Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 44
Текст из файла (страница 44)
По мере приближения к обтекаемой поверхности все больше проявляется воздействие вязкости на изменение скорости. Поэтому членами, содержащими в качестве сомножителя ч, который характеризует влияние вязкости, пренебрегать 241 Трение Схема пограничного Рис. 13.1.1 слоя: à — пограиичимй слой; à — граница по. граиичиого слоя; а — обтекаемая поверхность нельзя и для исследования такого вязкого течения необходимо применять уравнения Надое — Стокса (13.1.1). В этом заключается п е рв о е п о л о ж е н и е теории пограничного слоя. В т о р о е п о л о ж е н и е этой теории заключено в возможности упрощения уравнений Навье — Стокса при изучении движения жидкости в пограничном слое, характеризующемся малой толщиной 6. Рассмотрим вывод этих упрощенных уравнений пограничного слоя, основанный на определении порядка членов в (13.1.1) и последующем их сравнении.
В соответствии с предпосылкой о малости толщины пограничного слоя примем, что 6(( х., где Ь вЂ” характерный линейный размер, например, длина обтекаемого тела (рис. 13.1.1). Так как для координаты у точки пограничного слоя имеем неравенство О < у ( 6, то, следовательно, порядок величины координаты у 6. Вторая координата х, определяющая расстояние вдоль пограничного слоя, имеет порядок Ь(х 1.). Если ввести обозначение рб для скорости на внешней границе пограничного слоя, то порядок скорости 1'„ в произвольной точке пограничного слоя с координатой у будет )г„ - 1гб. Для определения порядка величины второй составляющей скорости воспользуемся уравнением неразрывности (2.4.50'), из которого следует, что ! Г д(Р"„) )г, — " б(У. р ~ дл Примем порядок плотности р равным величине плотности рб на границе пограничного слоя.
Чтобы оценить порядок производной д(р)г„)гдх, воспользуемся следующим условием: при перемещении вдоль поверхности на расстояйие порядка характерной длины х. веЛИЧИНа р)г МОжЕт ИЗМЕНИтЬСя На ВЕЛИЧИНУ ПОрядКа рб)гб (НаПрИМЕр, от О до рб1'б), т. е. в данном случае бе(р)'„) рб1га. Так как принято, что Лх 1., то (13.1.2) д (РР'л)/дх рара(.. 242 Глава тринадцатал Поэтому У, - (1/р,Е) р,Увд = У,д/Е.
(13.1.3) Порядок производных, входящих в (13.1.1), определим по аналогии с (13.1.2). Например, дУ„/дх Уа /Е, дУ /дх-(Ув ЗЕ)(1/Е) =Ув д/Ев и т. д. (13.1.4) С учетом этих результатов рассмотрим первое уравнение (13.1.1). Порядок слагаемых в левой части этого уравнения следующий: У„дУ,/дх ° Ув (Ув/Е) = Ув /Е; (13.1.5) У 3 /3у - (Увд/Е)(У1/д) = Увв/Е. ) Как видно из (13.1.5), оба слагаемых имеют одинаковый порядок. Для членов, учитывающих влияние сил трения, расположенных в правой части уравнения, находим: 1 3 з (13.1.6) Из (13.1.6) видно, что так как 6(( Е, то первый, второй и четвертый члены имеют более высокий порядок малости и ими по сравнению с третьим членом можно пренебречь. Порядок слагаемого (1/р)д/т/дк определяется из уравнения Бернулли (3.4.11).
Исключая из него потенциальную функцию (/ (полагая тем самым, что сила тяжести, т. е. вес газа, не оказывает влияния на движение) и производя дифференцирование, найдем уравнение ЫУ = = — 4(р/р. Это уравнение, относящееся, очевидно, к внешней границе пограничного слоя, где трение пренебрежимо малб, можно представить также в виде (1/р)др/дх = — УдУ/дк.
Отсюда следует, что величина (1/р)др/дк имеет порядок Ут/Е Если рассматривать течение, существенной особенностью которого является влияние вязкости, то следует принять порядок оставшегося и единственного члена, учитывающего вязкость, (1/р)д()вдУ„/ду)/ду таким, как и всех остальных членов, т. е. д / дул~ (13.!.7) р ду 1, ду 1) Е Таким образом, вместо первого уравнения (13.1.1) имеем дУ дкл р дуа р д / дкл'1 ӄ— '+ У вЂ”" — — — ° — в + — ° ~рт —" . (13.1.8) дк т ду р дк р ду ~ ду ) 24З Трение Рассмотрим второе уравнение (13.1.1).
Порядок входящих в него членов определяем аналогично первому уравнению: ду> д!ду 1 др 4 д / д!ду — + 1Уу — ° + Р д* " д д д д ! дд У!ддЕ' (Р/Р)У /(/.д) (р/р) Уь/(/ 6) (Р/р) Уь/(/.6) ( „/р) У,д// з Последним членом в правой части (13.1.9) можно пренебречь, так как он имеет более высокий порядок малости, чем другие члены, учитывающие влияние вязкости. Для уточнения порядка других членов, учитывающих влияние вязкости, определим порядок величины р/р =у. Для этого применим найденное соотношение (!3.1.7).
Порядок величины в левой части этого соотношения определен третьим выражением (13.1.6), поэтому (Р/р)У4 /6з Ю, откуда находим порядок кинематической вязкости: р/р = у У,бе//.. (13.! . 10) В результате этого получаем порядок оставшихся членов в правой части (13.1.9), учитывающих влияние вязкости: (и/р) У /(/.6) — (У 6'//,) У!(/.6) = У!6//.' (13 1,11) Очевидно, такой же порядок имеет величина (1/р)др/ду. В соответствии с этим порядок отношения градиентов др/ду и др/дх определяется значением 6//., т.
е. градиент др/ду« др/дх. Поэтому с достаточной степенью точности второе уравнение системы (13.1.1) можно заменить уравнением др/ду = О. Согласно этому вььражению, давление в пограничном слое в направлении нормали к стенке не изменяется и равно давлению ре на внешней границе пограничного слоя. Из этого следует, что тонкий пограничный слой не оказывает влияния на распределение давления. Полученный Результат составляет содержание одной из важных гипотез теории пограничного слоя, а именно гипотезы об отсутствии обратного влияния пограничного слоя на свободный поток. В соответствии с этой гипотезой Расчет распределения давления по поверхности обтекаемого тела при наличии пограничного слоя можно вести на основе уравнений Эйлера для идеальной (невязкой) среды, а касательных напряжений — исходя из упрощенного уравнения (13.1.8).
Это уравнение — основное в теоРии пограничного слоя — называют уравнением /7рандтля. Глава тринадцатая 244 Такой расчет при помощи уравнений Эйлера и Прандтля можно вести до тех пор, пока толщина пограничного слоя мала по сравнению с размерами обтекаемого тела и, следовательно, действительна гипотеза об отсутствии обратного влияния пограничного слоя на свободный поток. На удаленных участках поверхности, где толщина пограничного слоя велика, эта гипотеза неприменима и расчет вязкого обтекания следует вести на основе общих уравнений Навье — Стокса.
Рассматривая уравнение Прандтля (13.1.8), замечаем, что в него входит динамическая вязкость 14, являющаяся в общем случае функцией давления и температуры. Для данного сечения пограничного слоЯ, хаРактеРизУюЩегосЯ постоЯнным Давлением Рв, величина 14 изменяется по толщине слоя как функция температуры Т. Это же относится и к плотности р. Таким образом, для нахождения решений для 14 и р надо знать вид функции Т(у). Чтобы определить эту функцию, необходимо воспользоваться уравнением энергии, имеющим вид последнего уравнения системы (3.3.10).
Как и уравнение Навье — Стокса, уравнение энергии для пограничного слоя упрощается. Соответствующие преобразования для вывода упрощенного уравнения энергии приведены в гл. 14. Воспользуемся полученным уравнением в форме (14.2.5'), соответствующей отсутствию в пограничном слое какого-либо другого вида переноса тепла, кроме теплопроводности. Если принять в этом уравнении число Прандтля равным единице (Рг = 1), то оно примет вид (14.2.6). Очевидно, одним из возможных интегралов уравнения (14.2.6) будет равенство 14 = сопз1, отражающее условие постоянства полной энтальпии частицы газа, т.
е. условие (14.2.2) 14 = 1+)'„'/2 = сопз1. (13.1. 13) Можно показать, что это равенство соответствует условию отсутствия теплопередачи у стенки, т. е. случаю теплоизолированной поверхности. Действительно, полагая 1 = с„Т и дифференцируя (13.1.13) по у, находим срдТ!ду + $~ дУя1ду = 0 Так как при у -+- 0 скорость )т„ -и О, то, очевидно, и производная дТ1ду — 0 (нет перепада температуры), что доказывает отсутствие теплопередачи у стенки. Таким образом, вместо сложного уравнения энергии в виде (14.2.5') будем применять уравнение в простой форме (13.1.13).
Естественно, такая форма уравнения энергии не соответствует полностью реальному характеру движения вязкого газа в пограничном слое и дает приближенные значения для параметров, определяющих это движение, в частности для напряжения трения. Однако полученные результаты оказываются приемлемыми для практических расчетов трения. Уравнение Прандтля, а также уравнения неразрывности, состояния и энергии составляют систему уравнений сжимаемого пограничного 245 Трение слоя: д(Ъ'„р)/дх+ д(У р)/ду = О; Р, = Тащут; 1+ $',l2 = (а.
(13.1. 14) 1/„ = у = О при у = О; у = Уа(х) при у — и оо. (13.1.!3) Входящие в (13.1.14) плотность и температуру можно выразить через скорость в пограничном слое. Из (!3.1.13) следует, что срТ + $'~!2 = срТ„ (13.1. 16) следовательно, т=т,(1 — у',Ф' ). (13.1.17) Используя уравнение состояния р = рот, в котором для пограничного слоЯ давление Р пРинимаетсЯ Равным его значению Ре на гРанице слоя, получаем зависимости для плотности: Р = Ра~Ю") = (Ра~~та) (1 — $'рФ~еах) ' (13.1.18) Так как температура торможения Т,=Та(1 — М~', ) ', (13.1.19) а плотность на внешней границе пограничного слоя Ра = Ра~Ята) = Ре(1 1'а 1'еах) то (13.1.20) р р (1 М~.„) (1 У,!У..„) = р,(1 — Фи'.
)""-и (1 — У,'Ф'...) '. (13. 1.21) 3десь в уравнениях движения и состояния давление Р заменено в соответствии с (13.1.12) величиной ра. В уравнении энергии текущее значение энтальпии 1 = с Т, а энтальпия торможения 1а = с Т,. а = р а. Полученная система уравнений пригодна для исследования ламияарного лограяичяого слоя. При ее решении следует удовлетворить граничным условиям на поверхности обтекаемого тела и условиям непрерывного перехода параметров в пограничном слое к соответствующим их значениям на внешней границе, причем такое решение вызывает необходимость а с им п тот и ч ее ко го выполнения условий на внешней границе. Поэтому граничные условия для скорости имеют вид Глава тринадцатая 246 Полученные уравнения позволяют рассчитать параметры погра. пичного слоя без учета влияния физико-химических превращений, происходящих при очень больших скоростях обтекания, при которых газ в пограничном слое разогревается до очень высоких температур, Поэтому эти уравнения действительны при сравнительно небольших скоростях, когда температура в пограничном слое не достигает высоких значений.
По мере снижения скоростей обтекания уменьшается влияние сжимаемости и разогрева газа в пограничном слое. Для несжимаемого двухмерного плоского пограничного слоя система уравнений имеет вид дк„ ду„ ~ др дЧ'к Є— "+1',— "= — — ' +т— дк т ду я дк дув (13.1.22) д1тк/дк+ д(т /ду = О; (тт/2+ р,/р, = сопз1. Эти уравнения интегрируют для граничных условий, заданных (13.1.15). $ 13.2. Обобщенное уравнение пограничного слоя ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ Выведем уравнение установившегося пограничного слоя в обобщенном виде, пригодное для исследования как ламинарного, так и турбулентного пространственного осесимметричного течения с учетом влияния физико-химических превращений, происходящих под влиянием высоких температур.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
