Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Отсутствие какого-либо преобладающего направления движения диффузно отраженных молекул приводит к тому, что они не создают касательного напряжения. Так как реальная поверхность всегда отличается от идеально гладкой, то ббльшая часть молекул взаимодействует по схеме диффузного отражения. ПЕРЕНОС МАССЫ Рассмотрим некоторые характеристики свободномолекулярного потока, обтекающего тело [32).
Примем, что молекулы отражаются диффузно, причем температура отраженных частиц равна значению Т, отличному в общем случае от температуры стенки Т и первоначальной температуры газа Тт, Рассмотрим выражение для переноса массы. Составляющие скорости молекулы: и = и' + у, о = р' + )т, ю = ют + 77. Первые члены в этих выражениях — компоненты скорости )т массового (или упорядоченного) движения таза относительно стенки, определяемой из выражения )т2 '2 1,'2 1 '2 ео Вторые члены — составляющие скорости с теплового движения (скорости молекулы относительно массового движения газа).
Квадрат этой скорости '=из+~ +йув. (15.2.1) Примем, что ось у, которой соответствует составляющая о, направлена по нормали к поверхности в данной точке. 371 Аэродинамика разреженной среды Определим перенос молекул к поверхности тела, который зависит от числа падающих молекул, содержащихся в единице объема. Если молекулы движутся со скоростью, компоненты которой по величине укладываются соответственно в интервалах и, и+ ди; о,о + до; ш, гг+ дю, то число этих молекул равно произведению аг/дидедш, в котором л! — число падающих молекул в единице объема (здесь и ниже индекс ! относится к частицам невозмущенного потока, параметры которого Ты, ры, ры и т. д.); / — функция распределения молекул по скоростям, называемая функцией распределения Максвелла.
В кинетической теории функция распределения определяется экспоненциальной зависимостью (15.2.2) ст = с Ггн/4 (15.2.3) и называется наиболее вероятной скоростью молекулы. По данным кинетиче- ской теории газов, средняя скорость хаотического движения молекул в= 2 Рг2РТ/я ° (!5.2.4) Функция распределения / относится только к неупорядоченной части движения молекул. Она зависит от скорости теплового движения с и, как видно из (15.2.3), от средней скорости с, определяющей вйутренйюю энергию единицы массы газа, равную ск/2.
В общем случае величины с и с зависят от координат и времени. Однако если рассмотреть имеющий большое практическое значение случай равновесного распределения скоростей, при котором в результате столкновений в каждом заданном элементе объема т = дкдудг не изменяется число молекул газа, принадлежащих элементу пространства скоростей дидодю в этом обьеме т, то функция распределения / небудет зависеть от времени й Такое состояние газа определяется как состояние мгстного максвглловского равновесия. Рассмотрим понятие средней квадратичной скорости с' хаотического движения, определяемой из условия сэ/3 = йэ = Гэ = У, (15.2.5) где У, Г У вЂ” средние значения составляющих скорости хаотического движе- ния.
Согласно кинетической теории газов, вэ = 3/7Т. (15.2. 6) Отсюда с учетом формул (!5.2.3) и (!5.2.4) для с определим $ сэ = 0,5с )/Зя/2 =ст Р'3/2, (15.2.7) (15.2.8) т. е. в' сг = 1,086с =1,225гт. Отметим также зависимость, которая существует между с, У' сэ и скоростью звука а: а = г"я/сТ = с Рг .ЮВ = э' сэ )Г/г/3 . (15.2. 8') в которой величина ст связана со средней скоростью хаотического движения с соотношением 372 Глава пятнадцатая цм 28! Рис.
!5.2.2 Зависимость, определяющая изменение функции распредеСст" С ления СО 00 СО У! = ) с(и ) о!(о ( лфЫ, -в о -о или с учетом выражений (15.2.2) для / и (15.2.1) для с' 3 Оо 1 2 Оа ! 2 оо 1 2 Ж(=п2( сз!) ) е с(и ') ое 2 бо ') е 2 !(ю (15.2.9') Са о СО (15.2.9) где и =и'+ — НС, о=о'+ — На, ю=ю'+ — Н; см!, см!, с,„! рг2 р'2 У2 (15 2 !0) Нт/р'2 =(//с„,!, Нз/р 2 =У/смг, На/Г2 =(а/с„,!. С учетом (15.2.10) первый интеграл в (15.2.9') (аналогичным ему будет третий интеграл) представим в следующем виде: ао ! 2 Оо 1 ~ е 2 ба=с,„! ~ е 2 с((Нт/РС2).
Отсюда следует, что средние молекулярные скорости имеют тот же порядок, что н скорость звука. Функцию распределения / можно определить при помощи графика, изображенного на рис. 15.2.2, где представлена зависимость величины В = =(псх )з/2(сз/с-")/от параметра с/~/ з. На этом графике показаны также относительные величн»ы с„,/ сз н с/$ со. Из числа падающих молекул, содержащихся в единице объема, та их часть которая соударяется с единичной поверхностью за одну секунду, равна л!о/с(ис(ос(ю.
Таким образом, в этом случае рассматривают молекулы, которые пересекают поверхность и располагаются в выделенном объеме с единичной площадью основания и высотой, равной вертикальной составляющей скорости о. Эта скорость находится в пределах со > о ) О. Частицы с составляющей скорости о < 0 ие достигают площадки.
Общее число молекул Н!, соударяющихся с единичной поверхностью в одну секунду, можно получить интегрированием по всем нозможным скоростям — оо < и < оо, 0 < о < оо, — оо < ю < оо, т. е. Аэродинамика разреженной среды Интеграл в правой части этого выражения — известный интеграл Эйлера— Пуассона: оо ! оо 1 г ) е г !((Нт/У2 ) =2 ) е г !1(Н /У2 ) = Ук . (15.2.11) Следовательно, оо 1 3 оо ! г — гте! г — газ е да= ) е Йо=с,„!ук. (15.2.11') Второй интеграл в (15.2.9') можно представить в виде оо 1 г оо ! 2 о нг — — нг ое о(о = сж! ~ о' -1- — э еж! е ~ У2 оо =с ) (х+ у) е е !(у, г (15.2.12) где введены обозначения х о'/с„„, у = Нэl)'2 (!5.2.13) Интегрируем (!5.2.
12); ° о ! 2 о оо — — Вг со 2 гл! -хо З вЂ” ( — ео ое !(ооо — е + с х ~ е !(у. 2 он ) (!5.2.12') Интеграл в правой части (15.2.!2') представим в виде о -х оо е !(у = — ) е !ту+ ~ е !(у. х о о Второй интеграл последнего выражения согласно (15.2.1!) ) е !(у=Уз /2. -ео о (15.2.14) Для определения первого интеграла того же выражения введем новую переменную у = — г, с учетом которой — х ее х — е !(у= ) е !(г. о о Интеграл в правой части етого выражения можно вычислить при помощи специальной функции х 2 г — г' ег1х = — ) е (15.2.15) у.— 1 Зте Глава пятнадцатая Рнс.
15.2.3 Свободномолекулярный поток около плоской поверхности: 1 — верхняя поверхность; 2 — нижняя по- верхность представляющей собой интеграл вероятностей, для которого составлены математические таблицы. С учетом (15.2.14) и (15.2.15) зависимость (15.2.12') приобретает вид е 1 2 2 "2 с г — «* ие с(р = — (е +х )тн (1-1-ег1«)]. (15.2.16) 2 о Дгг = — 1м1 ] е «' -(- х 3' н (1 + ег1 х ) ].
2 г'н (15.2.17) Так как в соответствии с (15.2.7) сжг = рт ЯТ,, (15.2.18) то /те=а! 1 — 1е " +х г'н (1+ег1«)]. (15.2.17) 1/ 2н Произведение ЙТи которое входит в формулу (!5.2.18), связано со скоростью звука соотношением аг = )Г ййТ, . (15.2.19) Как видно из (15.2.!7'), число падающих молекул определяется величиной параметра х, соответствующего рассматриваемой точке поверхности. Если в этом параметре х выразить с 1 через скорость звука, то х = (о'/а1)]/й/2. Наряду с этим, учитывая, что ]) — угол между направлением вектора )г и касательной к поверхности в данной точке (рис.
!5.2.3), находим: х 5!пй =х 51пр; к / М (15.2.20) Формула (15.2.17') получена для условий поверхности, которым соответствуют пределы изменения во втором определенном интеграле (15.2.9') 0 ( о (оо. Принимая во внимание (15.2.11') и (!5.2. 16), для общего числа молекул Д/1 (15.2.9) получаем следующую зависимость: 375 Аэродинамика разреженной среды р„!2„,1, г: Ркс. 15.2.4 Свободномолекулярный поток около криволинейной поверхности: ! — переяяяя сторона," 2 — еаяаая стороаа Если рассматривают верхнюю сторону поверхности, то уравнение переноса массы иное, так как в указанном интеграле в соответствии с рис. 15.2.3 пределы изменения — оо ~ о ( О. Имея это в виду, для верхней поверхности 3 е ! 2 — — Н, 2 ( 2 )у2= — я (коз ) ! Е Х (15.2.21) Здесь первый и третий интегралы определяются значением (15.2.11'). Второй интеграл представим по аналогии с (15.2.!2) в виде Е ! 2 х Нз — х 2 2 ( Ре сЬ= еж! ! (х+Р) е Р'с(У = — 0,5сж! е +сзж! х ) е !(Р.
ее ) Интеграл в правой части этого вырюкения -х — х о -1 — Ра 1' — эа ! ° )/ к е бр= ) е бр+ ) е ~!(р= — (,1 — ег12). 2 е о се Таким образом, Н2 ое !(о=0,5с !(е 'а — х )'я (1 — ег(х)]. Учитывая полученные значения интегралов в (15.2.2!), по аналогии с (15.2. 17') находим следующую зависимость для определения числа падающих молекул на верхнюю площадку: Гкт, М! =и! — (е х — х у"и (1 — ег1х)). (!5.2.22) 376 Глава пятнадцатая Если рассматривают свободномолекулярный поток около криволинейной поверхности (рис. 15.2.4), то формула (15.2.17') применима к расчету числа падающих молекул на переднюю сторону этой поверхности, а формула (15 2 22)— на заднюю.
Формулы (15.2.17') и (15.2.22) можно упростить при больших скоростях, воспользовавшись тем, что уже для х ~2 величина е х' по крайней мере на два порядка меньше единицы, а интеграл вероятности ег1х мало отличается от единицы. Например, при х = 2 величина е "'= 0,018, а ег1х =0,995. Каждому х соответствует значение М„=(х/з!п р) )' 2/й, В частности, для х = 2, Мпй = 0,2 и Д = 1,4 число М = 12. При (3 = 90" наименьшее из возможных чисел М для х = 2 снижается до 2,4. Таким абразом, упрощенную формулу (15.2.17') можно представить в следующем виде: (15.2.23) Атт/=ха!У 2РТ, =лт17 Мп5.
Здесь индекс / указывает на то, что рассматривается передняя сторона криволинейной поверхности. Если имеется в виду задняя сторона (индекс 6),то как это нетрудно видеть, формула (15.2.22) при сделанных предположениях превращается в равенство Аттэ = 0, (15.2.24) так как при большой скорости полета тела молекулы не достигают задней стороны его поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
