Главная » Просмотр файлов » Ильин, Позняк - Линейная алгебра

Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 56

Файл №947283 Ильин, Позняк - Линейная алгебра (Ильин, Позняк - Линейная алгебра) 56 страницаИльин, Позняк - Линейная алгебра (947283) страница 562013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Ь(ы доказали, что по нормальному делителю Н определяется гомоморфнзм группы О на фактор-группу б/Н. Справедливо обратное утверждение: если задан гомоморфизм группы 6 иа множество О, то по этому гомоморфизму определяется такой нормальный делитель Н, что группа б ') и фактор-группа 6/Н нзомор ны. окажем две теоремы, относящиеся к этому утверждению. Теорема 9.6. Пусть / — гомоморфизм группы 6 на 6, и пусть Н вЂ” множество тех элементов группы О, которое при гомоморфизме / отображаются в влемент /(е), где е — единица группы 6, Тогда Н вЂ” нормальный делитель группы б.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что Н вЂ” подгруппа группы б и каждый левый смежный класс по этой подгруппе является одновременно и правым смежным классом. Убедимся, во-первых, что Н вЂ” подгруппа группы О.

Для этого следует доказать, что если а Е Н н Ь Е Н. то аЬ Е Н, а также что если а Е Н, то и а-' Е Н. Пусть а ~ Н и Ь ~ Н. Так как / — гомоморфнзм, то / (аЬ) = = / (а) / (Ь) = / (е) / (е). Но / (е) играет роль единяцы в группе 6 (см. теорему 9.4). Поэтому / (е) / (е) / (е), т. е. / (аЬ) = / (е).

Следовательно, аЬ Е Е Н Далее пусть а с Н, т. е. / (а) = / (е). Тогда, если а з — обратный элемент для а, то аа ~ = е, т. е. аа д ~ Н. Так как / — гомоморфнзм, то /(е) = / (аа ') = / (а) / (а ') = / (е) / (а-') = / (а '). Поэтому /(а з) = / (е) и, следовательно, а в ~ Н. Докажем теперь, что каждый левый смежный класс является одновременно и правым смежным классом. Пусть а — произвольный элемент группы 6, Докажем, что множество А элементов группы О.

отображающихся при гомоморфизме / в элемент / (а), есть одновременно левый н правый смежные классы аН и На. Этим и будет завершено доказательство теоремы. Пусть а' ~ А. Рассмотрим уравнение '*) ах = а'. (9 9) Так как / — гомоморфизм н / (а') / (а), то из этого уравнения получаем /(ах) = /(а) /(х) = /(а') = / (а), т. е. /(х) = /(с). Поэтому х Е Н. Но тогда, согласно (9.9), а' ох, т. е. а' ~ аН. ') Согласно теореме 9.4 гьмаморфныа образ грунвы нредстввлает севой груаеу, в ) В силу следствия 2 ив теоремы 9.3 его уравнение разрешимо. Решением будет ваемеат х и 'в'. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 2т) Обращаясь далее к уравнению ха = а' и проводя аналогичные рассуждения, мы убедимся, что х ч Н.

Но тогда а' = ха, т. е. а' ~ На. Таким образом, А аН = На. Теорема доказана. Теорема 9.7 (теорема о гомоморфизмах групп). Пусть à — гомоморфизм группы 6 на 6 и Н вЂ” тот нормальный делитель группы 6, элементам которого соответствуют при гомоморфизме )" единица группы 6 *). Тогда группа 6 и фактор-группа 6!Н изоморфны. До к а з а те л ь с т во. Установим взаимно однозначное соответствие между элементами группы 6 и смежными классами по нормальному делителю Н. элементу а группы 6 поставим в соответствие тот смежный класс, который с помощью ) отображается в а.

Очевидно, это соответствие взаимно однозначно, ибо, согласно свойству 3' смежных классов (см. п. 4 этого параграфа), этн классы не пересекаются. Если определить умножение этих классов как подмножеств группы 6 и воспользоваться утверждением, доказанным в конце предыдущего пункта, то легко видеть, что установленное только что взаимно однозначное соответствие есть изоморфизм. Но классы смежности и есть элементы фактор- группы.

Теорема доказана. $2. Группы преобразований В этом параграфе изучаются группы невырождеиных линейных преобразований линейного и, в частности, евклидова пространства. 1. Невырождениые линейные преобразования. В п. 1 $1 гл. 5 было введено понятие линейного оператора. Напомним, что линейным оператором А называлось такое отображение линейного пространства у' в линейное пространство яр„при котором образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента иа число равен произведению этого числа на образ элемента.

Мы будем рассматривать так называемые н е в ы р о ж д е ни ы е линейные операторы, отображающие данное коиечномерное линейное пространство у' в это же пространство. При этом линейный оператор А называется невырожденным, если бе1 А чь эь 0 вв), Отметим следующее важное свойство невырожденных операторов: каждый такой оператор отобрихает пространство у' на себя взаимно однозначно. ') По теореме 9А О представляет собой группу. ") Напомним, что бе) А был введен в и.

2 б 2 гл. 5 как определитель матрицы лииейяого оператора в данном базисе. Там же было доказано, что значение бе! А не зависит от выбора базиса. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГР УПП 1гл. э Иными словами, если А — невырожденный оператор, то «аждому элементу х Е У соответствует только один элемент у ~ который может быть найден по формуле у= Ах, (9.10) и если у — любой фиксированный элемент пространства У, то существует только один элемент х такой, что у = Ах.

Для доказательства второй части сформулированного утверждення обратимся к матричной записи действия линейного оператора. Итак, если А = (а„') — матрица оператора А в данном базисе и элементы х и у имеют соответственно координаты х'... х" и у', ..., у", то, согласно формуле (5.14) (см. и. 1 $2 гл. 6), соотношение (9,10) перепншется в виде у'= ~;а,'х", 1 1,2, ...,и, (9.11) и поэтому коордннаты х" можно рассматривать как неизвестные прн заданных координатах у', Так как оператор А невырожденный, т, е.

де1 А чь О, система уравнений (9.11) имеет едннственное решение для неизвестных х'. Это и означает, что для каждого фнкснрованно~о элемента у Е У существует только один элемент х такой, что у = Ах. Итак, результат действия невырожденного линейного оператора можно рассматривать как отображение линейного про. странства У на себя, Поэтому при заданном невырожденном операторе мы можем говорить о невырожденном линейном преобразовании пространства У, или, короче, о линейном преобразовании пространспыа У, 2. Группа линейных преобразовании. Пусть У вЂ” и-мерное лннейное пространство с элементами х, у, а, ... и бг'. (и) — множество всех невырожденных лннейных преобразований этого пространства. Определим в Ж (и) закон композиции, который в дальнейшем будем называть ум нож ен и ем.

Мы определим умножение линейных преобразований нз И. (и) так же, как было определено в и. 2 5 1 гл. б умножение линейных операторов. Именно, произведением АВ линейных преобразований А и В из множества ОЕ (и) мы назовем линейный оператор, действующий по правилу (АВ),х = А (Вх).

(9.12) Отметим, что, вообще говоря, АВ ~ ВА Для того чтобы указанное произведение действительно было законам композиции (см. и. ! 5 ! этой главы), достаточна доказать, что преобразование АВ является невырожденным, а это следует нз того, что матрица линейного преобразования ЛВ равна ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ $2! произведению матрин преобразований А н В, а следовательно, бе! (АВ) = бе! А бе! В~О, ибо бе! А ~О и бе! В~ О.

Докажем теперь следующую теорему. ТеоРема У.д. Множество 61. (и) невырожденных линейных преобразований линейного и-мерного пространства У с введенной выи4в операцией умножения представляет собой группу (называемую группой линейных преобразований линейного пространства У). До к а з а т ел ь от в о. Проверим требования 1', 2', 3' определения 2 группы (см. п. 2 5 ! этой главы). !', Ассоциативность умножения, т. е. равенство А (ВС) = (АВ) С справедливо, поскольку, согласно (9.12), произведение линейных преобразований заключается в их последовательном действии, н поэтому линейные преобразования А (ВС) и (АВ) С совпадают с линейным преобразованием АВС и, следовательно, тождественны.

2'. Существование единицы. Обозначим символом Т тождественное преобразование. Это преобразование невырожденное, так как бе1 Т =!. Очевидно, для любого преобразования А из 61. (и) справедливо равенство АТ =!А = А. Следовательно, линейное преобразование Т играет роль единицы. 3'. Существование обратного элемента. Пусть А — любое фиксированное невырожденное линейное преобразование. Обратимся к координатной записи (9.1!) этого преобразования.

Так как бе! А чь О, то из системы (9.11) можно по заданному у (по заданным координатам у4) единственным образом определить х (координаты х"). Следовательно„определено обратное преобразование А ', которое, очевидно, будет линейным (это следует из (9.11)); кроме того, по самому определению А 'А = Т. Поэтому линейный оператор А ' играет роль обратного элемента для А. Итак, для операции умножения элементов из И. (п) выполнены требования 1, 2, 3' определения 2 группы. Поэтому 64.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,17 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6551
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее