Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Ламинарный пограничный слой на плоской пластинке Рассмотрим расчет пограничного слоя на плоской пластинке, обтекаемой сжимаемым потоком. Решение этой задачи имеет большое значение в теории движения вязкой жидкости. Получаемые в результате такого расчета параметры пограничного слоя используют в практических случаях для приближенной оценки параметров вязкого потока около поверхностей, не только близких по форме к пластинке, но и существенно отличающихся от нее, например около тел вращения.
Вместе с тем, как показано ниже, найденные формулы для расчета параметров несжимаемого пограничного слоя на плоской пластинке сохраняют внешний вид для случая определения соответствующих параметров пограничного слоя в сжимаемой среде. Используем интегральное сотношение для плоской пластинки. Оно получается из уравнения (13.2.18) при условии, что из него исключается г, а производная Нуэ/с(х принимается равной нулю, так как скоРость свободного потока вдоль пластинки не изменяется. Тогда — 1 р$'„($'ь — 1г„.) Ыу = т„. е г о Преобразуем (13.3.1) к новым переменным $ и т), введенным акад. А.
Дородницыным (3): (13.3.1) фективные методы решения задачи о движении вязкой жидкости. При помощи этих параметров возможно, в частности, получение дифференциального уравнения в форме, более удобной для расчета пограничного слоя около криволинейных поверхностей (см. 114, 15]). Рассмотрим одно из приложений понятия толщины вытеснения бэ к аэродинамическим исследованиям.
Из физических представлений ясно, что пограничный слой как бы вытесняет внешний невязкий поток, смещая его линии тока в сторону от поверхности. При этом толщину 6* можно рассматривать как величину, определяющую среднее смещение этих линий тока. Таким образом, внешний поток обтекает поверхность, полученную из действительной поверхности тела наращиванием на нее во всех точках отрезков, расположенных вдоль нормали и равных 8*. Распределение скоростей и давлений во внешнем потоке следует рассчитывать так, как будто бы он обтекает новую повехность, принадлежащую некоторому фиктивному утолщенному телу.
В соответствии с этим использование понятия толщины вытеснения позволяет учесть обратное влияние пограничного с л о я на параметры внешнего обтекания. Глава тринадцатая 254 $ = ( ) (х) о(х; Ч = ~ д (х, у) 4(у, о о где ~(х) и у(х, у) — функции, выбираемые нзусловия, при котором преобразованное интегральное соотношение сжимаемого пограничного слоя должно быть близко по форме к соответствующему соотношению для несжимаемой среды. Интегрирование такого соотношения представляет собой более простую задачу.
В соответствии с (13.3.2) представим уравнение (13.3.1) в виде (13.3.2) оо д дЕ д до д л + — — — 1 Р'т' ('т'о — 'т' ) — + дЕ дк дч дх дЕ о оо + ' ) Р)тх (1'о Ух) = тот~ до д дх дл Ы о где Чо — величина Ч, соответствующая внешней границе пограничного слоя. В этом уравнении т1 о, — Р1', ()то — 1~х) — = — Р)тх% — Ух) ~ — О, Чтобы интеграл (13.3.3) совпал с соответствующим ему выражением для несжимаемой среды, необходимо принять р/д = сопз1.
Так как функция у в соответствии с (13.3.2) является безразмерной, эту постоянную можно принять равной плотности торможения, т. е. Р(у = = р,. Следовательно, ч=~ е Еу. о Оо Таким образом, для (13.3.3) (13.3.4) так как на стенке при Ч = О составляющая $'„= О, а на границе слоя при т1 = Чо ее величина )х = Уо. Поэтому (13.3.1) можно представить в виде )в Р1 х (1 о 1 х) — = тот. (13.3.3) о 255 Трение В этом уравнении правая часть И„ т„ Р„ ! Рет /ет Рот Ро /ст Из (13.1.21) следует, что плотность на стенке Рст = Ра(1 — 1а/Ренат) = РаТа/То = РаРо/Ро, (13.3.8) откуда 113.3.
8'1 Поэтому ет ест ест Ра Р С учетом этого выражения ча ()т 1; )й ст а/ и ст Рот Ро /от о Примем здесь ра/ро = /„, т. е. Г Ра Ра $ = а — ах= — х. Ро Ро (13.3.6) о В соответствии с этим (13.3.7) ча и' (13.3.8) Уравнение (13.3.7) совпадает по форме с соответствующим соотношением пограничного слоя для несжимаемой среды в системе координат $, т(. Следовательно, для решения интегрального соотношения в такой форме можно применить метод, используемый в теории пограничного слоя несжимаемой жидкости. Этот метод предусматривает задание распределения скорости Ъ'„по сечению пограничного слоя, что необходимо знать при использовании интегрального соотношения.
рассмотрим ламинарный пограничный слой, для которого интегральное соотношение имеет вид Глава тринадцатая 256 двУ„/дт!в = 2с+ бь(т1, (13.3.11) откуда при выполнении условия (13.3.10) коэффициент с = О. Таким образом, У„= ЬЧ Ф дт ь. (13.3.12) Для определения коэффициентов Ь и ь( воспользуемся граничными условиями на свободной границе пограничного слоя. При т! составляющая скорости )и = Утн поэтому Уь=ьт) +ь(Ч . (13.3.
13) На свободной границе напряжение трения (т„)я=во = О. В соответствии с формулой Ньютона т = (ьдУ„/ду производная (дУ„/дч),=,ь = О. С учетом этого из (13.3.12) (дУ„/дт)),=,, = Ь + Зь(т)ь = О. (13.3.14) Решаем совместно (13.3.13) и (13.3.14) относительно коэффициентов Ь и ь(: 3 Уь ! "ь ь 2 чь 2 Таким образом, для распределения скорости ~ з ! ! ( ч )ь~ у (13.3.15) Подставляем это выражение в (13.3.8): /3 ч ! т!вх/ 3 я ! — ' — У вЂ” — — У вЂ” ' ~У вЂ” — У вЂ” + — У вЂ” 'дч= ььь ~ 2 ь Чь 2 ь ь ~ ь 2 ь Чь 2 ь ь ,)~ чь о В теории ламинарного пограничного слоя для несжимаемой жид. кости на произвольной поверхности Польгаузеном предложена функция У,(т1, $) в виде полинома третьей степени 1'„= а ($) + Ь %) т) + с (с) т!в + т! ($) т!ь.
(13.3.9) Коэффициенты этого полинома а(в), Ь($), с($) и ьЦ) определяют из граничных условий, которым должна удовлетворять скорость. Согласно граничным условиям на стенке, т. е. при ч = О, скорость У, = О. Следовательно, коэффициент а = О. Из первого уравнения системы (13.1.14), преобразованного к переменным $, т! и отнесенного к условиям на плоской пластинке (др /ььх = 0), следует, что на стенке, где У = Ув — О, производная (двУ,/дт!в)я=о = О. В соответствии с (13.3.9) гэг Роение 3 ст »'о Рс Чо Ро Вычисляя интеграл и производя дифференцирование, получаем уравнение ,! 2 '!о 280 'ст Рот !3 » о Ро Интегрируя в предположении, что вдоль пластинки т„= сопз1 и р„= сопз1, находим 280 . "ст Рот ~ 4 С "о Ро Полагая в начальной точке пластинки при 5 = О толщинут( о = О, находим С = О.
Поэтому т! =464 / т р о Ро (13.3. 16) Учитывая формулу (13.3.5) для р„/ро и выражение (13.3.6) для $, получаем Ро Рс Ро ' т х о1,=4,64 с с' 464 о с' (13316) Уо Ро Ро Ро Толщину слоя определяем из выражения о оа 8= ~бу=~ —, 1Ч. о о Представим р,/р с учетом (13.1.21) и»' = Уст/т1о в виде (! ут/ут ) (! ут/ут ) — !!(Й вЂ” !! (! ут/ут ) Здесь для замены У„используется не формула (13.3.16), а более простая зависимость, определяющая линейный характер изменения скорости в функции о). При определении толщины пограничного слоя это не дает сколько-нибудь существенных погрешностей, но способствует упрощению расчетов. В соответствии с этим Э вЂ” 708 258 Глава трннадцатал =-:](-' -:)"=-:(-+) = Рп 1 1 + 1 38 1 Рп 2 + 28 Внося сюда значение т]с из (13.3.16'), найдем В = 4,6412(3+ Т8!(ЗТс)])/т„х/1~,.
Козффициент т„представим в виде 1 ст т ст Тст Так как рассматривается случай теплоизолированной стенки, на которой для принятого значения Рг = 1 температура газа Т„=Т,=Т~1 — — =Т,118-:М,), 1133181 ~ П133 то, следовательно, т 33+л 13+л В соответствии с этим В = Всм = 4 64(1+ — Мх )(1+ — М8 ) 'С х 18 — '* (13.3.19) где х = х/Ь, ]теь = Ра|-(та. Приняв здесь Мд — — О, получим зависимость для толщины пограничного слоя в несжимаемой среде: Ввс = 4,64 )ТТТ тсх)78 3 (13.3.19') или в безразмерной форме В „„= В„ /1. = 4,64 (хх']те )'1~, (13.3.19") 259 трение Отношение толщин — О ~ / Ь вЂ” ( ')(л+1))2 — = ~1+:Мо ) ~1+:М, ) (13.3.20) нслс тс рс (о~т зуо р, зу, р' г(ст ст 2 со Ро 2Ча Ро Внесем сюда значение т)о из (13.3.16') и заменим р„lро на ро(ро: (13.3.
21) 2 464 У х Применяя в (13.3.21) значение т„из (13.3.17') и учитывая, что Т р„= р, —" —" = р, — ' Р' = р, — (13.3.21') Ро Ро Ро Ро получаем Г .„ / 1,(л — 1)!2 о ° ~/ у,х 1, то ) или с учетом уравнения (13.3.18) и обозначения для местного числа Рейнольдса (се„ = оох7то Х (л — 1))2 т„= (с„), = 0,323ро1/~ рà — ~1+ — М', ) . (13.3.22') ис х Для несжимаемой среды (Мо = О) (х„)сс = 0,323Роро )Г1~йе .
(13.3. 23) Отношение напряжений трения Из зависимости (13.3.24) следует, что с увеличением числа Мо или с повышением температуры в пограничном слое напряжение трения, несмотря на повышение вязкости, уменьшается (и (1). Это обусловлено доминирующим влиянием на трение плотности р„, которая, как 9' Как видно, сжимаемость способствует увеличению толщины пограничного слоя, Это объясняется тем, что сжимаемый газ при торможении разогревается, в результате чего повышается вязкость и ее влияние распространяется на большую толщину газа. Касательное напряжение на стенке определяем по формуле Ньютона с учетом (13.3.15) и (13.3.4): Глава тринадцатая видно из (13.3.21'), с увеличением температуры Т„= Т, уменьшается и, как следствие, понижается способность газа сопротивляться сдвигу. Определим местный коэффициент трения: т (л †!))2 (т2 Для несжимаемой среды (Ма = О) (стх)нсж = 2(тст)нсж((ра1~а) = 0,646 $' 1/йе„. (13.3.26) Отношение местных коэффициентов трения такое, как отношение напряжений трения (13.3.24): (с «) ( т / Т 'т (л — 1)/2 l ( ) ' (л — 1)/2 (с!«)нсж ( тст)нсж Та Вычислим сопротивление трения пластинки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
