Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Ь(ы доказали, что по нормальному делителю Н определяется гомоморфнзм группы О на фактор-группу б/Н. Справедливо обратное утверждение: если задан гомоморфизм группы 6 иа множество О, то по этому гомоморфизму определяется такой нормальный делитель Н, что группа б ') и фактор-группа 6/Н нзомор ны. окажем две теоремы, относящиеся к этому утверждению. Теорема 9.6. Пусть / — гомоморфизм группы 6 на 6, и пусть Н вЂ” множество тех элементов группы О, которое при гомоморфизме / отображаются в влемент /(е), где е — единица группы 6, Тогда Н вЂ” нормальный делитель группы б.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что Н вЂ” подгруппа группы б и каждый левый смежный класс по этой подгруппе является одновременно и правым смежным классом. Убедимся, во-первых, что Н вЂ” подгруппа группы О.
Для этого следует доказать, что если а Е Н н Ь Е Н. то аЬ Е Н, а также что если а Е Н, то и а-' Е Н. Пусть а ~ Н и Ь ~ Н. Так как / — гомоморфнзм, то / (аЬ) = = / (а) / (Ь) = / (е) / (е). Но / (е) играет роль единяцы в группе 6 (см. теорему 9.4). Поэтому / (е) / (е) / (е), т. е. / (аЬ) = / (е).
Следовательно, аЬ Е Е Н Далее пусть а с Н, т. е. / (а) = / (е). Тогда, если а з — обратный элемент для а, то аа ~ = е, т. е. аа д ~ Н. Так как / — гомоморфнзм, то /(е) = / (аа ') = / (а) / (а ') = / (е) / (а-') = / (а '). Поэтому /(а з) = / (е) и, следовательно, а в ~ Н. Докажем теперь, что каждый левый смежный класс является одновременно и правым смежным классом. Пусть а — произвольный элемент группы 6, Докажем, что множество А элементов группы О.
отображающихся при гомоморфизме / в элемент / (а), есть одновременно левый н правый смежные классы аН и На. Этим и будет завершено доказательство теоремы. Пусть а' ~ А. Рассмотрим уравнение '*) ах = а'. (9 9) Так как / — гомоморфизм н / (а') / (а), то из этого уравнения получаем /(ах) = /(а) /(х) = /(а') = / (а), т. е. /(х) = /(с). Поэтому х Е Н. Но тогда, согласно (9.9), а' ох, т. е. а' ~ аН. ') Согласно теореме 9.4 гьмаморфныа образ грунвы нредстввлает севой груаеу, в ) В силу следствия 2 ив теоремы 9.3 его уравнение разрешимо. Решением будет ваемеат х и 'в'. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 2т) Обращаясь далее к уравнению ха = а' и проводя аналогичные рассуждения, мы убедимся, что х ч Н.
Но тогда а' = ха, т. е. а' ~ На. Таким образом, А аН = На. Теорема доказана. Теорема 9.7 (теорема о гомоморфизмах групп). Пусть à — гомоморфизм группы 6 на 6 и Н вЂ” тот нормальный делитель группы 6, элементам которого соответствуют при гомоморфизме )" единица группы 6 *). Тогда группа 6 и фактор-группа 6!Н изоморфны. До к а з а те л ь с т во. Установим взаимно однозначное соответствие между элементами группы 6 и смежными классами по нормальному делителю Н. элементу а группы 6 поставим в соответствие тот смежный класс, который с помощью ) отображается в а.
Очевидно, это соответствие взаимно однозначно, ибо, согласно свойству 3' смежных классов (см. п. 4 этого параграфа), этн классы не пересекаются. Если определить умножение этих классов как подмножеств группы 6 и воспользоваться утверждением, доказанным в конце предыдущего пункта, то легко видеть, что установленное только что взаимно однозначное соответствие есть изоморфизм. Но классы смежности и есть элементы фактор- группы.
Теорема доказана. $2. Группы преобразований В этом параграфе изучаются группы невырождеиных линейных преобразований линейного и, в частности, евклидова пространства. 1. Невырождениые линейные преобразования. В п. 1 $1 гл. 5 было введено понятие линейного оператора. Напомним, что линейным оператором А называлось такое отображение линейного пространства у' в линейное пространство яр„при котором образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента иа число равен произведению этого числа на образ элемента.
Мы будем рассматривать так называемые н е в ы р о ж д е ни ы е линейные операторы, отображающие данное коиечномерное линейное пространство у' в это же пространство. При этом линейный оператор А называется невырожденным, если бе1 А чь эь 0 вв), Отметим следующее важное свойство невырожденных операторов: каждый такой оператор отобрихает пространство у' на себя взаимно однозначно. ') По теореме 9А О представляет собой группу. ") Напомним, что бе) А был введен в и.
2 б 2 гл. 5 как определитель матрицы лииейяого оператора в данном базисе. Там же было доказано, что значение бе! А не зависит от выбора базиса. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГР УПП 1гл. э Иными словами, если А — невырожденный оператор, то «аждому элементу х Е У соответствует только один элемент у ~ который может быть найден по формуле у= Ах, (9.10) и если у — любой фиксированный элемент пространства У, то существует только один элемент х такой, что у = Ах.
Для доказательства второй части сформулированного утверждення обратимся к матричной записи действия линейного оператора. Итак, если А = (а„') — матрица оператора А в данном базисе и элементы х и у имеют соответственно координаты х'... х" и у', ..., у", то, согласно формуле (5.14) (см. и. 1 $2 гл. 6), соотношение (9,10) перепншется в виде у'= ~;а,'х", 1 1,2, ...,и, (9.11) и поэтому коордннаты х" можно рассматривать как неизвестные прн заданных координатах у', Так как оператор А невырожденный, т, е.
де1 А чь О, система уравнений (9.11) имеет едннственное решение для неизвестных х'. Это и означает, что для каждого фнкснрованно~о элемента у Е У существует только один элемент х такой, что у = Ах. Итак, результат действия невырожденного линейного оператора можно рассматривать как отображение линейного про. странства У на себя, Поэтому при заданном невырожденном операторе мы можем говорить о невырожденном линейном преобразовании пространства У, или, короче, о линейном преобразовании пространспыа У, 2. Группа линейных преобразовании. Пусть У вЂ” и-мерное лннейное пространство с элементами х, у, а, ... и бг'. (и) — множество всех невырожденных лннейных преобразований этого пространства. Определим в Ж (и) закон композиции, который в дальнейшем будем называть ум нож ен и ем.
Мы определим умножение линейных преобразований нз И. (и) так же, как было определено в и. 2 5 1 гл. б умножение линейных операторов. Именно, произведением АВ линейных преобразований А и В из множества ОЕ (и) мы назовем линейный оператор, действующий по правилу (АВ),х = А (Вх).
(9.12) Отметим, что, вообще говоря, АВ ~ ВА Для того чтобы указанное произведение действительно было законам композиции (см. и. ! 5 ! этой главы), достаточна доказать, что преобразование АВ является невырожденным, а это следует нз того, что матрица линейного преобразования ЛВ равна ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ $2! произведению матрин преобразований А н В, а следовательно, бе! (АВ) = бе! А бе! В~О, ибо бе! А ~О и бе! В~ О.
Докажем теперь следующую теорему. ТеоРема У.д. Множество 61. (и) невырожденных линейных преобразований линейного и-мерного пространства У с введенной выи4в операцией умножения представляет собой группу (называемую группой линейных преобразований линейного пространства У). До к а з а т ел ь от в о. Проверим требования 1', 2', 3' определения 2 группы (см. п. 2 5 ! этой главы). !', Ассоциативность умножения, т. е. равенство А (ВС) = (АВ) С справедливо, поскольку, согласно (9.12), произведение линейных преобразований заключается в их последовательном действии, н поэтому линейные преобразования А (ВС) и (АВ) С совпадают с линейным преобразованием АВС и, следовательно, тождественны.
2'. Существование единицы. Обозначим символом Т тождественное преобразование. Это преобразование невырожденное, так как бе1 Т =!. Очевидно, для любого преобразования А из 61. (и) справедливо равенство АТ =!А = А. Следовательно, линейное преобразование Т играет роль единицы. 3'. Существование обратного элемента. Пусть А — любое фиксированное невырожденное линейное преобразование. Обратимся к координатной записи (9.1!) этого преобразования.
Так как бе! А чь О, то из системы (9.11) можно по заданному у (по заданным координатам у4) единственным образом определить х (координаты х"). Следовательно„определено обратное преобразование А ', которое, очевидно, будет линейным (это следует из (9.11)); кроме того, по самому определению А 'А = Т. Поэтому линейный оператор А ' играет роль обратного элемента для А. Итак, для операции умножения элементов из И. (п) выполнены требования 1, 2, 3' определения 2 группы. Поэтому 64.