Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Рассмотрим в пограничном слое элементарную частицу тороидальной формы с внутренним радиусом г, шириной дх и толщиной т(у (рис. 13.2.1). Действие окружающего потока заменим силами от давления и касательного напряжения. Так как рассматривается тонкий пограничный слой, то можно принять, что в каждой точке сечения, проходящего через заданную точку А, давление одинаково и равно его значению ра на свободной границе слоя. Поэтому сила от давления на левую грань кольца в направлении оси х Р = рв4(8 = 2.г/т,г(у. (13.2.!) Обозначим Р силу, действующую на правую грань с той же площадью т(о = 2пгду. Так как давление рв есть функция координаты х, т.
е. ра= ра(х), то сила Р = Р(х). В соответствии с этим на правую грань действует сила Р„= Р(х + 4(к) или, так как для рассматриваемого сечения выбрана координата к = О, Р„=Р(4(к). Разлагая эту 247 Трение рис. 1З.2Л Схема для вывода обобщенного уравнения пограничного слоя бк навал«ну + [д (2 гРаг[УУ дх] г[х = 2лг [Р, + (г[Р,(г[х) дх[ дУ. Избыточная сила, действующая в направлении оси х, Р— Р„= — 2лг[г[р,(г[х) у[хг[у. (13.2.2) (13.2.3) Силы трения, приложенные к частице, рассчитывают в соответствии с правилом взаимности касательных напряжений (рис.
13.2.1). При этом силы трения, действующие на переднюю и заднюю площадки, не дают составляющую на ось х. Такая составляющая обусловлена действием касательных напряжений на внутреннюю и внешнюю поверхности кольца и равна Є— Р, где Р = Р (у + г[у) = Р (у) + (дР/ду) с[у = 2~тЫх + + [д(2лгсг[х)/ду] Ну; Р = Р(у) = яда = 2лгсс[х; здесь т — напряжение трения на внутренней поверхности кольца. Таким образом, избыточная сила трения, действующая в направлении оси х, Є— Р = 2л [д (гс)/ду]дхг[у. (13.2.4) Для рассматриваемой частицы произведение ее массы [плотность х х объем[ на ускорение — 2лгр (дУ„/~й) г[хг[у.
(13.2.5) Сумма этой величины и действующих на частицу в направлении х сил равна нулю, т. е. — 2лгр (дУ„/сЫ) о[хду — 2лг (г[р,[г[х) г[хду -[ 2л [д (гс)/ду] г[хг[у = О. функцию в ряд Тейлора и пренебрегая малыми второго порядка и выше, получаем Р„= Р (О) + (дР(дх) г[х= 2лграг[у + г4В Глааа таааадцатая Отсюда, полагая, что полное ускорение 4(У /е(Г = У д1г,/дх -1- + 1'„д1г„/ду, находим рг(У„дУ»/дх+ 1г дУ„/ду) = — ге(р,/йх+ д(гт)/ду. (13 2 6) Уравнение (13.2.6) называют обобщенным уравнением пограничного слоя в дифференциальной форме.
При исследовании турбулентного пограничного слоя значения У„, 1'„, р и рь надо принимать осредненными, а напряжение трения определять из выражения т = (р+ р,)дУ„/ду, (13.2.7) в котором р, — турбулентная вязкость. Величину р, можно рассматривать в качестве аналога динамической вязкости р для случая ламинарного течения вязкого газа. Очевидно, для такого течения р, = О, напряжение трения т = рдУ„/ду и уравнение (13.2.6) получает вид дУ дУ 1 ВР4 д / ду„т~ уг 1'„—" -1- У вЂ” ") = — г — ' + — ~г(4 — ") .
(13.2.8) дх т ду ) дх ду ~ ду ) В общем случае, когда газ под действием высоких температур испытывает физико-химические превращения, величина коэффициента р изменяется по толщине пограничного слоя. Когда эти превращения отсутствуют, величина р принимается постоянной. При исследовании пограничного слоя около плоского контура из уравнения (13.2.8) необходимо исключить г. ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Преобразуем обобщенное уравнение (13.2.6) к другому по форме соотношению, широко используемому в практических расчетах пограничного слоя. Для этого левую часть (13.2.6) представим в виде дУ 1 Г дке д(У„Уу) дУ дуг 1 рг 1г„— + У вЂ” — рг — + ӄ— Уа " д» ' ду ) ) дх ду дх ду ~ Вычисляем производные в уравнении неразрывности (2.4А8) У„+ рг —" + 1', — + рг — = О.
д (рг) ду„д (р„) дУу дх дх т ду ду Отсюда — огУ» —" — ргУ» — = У вЂ” + У»У, дУ» дУу т д (рг) д (рг) дх ду " дх ду 249 Трение В соответствии с этим ду ' дУ 1 дУ~ д()г У) дх ду ) дх ду +У (Р) +1, У (Рг) (г «), Рг „Р (1323) дк " р ду дк ду Вносим это выражение в (13.2.6): д (ргУ«) д (ргух Уу) дуб д (г«) + = — г — + дх ду дх ду Комбинируя это выражение с уравнением неразрывности в виде д(ргУ ) д(ргУ) 1', ' +1', — =О, дк ду находим д (ргУ«), ( р) д(ргУ ) дх б ду дуб дк д(рг)г„) д (ргУ Уг) ду дк д (л) ду или д дуб — !ргУ, (Уб — У,)) — ргӄ— -1- дх дк + — (рг1г (1', — У„)1 = г — —— д ду д() ду г дх ду 6 6 Ь + 1 — (ргУ (Уб — 1г„)1 ду = [ г — б Ну — ( (г') о(у.
(13.2. 10) о о о з ф б Преобразуем члены, входящие в (13.2.10): Ь Ь 1. ~ — (р~У„(У~ — У„)) б(у = — 1 ргУ (У,— рх) б(у— Г д д о о Интегрируя по у от 0 до б (в пределах толщины пограничного слоя), получаем б е д Г дуб — (ргУ„(Рб — 1'„)1 пу — 1 ргӄ— ду + дк о о Глава тринадцатая 250 — [ргУ» (Ув — Ух))а=в — = — ~ ргУ„(Уа — У„) о[у. (13.2. 11) дО д Р о Выражение над фигурной скобкой равно нулю, так как при у = 6 величина Ух = Уо. дна ИУо л 2. ) ргӄ— ' ау = — ' ~ ргУ„о(у = И» Их о о — У ~ ргУ с(у — 1г, — ~ ргУ с[у.
о о (13.2. 12) 3. ~ — [ргУ„(Уо — Уа)) аГу = [ргУ„(Уо — Ух)) = О, (13 2 13) о (13.2. 16) ара — гЗ вЂ” =гт о — о ст их (13.2.16') так как при у = 6 значение У„= Уо, а при у = О скорость Уо — — О, Ыро про 4. ~ г — ау= — ~ гоу. (13.2. 14) дх о о Г' д(гт) »=о Б. ~ — о(у = [г [, о = готов. др о Учитывая эти результаты, уравнение (13.2.10) представляем в виде Н Ых,) — ~ ргУ,(Уо — Уа)с[у — — У ( ргу„с(у + х „х а 1 о о Ь Ь Г дро + У, — ) ргУ„Ну = — ~ гс(у+ готов (13 2 16) дх о о Произведем здесь сокращение и примем, что при малой толщине пограничного слоя координату г можно приближенно заменить координатой г„соответствующей точке на обтекаемой поверхности (см. рис. 13.2.1): о Ь Р вЂ” — 1 р~,У„ду+ 1', — [ р~,У„о(у— о о гз1 Трение УСЛОВНЫЕ ТОЛЩИНЫ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Представим интегральное соотношение (13.2.16) в ивой форме.
Для этого заменим два последних члена в левой части с учетом соотношения 13.2.12), а о(ро(о(х представим согласно (3.6.3) в виде г(ро(г(х = — роуог(Уо(г(х. (13.2. 17) В результате Ь вЂ” 1 ргУ„(Уо — Ух) ау — — 1 ргУ„йу = ох ох Н'о = — 1 р,гУ, — ау+ ~р„, их о илн е Ь вЂ” ргУ„(Уо — У„) гну+ — ~ г(р,1', — рУ„) г(у =- готье (13.2.18) ох х о Представим это уравнение в виде и иуо с — ~ 2нгРУх(1г, — У„) о(У+ — ) 2нг(Р,У, — РУх) о(У = 2хготоо ох (13.2.18') Это обобщенное уравнение, полученное Карманом, называют интггрильным соотношением пограничного слоя.
Оно позволяет непосредственно определить напряжение трения т„на стенке, что связано с решением практической задачи об определейии сопротивления трения. Применение для этого интегрального соотношения предполагает известным характер распределения скорости по толщине пограничного слоя, т. е. вид функции У„= 1'„(у). Решение уравнения (13.2.16') должно удовлетворять условию на внешней границе пограничного слоя, где при у = 6 скорость У„= = Уо. Эту скорость, как и давление ро, являющиеся известными параметрами, рассчитывают в результате решения уравнений Эйлера для идеального (невязкого) обтекающего потока.
Неизвестными величинами являются У„, 6 и т„. Таким образом, соотношение (13.2.16') должно быть дополнено еще двумя неизвестными уравнениями, связывающими между собой указанные неизвестные параметры. Интегральный характер уравнения (13.2.16') позволяет применить эти уравнения в приближенном виде. В частности, достаточно задаться весьма приближенной зависимостью для скорости У„, чтобы получить практически приемлемый результат, так как скорость У„входит под знак интеграла и при его вычислении величина погрешности уменьша ется. 252 Глава тримадцоьоя Первый интеграл в (13.2.18') определяет уменьшение количества движения (импульса), переносимого через площадку 2пгб, обусловлен.
ное торможением потока в пограничном слое. Введем понятие толщи. ны потери импульса 6** — условной толщины некоторого слоя, огра. ничивающего поверхность 2пгобоо, сквозь которую в единицу времени с постоянной скоростью Уьпереносится количество движения 2пгобоо х х рьу„ь. Эта величина равна указанному уменьшению количества дви. жения, т. е.
ь 2ьгобо*р У = ) 2ььгрУ„(У вЂ” 1г„) ау. о Полагая под интегралом г ж бя находим (13.2.19) бо = 1 — — 1 — — Ну. оо Рь "ь ~ "ь ) о Второй интеграл в (13.2.18') определяет разность между секундным ь расходом через площадку 2пгб для потока невязкого газа ( 2пгрьУьь(у 'о и для потока вязкой среды )2пгрУ„ь(у. о Это уменьшение расхода обусловлено торможением потока в пограничном слое.
Введем понятие толщины воипеснения б*, представляющей собой в невязком потоке условную толщину слоя, ограничивающего поверхность 2пгобо, сквозь которую в единицу времени и при постоянной во всех точках поверхности скорости Уь протекает количество жидкости, равное указанному выше уменьшению расхода, т. е.
2ььгоб" рьУь = ~ 2ььг ( рьУ, — р1'„) Ну. о Полагая г = бь находим 113.2.20) Как видно, в выражения (13.2.19) для бе* и (13.2.20) для 6* не вхо. дит величина г; следовательно, условные толщины для сжимаемого пространственного пограничного слоя с известным приближением определяются так же, как и для плоского. В случае несжимаемого потока в указанных выражениях необходимо принять р = рь = сопз1 Введение таких параметров, как толщина вытеснения б* и толщина потери импульса 6"*, отображающих определенные физические свой ства пограничного слоя, позволяет получить в ряде случаев более эф- 253 В 1З.З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
