Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Элементарная величина этой силы, действующей на площадку ((х 1, '1 ~у сж = (тст)сж '(х ' Суммарная сила сопротивления трения одной стороны пластинки площадью Е 1 (1. — длина пластинки) Хт, — — ) (т„), ((х. (12.3.28) О Коэффициент этой силы Внося сюда значение (сы), из (13.3.25), получаем (с ) = 0,646/1+ — М ~ — ~ ~( " с(х. хт сж О Интегрируя это выражение, имеем (сх/)сж = 1+ — Ма, (13.3.29) нсь где число Рейнольдса, определенное по длине пластинки Е, йеь = '((21./та. Для несжимаемой среды (С„т)на = 1,292/$~ 22Е (13.3.30) 261 Тренев Рассмотрим, как определяют условные толщины пограничного слоя.
р)х значения для несжимаемого потока находим из выражения з-=) (~ — — ")зн з -((~ — — ")зз. (1з.з.ззЗ о о Подставим сюда отношение У„Л~„исходя из закона распределения скорости (13.3.15): (13.3.32) В результате интегрирования Енсж = 0 146нсж ' снеж = 0 3766нсж з (13 3 33) где бн, определяется из (13.3.19'). Чтобы учесть влияние сжимаемости на 6**, рассмотрим уравнение (! 3.3.1), из которого для случая р = сопз1 находим з(Е„, lз(х = О,бе~„ (13.3.
34) к откуда 6„= 0,5 ) с „г(х, или Е„", = 0,5с„~х (с„г — средний ко- с 1н — ПЛ вЂ” — = (1+ — ', ' М', ) (1+ — ', ' М, ) нсж нсж (13.3. 36) е 43.4. Турбулентный пограничный слой на плоской пластинке ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ Для решения задачи об определении параметров турбулентного пограничного слоя на плоской пластинке в сжимаемой среде используем интегральное соотношение (13.3.7) в переменных $, з1, в которых оно по форме такое, как для несжимаемой среды.
эффициент трения на участке пластинки от 0 до х). В соответствии с этим результатом отношение 6, lб„такое, как (13.3.27): хГ)сж Отношение условных толщин вытеснения определяем по аналогии с (13,3.20): Глава трннадиатая При определении закона распределения скорости У„ в пограничном слое, который необходимо знать для вычисления интеграла в соотношении (13.3.7), исходим из формулы (1.1.10). Полагая осредненное значение составляющей скорости у„= 1'„, эту формулу представим в виде (13.4.1) (13.4.3) где у„= 1'/У,„.
Дифференциал т/у в (13.4.3) представим при помощи (13.3,4) и 13.4.5) в виде 2(У = (РО/Р) дт1 = (1 — Уй) Д ~ (1 — Уя) 2(т) (13 4 6) Рассмотрим теперь преобразование для длины пути перемешивания (13.4.2). Акад. А. А. До роди и цы н принимает й = 0,3914, т. е. равным значению этого коэффициента вблизи стенки для пограничного слоя в несжимаемой среде. Но вблизи стенки можно принять У„ж 0 и в соответствии с (13.4.6) (1 1,2) — йцй — и (13.4.7) Внося зависимости (13.4.4) — (13.4.7) в (13.4.3), находим я а(~ у2)йнй — 1) (2 уй) Р2) — й1 12 — 11 ( ! уй)йнй — 11 т = р/2(дУ'„дУ)'', откуда д)я/ду = (1/1)ф'"т/р. По Прандтлю длина пути перемешивания 1 = /гу, (13.4.2) где я — постоянный коэффициент пропорциональности; у — расстояние от стенки.
В соответствии с этим дУ„/ду = (1/йу)Ут/р откуда — 2 / — 'т(у+ С„ йУ У 2 где С, — постоянная, определяемая из граничных условий движения газа в пограничном слое. ' Преобразуем (13.4.3), используя переменные 11 (13.3.4) и $ (13.3.6) Для удобства преобразований введем функцию ( / ) (1 ууа) — й/(.й — 1) (13.4.4) где Уа = У,/У,„. Заменим плотность р в (13.4.3) его значением из (13.1.21): р = р.
(1 — У')""-п(1 — У')-', (13.4.5) 263 Трение Х(1 — УТ) "" "(1 — У,')аЧ+С,= /! уе1зп ) Ь оп+С„ (13. 4.8) ач где Сз — постоянная, определяемая в соответствии с граничными условиями для переменной т!. Величина яЧ /(1 — У„')'/ь которую обозначим /, соответствует длине пути перемешивания / в (13.4.1).
Так как принято, что эта длина определяется по коэффициенту й для условий вблизи стенки, где У„(( (< 1, то 7ж Ь), (13.4.9) что точно совпадает с принятым законом для длины пути перемешива- ния в несжимаемом потоке. Таким образом, У„= ~ —" дц+С,. Р уГ В основу вывода рассматриваемого закона распределения скорости положена гипотеза о том, что напряжениетрения постоянно по сечению пограничного слоя, в соответствии с которой т = т„= сопз1 и, следовательно, Ь = Ь„= сопз1.
Поэтому или Ух = (~ Ьее //г) 1п Ч + С,. (13.4.10) Отнеся это уравнение к условиям на внешней границе пограничного слоя, где прин = Ч е У„ = Уд, получаем У~ = ()/ Ь„ //г) 1п Т1, + С,. Комбинируя (13.4.11) с (13,4.10), находим У вЂ” У = (1/ Ь //г) 1П (П/%). (13.4.! 2) В приведенной форме уравнения для У„представляют собой выражение логарифмического закона распределения скорости по сечению пограничного слоя. Уравнения (13.4.10) и (13.4.12) по смыслу их вывода справедливы только вблизи обтекаемой поверхности — в окрестности ламинарного подслоя.
Такой слой образуется непосредственно у стенки, которая препятствует перемешиванию (турбулизации). Это явление уменьшения турбулизации вблизи стенки описывается формулой (13.4,2), согласно которой на стенке (при у = О) перемешивание прекрапшется. В работе 13)введено допущение„согласно которому внутри 264 Гяааа тринадцатая турбулентного ядра пограничного слоя распределение скоростей можно представить на основе логарифмического закона (13.4.10) при помощи уравнения У„=(У"Ь„~й)[]п]+С,+)(01 ],)), где величина 1(т]а/т]) — поправка Дородницына к логарифмическому закону. Поправка 1(т]/т]а) является универсальной функцией, не зависящей от числа Маха илн скорости Уа. Иными словами, как и для случая ламинарного пограничного слоя, допускается, что в координатах Ч, $ распределение скорости не зависит от сжимаемости. Полагая в (13.4.10') переменную т] = тта, находим на внешней границе пограничного слоя скорость: Уа = (]/Ь„/й)[1п т], + С, + 1(1)[.
(13.4.11') В соответствии с (13.4.10') и (13.4.11') У, — У = (]'с~„ /й) ]' ®т],), (13. 4.12') где Р(т]/Ч,) = 1п (т](т],) — ) (1) — 1( т]/ т],) (13.4.12") Расчет параметров турбулентного пограничного слоя, основанный на применении уравнения (13.4.12'), содержащего поправку Дородницына, также приведен в работе [3].
Не изменяя принципиальной схемы решения задачи об определении этих параметров, для упрощения этого решения можно рассмотреть возможность применения обычного логарифмического закона, не вводя указанной выше поправки, т. е. полагая функцию Р(т]/т]а) = 1п(т~/т]а). Расчеты показывают, что числовые коэффициенты, входящие в полученные выражения для параметров пограничного слоя, несколько отличаются от данных работы [3]. Однако это отличие вполне допустимо, если принять во внимание общий характер приближенных вычислений.
Уравнение для скорости, соответствующее принятому логарифмическому закону в его обычном виде (13А.12), можно преобразовать, выразив толщину т]а через Ь„. Для этого рассмотрим уравнение (13.4.12) применительно к условиям на границе ламинарного подслоя, где при т] = Ч„скорость на этой границе У„= У„: У вЂ” Уа — (У Ь //г)1п(ч /т] ) Чтобы определить толщину ламинарного подслоя т] и скорость У на его границе, воспользуемся уравнением Кармана, которое для переменной у представим в виде Ь = р т~Ь7 265 Трение „де коэффициент а принимаем таким, как и для несжимаемой среды, и равным 11,5 (по экспериментальным данным).
Преобразуем к новой переменной т) уравнение (13.4.14). Величина лл б = 5)с(у, или с учетом (13.3.4) и (13.1.21) (13.4.16) ст 1 ст / ср (,р,у е,, чо /' откуда ~~ /у о„ ст ч е е ро 1' ст Введем параметр е = /оУ~/У'Ьст (13.4. 20) (13.4. 21) тл Ь = (1 Утл)-»и '-и ~(1 У„') д„, (13.4 15) о Вблизи стенки У « 1, поэтому Ь„=(1 — Уто) "'" нп..
Выражение для т „в (13.4.14) получаем из (13.4.4): (1 Ут)»д» — 1> (13.4.17) Плотность на стенке находим из (13.4.5), положив У„= бч р., = ро(1 — У~/ач' ". (13.4.5') Внесем (13.4.16), (13.4.17) и (13.4.5') в (13.4.14): т1 =а(л~,/(р УЬ ). (13.4.18) В этом выражении величину Ь„можно определить при помощи формулы Ньютона т„= р„(дУ„/ду)о=о. Учитывая малую толщину ламинарного подслоя, для него можно принять линейный закон распределения скорости У, = У„у/б„, в соответствии с которым т„=- = )»„У„/б, откуда У = (т„/(л„)б, или с учетом значений (13.4.16) для бл и (13.4.17) для тот 1 л = (Робот/(лот) т1л. (13.4.19) Внесем сюда значение т1 из (13.4.18): У„= а )тЬ„.
(13.4.19') Подставляем значения т1 из (13.4.18) и У из (13.4.19') в (13.4.13): 2ББ Глава тринадцатая и обозначим постоянную величину ие в" = А. Тогда т1, )т Ь„= е*Ар„lр,. (13.4.22) Воспользуемся интегральным соотношением (13.3.7), куда внесем значение тст7рст Ьст ~ (13.4. 23) которое получается из (13.4.17) и (13.4.5'). Одновременно в соответствии с (13.4.12) произведем замену: )тя = )т + ($'га /й) 1и(т)/т! ) . В результате ,т „' ),ге„ч Р' Б, — — ( т'в+ " 1п — ' — "!п — '=Ь„, вВБ ) ~в а чв о или — ( 1п ~ ввт! + — —" ( !и* — "е!т) = Ь„. о о (13.4.25) Здесь интегралы вычисляем в явном виде: 1и — ввт! = т) ~) 1и — вв ~ — ~ = — т)в; / ч 'в цв '3 тв ~Ч / о о в (13.4.
26) !и' Ч в(ч = т!в ! 1и' — ' в( ! ч 1 = 2т1,. ( — '1=, В соответствии с этим — [т. —," ( — т. -~ ' *)) —.- т„. Внесем сюда значения т!в 'Г'Ь„из (13.4.22) и Ь„из (13.4.21): Р+2 'в Разделим обе части равенства на Арса/(рой): (13.4.27! тренме 267 Произведем дифференцирование: 2 1 ог 2 ег Еоо Рг е'(1 — — ) — + е'— е ) ер гт ер Ар г' Разделив обе части равенства на е* (1 — 2/г) + е'2/г' = е' (1 — 2/г + 2/го), получим ег ~ Ро~ ь е' рот ( /+ или Е(~те~) Рого /оо 1+ 2/г ео Ар ! — 2/г + 2/гг Исследования показывают, что при больших числах Рейнольдса величина (1 + 2/г)/(1 — 2/г + 2/гг) м сопз1 = 1,38, следовательно, Н(гоег) = 1138ро)/г/го/(Арот).
(13.4.29) Полагая й = 0,3914 и а = 11,5, находим постоянную величину 1,38/го/А = 1,38й'еы/а = — 0,656. (13.4. 30) Таким образом, г((ггег) = (0,656ро$'г /р„) Н$. (13.4. 31) Принимая, что г = 0 при $ = О, после интегрирования находим г'е' =(О 656рор'о/р )5 (13.4.32) Согласно (13.3.6), $ = ( рг/По) х = (1 — Ъ'ь) ' ~ 'х. (13.4.
33) Учитывая также (13.4.5'), имеем г'е' = 0,656р„(/,х/р„. (13.4.34) Заменим в (13.4.34) отношение р„/р„ согласно (13.3.17): (1 рг)е+! Введем также обозначение для числа йе„= $'ох/то.' г'е' = 0,656 (1 — Я)"+'йе„.. (13.4.36) По значению г, найденному из (13.4.36), можно определить напряжение трения. Чтобы найти зависимостьт„от г, воспользуемся соот- Глава тринадцатая 2ба ношениями (13.4.5') н (13.4.21): я ват2 Эватв Э рРа' Т, — 1"а) =— гв Тв (13.4.37) Местный коэффициент трения вт 2Д т су„— — —" — — (1 — $'а) Тя 1;2 2ат Та — — (13.4. 38) гв Т, отсюда =/а1 2(1 — Р)/ Прологарифмируем выражение (! 3.4.36): 2 1п г + г = (и + 1) 1п (1 — У~а) + 1п ме„+ 1п 0 656.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
