Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 48
Текст из файла (страница 48)
После подстановки сюда значения г из (13.4.39) находим 21п (й)' 2(1 — )та)/су„) +/а !т 2 (1 — Р!)/ср, —— = (а+1) 1п(1 — Р~а)+ !имея+!п0,656 (1ЗА.39) /г !т' 2(1 — Рва)/сг 1п(ме с, )+и1п(! — Раз)+ С где Св = 1п 0,656 — 2!и(/а1~т2). Принимая й = 0,3914 и переходя к десятичным логарифмам, по- лучаем 0,242 а 1 — ра / тт~ 1а(я~ т,).~- + л 1я(! — Ъ'а) + 0,33. (13.4.40) Учитывая выражение 1 — Уа = (1 + — Маь ) а и обозначая 2 ст„= (стя)вя, найдем 0,242 т'  — 1 в ! $' 2 ~[ ) (сГя)в„, — ~в(1т — '' м,')тоаа).
(13.4.4!) Формула (13.4.41) соответствует выражению, полученному в работе [3] на основании логарифмического закона с учетом поправки Дородницына, причем в правой части этого выражения числовой коэффицяент равен не 0,33, а 0,15. Такое отличие, однако, существенно не влняет на величину (сгм)вн.
269 Тр нмь Из(13.4.41) следует, что местный коэффициент трения пластинки с увеличением числа М~ уменьшается. Заметим, что этот результат, пригодный для пластинки, может не получиться при рассмотрении пограничного слоя около криволинейной поверхности вследствие влияния на течение в этом случае продольного градиента давления. Коэффициент трения по формуле (13.4.41) вычисляют путем последовательных приближений. В первом приближении коэффициент сг„= (сы)," ~ можно найти для заданного отношения Т ! Т, по (13.4.38), приняв г равным 10 —:12. Внося это значение (сы), в правую часть (!3.4.41), находим значение сг„= (сг„),' ' во втором приближении.
Этот результат можно уточнить, внеся значение ст = (сг„),' ~ в правую часть (13.4.41) и вновь вычислив значение сг = (сг„),' '. Полный коэффициент сопротивления трения пластинки с учетом сжимаемости определяют по формуле (13.3.28') путем численного интегрирования с использованием выражения (13.4.41) для (сы), Для несжимаемой среды местный коэффициент трения найдем из (13.4.41), положив Мь = 0: 0,242/У(с „)„, = 1п [Не„(с „)„, [+ 0,33. (13.4.42) Для определения толщины пограничного слоя следует воспользоваться уравнением (13.4.6), в соответствии с которым (13.4.43) СТЕПЕННОЙ ЗАКОН РАСПРЕЦЕЛЕНИЯ.
СКОРОСТИ Чтобы установить закон распределения скорости по сечению турбулентного пограничного слоя и определить зависимость для напряжения трения на поверхности плоской пластинки, воспользуемся аналогией с движением вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе (рис. 13.4.1). Рассмотрим это движение. Выделим жидкость, заключенную между сечениями 1 и 2, расположенными на расстоянии ! друг от друга.
Примем, что эти сечения достаточно удалены от входа в трубу и поэтому движение в них одинаково, т. е. одинаковы, в частности, касательные напряжения и распределение скоростей. Одинаковое значение скоростей в сечениях означает, что частицы жидкости движутся, не испытывая ускорения.
Поэтому силы, действующие на выделенный объем жидкости между сечениями 1 и 2, находятся в равновесии, т. е. г =(р~ — р )пйэ/4 =ч вЫ, (13.4. 44) где й = 2гь — диаметр трубы; т, — напряжение трения на стенке. Глава тринадцатая 270 Рис. 13.4.1 Схема движения вязкой жидкости в круглой цилиидрической трубе Отсюда р, — р = 4тет1/г/. (13.4.45) Кроме того, силу г в (13.4.44) можно выразить при помощи формулы (1.3.5) для гидродинамического сопротивления.
Вводя в эту формулу обозначения для силы сопротивления Х = г' и для коэффициента гиДРоДинамического сопРотивлениЯ Гв = 1, опРеДелЯЯ Далее скоРостной напор г/ = ру"ер/2 по средней скорости У,р в трубе (рис. 13.4.1) и принимая в качестве характерной площади боковую поверхность Я = п14 получим (р, — рз)тхт(з/4 = Х(рувор/2)зги. Отсюда находим формулу для определения потерь на трение: рт — р = 41 (р)гсв/2) Ь/, (13.4.46) где средняя скорость определяется по заданному расходу 1,/ в трубе: )г,р — — 4ф(кс(в). (13.4.47) Коэффициент сопротивления Х можно определить экспериментальными исследованиями. Такие исследования проведены Г.
Блазиусом, который установил, что для гладких труб коэффициент сопротивления при турбулентном режиме и числах Рейнольдса, достигавших значений 2 3 10в ~ Ке„= РУсрг1/)х ~ 10', (13,4.48) равен Л = 0,3164/йель~~. (13.4.49) Внесем это выражение в (13.4.46) и заменим р, — рз значением из (13.4.45). В результате , — 0 3164ру~ ~/(8К~е~~~~) — 0 03955Ртгт .
рмв~н~т( цв (13 4 50) для определения средней скорости )г,р воспользуемся результатами исследований движения жидкости по круглой трубе, которыми ус- 2ТТ Трение тановлено, что скорость по ее сечению изменяется ло с/леленному закону корня седьмой степени Ух Упуах (у/го) (13.4.51) Этот закон отображает гипотезу, в соответствии с которой при движении жидкости сохраняется кинематическое подобие, т. е.
независимо от абсолютных размеров трубы в точках с одинаковым значением у/г, отношение местной скорости У, к скорости на оси трубы У „ также одинаково. Средняя скорость по сечению трубы в соответствии с (!3.4.47) Уор = — = У ах ( 2хг ( —" — ) йг/(яг~о) =„"Оу816Ухах. (13.4.52) пг' о о ( Подставим (13.4.52) в (13.4.50): Оу03955(0 816У ~т/азора/~ор /о(2г ) — Па= = 0,0233Р1 упах (ч/Уупаа/о ) (13.4.53) Рассматривая движение вязкой турбулентной жидкости по круглой трубе и в пограничном слое, можно заметить сходство профилей скорости по их сечениям. При этом максимальной скорости У,„на оси трубы соответствует скорость Уа на внешней границе пограничйого слоя, радиусу трубы г, — толщина слоя 6.
Исследования показывают, чтоэтой аналогией можно воспользоваться для получения зависимостей, определяющих течение в турбулентном пограничном слое. Заменив го на 6 и У,„на Уа в (13.4.51), для пограничного слоя найдем степенной закон (закон корня седьмой степени) распределения скорости по его сечению: / )!/7 (13.4. 54) Аналогичная замена в (13.4.53) позволяет получить формулу для напряжения трения на стенке т„= 0,0233рУа (у/(Уа Ь))'М (13.4. 55) Для вычисления напряжения трения по (!3.4.55) необходимо предварительно определить толщину пограничного слоя 6. Для этого воспользуемся интегральным соотношением (13.3.1). Подставив в него вместо 1/, зависимость (13.4.54), а вместо т „ — значение (13.4.55), найдем у1, — 1( у ! (у — ( у ! ) уу-ааааауъ, ( — ) у~ууууу о Глава тринадцатая Вычисляем интеграл: Л/Нх = 0,2395 [ч/(У,6)[п4 .
Разделив переменные в этом дифференциальном уравнении, найдем 6П Л = 0,2395 (ч/Уа) ' Нх. В результате решения этого уравнения (4/5)6"4=0,2395(./У,)ив +С. (13.4.57) Постоянная интегрирования С определяется в точке перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный из условия, в соответствии с которым в этой точке, удаленной от передней кромки на расстояние х = х„р, толщина слоя 6 = б„р.
При этом расстояние х„р определяется по заданному критическому числу Рейнольдса йе„р — — Ут ~ хх„р/ч, а толщина б„р находится для этого числа Ке„по соответствующей формуле для ламинарного пограничногослоя. Г[ри больших числах Рейнольдса длина ламинарного участка невелика и в практических расчетах его влияние на толщину турбулентного пограничного слоя может оказаться пренебрежимо малым. В этих случаях можно считать, что турбулентный пограничный слой начинается у передней кромки, где при х = 0 толщина слоя 6 = О. В соответствии с этим в (13.4.57) постоянная С = 0 и, следовательно, толщина слоя 6 = 6„а = (0,37/йе~'~) х, (13.4.58) где Ке„ = 1',х/ч,; Вводя относительные величины бва = баа //., х = х/Ь и число Нет.
= Уа/-/че, уравнение (13.4.58) представим в виде 6 = 6ла = 6яа /Ь = 0,37(х '/йе~' ). (13,4.58') Сравнивая зависимости (13.3.19") и (13.4.58'), можно сделать вывод, что толщина турбулентного пограничного слоя нарастает более интенсивно, чем ламинарного. Зто обьясняется перемешиванием макроскопических частиц, свойственным турбулентному характеру течения жидкости и способствующим его интенсивному росту.
Для вычисления напряжения т„воспользуемся формулой (13.4.55). Приняв р = ра, ч = ч, и внеся в нее значение из (13.4.58), получим т„= (т„)яа = 0,0299р,Ув/кея'~. (13,4.59) Вводя величины йет. = Уа/./ча и х = х/Е, представим (13.4.59) в виде (т„)„„, = 0,0299р,рв/ (Ке, х ) "~. (13.4.59') Как видно из сопоставления (13.3.23) и (13.4,59), напряжение трения при турбулентном течении значительно больше, чем при ламинар' гтэ трение ном, при одних и тех же значениях числа Ке„. Таким образом, турбулизация пограничного слоя сопровождается резким возрастанием касательных напряжений. Вместе с тем при турбулентном течении напряжение трения и другие параметры пограничного слоя зависят от числа Рейнольдса слабее, чем при ламинарном течении.
Как известно, влияние этого числа обусловлено действием молекулярных сил вязкости, которые наиболее существенно проявляются в ламинарном пограничном подслое. При этом чем больше скорость и, следовательно, число Рейнольдса, тем тоньше этот подслой, слабее действие вязкости и в соответствии с этим меньше влияние числа Рейнольдса на параметры трения. По величине касательного напряжения можно определить местный коэффициент трения: (ст„)нс = 2(т„)нс /(р,У, ') = 0,0598/йе,'", (13.4.60) или (сгх)нс = 0,0598/(йе,х)'~~.
(13.4.60') Силу сопротивления трения для одной стороны пластинки опреде- лим с помощью формулы (13.3.28): с ЛГнсж = ~ (тст)нсжв(Х' с В соответствии с этой формулой и с учетом (13.4.60') коэффициент сопротивления трения ! с в о ХХГнсж (схГ)нсж Рвн;в 1 откуда (с„г)нс = 0,075/йе~~~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
