответствующих значений рэ и р,. Для передней площадки Рг = 2 (Рэг+ Р,г)~ЬЮ = Р;г+ Р„г', (15 2 35) для задней площадки Рь = 2(Риз+ Рэь)((РЮ =Рь+ Рэь (15 2 35) где величины относительного давлениЯ Р,.
и Р,г находЯт из выРажений (15.2.29) и (15.2.33), а ргь и р„— из (15.2.31) и (15.2.34). Вместо зависимостей (15.2.35), (15.2.36) можно использовать обобщенное выражение для относительного давления, полученное после соответствующего суммирования: = з!и' 11 = — .+ — — ' е + + 1+ — .+ — 1 с' — ') (1 +ег! х) (!5.2.37) р'к 2хз 2х где знак «+» относится к передней площадке, а знак « — » — к задней.
Из выражения (15.2.37) следует, что давление зависит от ориенти- ровки рассматриваемой площадки относительно вектора скорости 'г' (т. е. от угла 8), числа й4 и отношения температур Т,!Тэ. При больших скоростях, которым соответствуют значения х ~ 2, формулы для относительного давления можно упростить, Из (15.2.29) и (15.2.31) получим следующие приближенные зависимости: рэг —— 2 яп» й 11 + 1/(2 хз)1; (15.2. 38) Р,„=О (15.2.
39) Соответствующие формулы, относящиеся к процессу отражения, согласно (15.2.33) и (15.2.34) представим в виде з!пей I Т, р,г — — 1 г л — '; (15.2,40) —. $' Рь=О. (15.2. 41) С учетом этих выражений получим упрощенные зависимости для полной величины относительного давления: Рг — — р1г+ р„г — — 2 з)п» (1 1 + — + — 1/ — '1; (15.2.42) 2хз 2х $/ Тэ / р» = О. (15.2. 43) Глава лятяадцатая НАПРЯЖЕНИЕ ТРЕНИЯ Напряжение трения является следствием полной потери тангенциальной составляющей количества движения молекул при ударе. Эта потеря количества движения для одной молекулы равна ти, а для того числа, которое соударяется с единичной поверхностью в единицу времени, равна а1тГиГх(«и(2«!Ге. Следовательно, напряжение трения, обусловленное падением на переднюю площадку всех молекул, з 1 2 о 1 2 я 1 2 2 — — — н, Л 2 л — — нз 2! — — р,(яс 1) [ ие «1и~ ое !1о [ е «!Ге.
(15.2.44) Используя (15.2.10), соотношение (15.2.44) преобразуем к виду з 1 2 р — — и; 312,) ! ! ! (15.2. 44') 1 2 — — нз х ) (и -1- —" „,) «( " ) 3 в( — "' ). ! ! ! Интегралы в правой части уравнения имеют следующие значения: 1) и' г'2; 2) 0,5с, 1е " +х г'я (1 — ег(х)1; 8) р' (15.2,45) Трение на задней площадке определяется тем же выражением (15.2.44') с переменой пределов во втором интеграле на — оо ~ о < О. В соответствии с этим для второго интеграла 0,5С«И [ Š— Х Г' 11 (1 — ЕГ1 Х )3, (15.2.46) Имея в виду эти значения интегралов, а также учитывая, что с, = 2ТДР 31') =з)пйсоз!31+ е — */(х 1 а ) + (1.+ег(х)), (15248) где знак «+» относится к передней площадке, а знак « — » — к задней.
и' =У соз!3; х= (3l /с 1)з)п!3, (15.2.47) из (15.2А4') получаем следующую зависимость для коэффициента трения: Аэродинамика разреженной среды Так как любые направления движения отраженных молекул равновероятны, то их суммарное воздействие не создает напряжения трения, т. е. т = 0 и, следовательно, свв =О, (15.2. 49) Заметим, что для неотклоненной поверхности ф = 0) коэффициент трения с~э — — 1!(х 'г'к ) = (1/М ) г'2/(Ьс). (15.2.50) Также упрощаются зависимости и в случае, когда х ~ 2. Соответственно для условий на передней и задней площадках они имеют такой вид: (с з) = з(п 2~3; ( с/ 3 ) а (15.2.51) (15.2.52) ПЕРЕНОС КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Для определения величины давления необходимо знать отношение температур Т„(ТГ.
Вычисление этого отношения связано с нахождением энергии поступательного движения молекул, которая подводится к поверхности при ударе молекул и отводится в результате их отражения. Каждая из молекул при ударе переносит к поверхности энер- гию с' в з 2 Е, = 0,5тпс(кс'~) ~ ~ ~ сзе ' адис(ойо, (15.2.54) в где для передней площадки Г„= О, Г, = ее, а для задней Гк = — ее, = О. Учитывая выражение (15.2.53) для 0,5 гпсз, а также зависимость (15.2.10) и производя интегрирование, находим Е; = 0,5тУГ (1~~ + Р.Т, [4+ 1/(е + 1)1), (15 2.55) 0,5тсз = 0,5тЯз+ Уз+ Уа'з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
