Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В ортонормированном базисе 1-1 О 01 матрица Р этого преобразования имеет вид Р=~ Π— ~ О). ΠΠ— 1 Так как определитель де1 Р— 1, то подгруппа «1, Р» является несобственной. В примере 7 п. 2 $1 этой главы отмечалось, что подгруппа «1, Р» изоморфна группе 2, вычетов по модулю 2. Докажем следующее утверждение: Рассматриеаемал подгруппа «1, Р» представляет собой нормальный делитель группы О (3).
Нам требуется доказать, что для любого элемента а нз О (3) справедливы соотношения а1= 1а, аР=Ра (9.20) (этн соотношения показывают, что левый н правый смежные классы подгруппы «1, Р» совпадают, что является признаком нормального делителя). Первое из соотношений (9.20) очевидно. Для доказательства второго соотношения воспользуемся следувщнми очевидными свойствами отражения Р: РР 1 РаР= а, а ~ О(3). Умножая соотношение РоР слева нз Р и пользуясь равенством РР = 1, получим второе соотношение (9.20). Докажем теперь следуюшее утверждение влвмвнты твоэии гэзпп [гл. э Подгруппа 50 (3) собственных ортогональных преобразований группы 0 (3) изоморфна фактор-группе группы 0 (3) по нормальному делителю «г, Р». Д о к а з а тел ь с т в о.
Смежный класс элемента а Е 50 (3) по подгруппе «г, Р» имеет вид «а, Ра», причем Ра — несобственное преобразование (произведение собственного преобразования а и несобственного преобразования Р дает несобственное преобразование). Если а' — несобственное преобразование, то смежный класс «а', Ра'» приводится к виду «а, Ра», где а Ра' — собственное преобразование и Ра = Р (Ра') (РР) а' * а'.
Таким образом, фактор-группа О (3У«1, Р» состоит нз смежных классов вида «а, Ра», где а — собственное преобразование, Очевидно, соответствие а «а, Ра» есть изоморфнзм между группами 50 (3) и 0 (ЗЦ1, Р». Утверждение доказано. 6. Группа Лоренца. В п. 1 3 4 гл. 8 мы ввели понятие псевдо- евклидова пространства Е»р, м, т. е. линейного пространства, в котором задано скалярное произведение (х, у), равное невы- рожденной симметричной билинейной форме А (х, у), полярной знакоперемеиной квадратичной форме А (х, х): (х, у) А(х.
у). (9.21) В и. 2 $ 4 гл. 8 было отмечено, что в так называемой галилеевой системе координат квадрат интервала з1(х) (х,х) (9.22) (так обычно называется квадрат длины вектора х с координатами (х„х„..., х„)) имеет вид ь в з1(х)=Е ~- Е з' (9.23) 81 ил+1 Введемпонятне преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства Е~„ ю. Определение. Линейное преобразование Рпсевдоевклидоеа пространства Ей,н называется и р ео бр аз овин и ем Л ор е н ц а, если для любык х и у из Ем, 1 справедливо соотношение (Рх, Ру) =(х, у), (9.24) где (х, у) — скалярное произведение, определенное соотношением (9.21).
Равенство (9,24) называется у с л о в и е м л о р е н ц овости преобразования, Отметим, что при преобразовании Лоренца сохраняется квадрат интервала зз(х), определенный соотношением (9.22) (или 9.23)). ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Так же как в п. 4 этого параграфа, можно доказать, что определитель бе! Р преобразования Лоренца отличен от нуля, и поэтому для каждого преобразования Лоренца Р существует обратное преобразование Р '.
Кроме того, по самому смыслу определения преобразования Лоренца, произведение таких преобразований дает в результате преобразование Лоренца. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Множество всех преобразований Лоренца псевдсевклидова пространства Е э,е> с обычной операцией умножения линейных ~реобразсваний (линейных операторов) образует группу, называемую обще й груп и ой Лорен ц а псевдоевнлидсва пространства Е",'э, 1 и обозначаемую символом Е (и; р, 4).
Мы выделим специальный класс псевдоевклидовых пространств Еп. м (сюда включается интересное с физической точки зрения пространство Ееп, э>). Группа Лоренца для пространств Е п„п обозначается через Е (и). В и. 1 5 4 гл. 8 (формула (8.69)) было введено понятке длины а (х) вектора х, которая вычисляется по формуле о(х) =(зйпзэ(х)) у'1зэ(х) ~- С помощью втой формулы все ненулевые векторы псевдоевклидова пространства разделяются на в р е м е н и п о д о б н ы е (о (х) > О), и р о с т р а н с т в е н н о п о д о б и ы е (а (х) < О) и и з отр о п н ые (а(х) О). Было доказано, что множество концов временнподобных (пространственноподобных, изотропных) векторов, начала которых совпадают с произвольной фиксированной точкой, образует конус Т (конус пространственноподобных векторов обозначается буквой 5).
Конус Т по соглашению ') разделяется на две связные компоненты Т' и Т (конус будущего и конус прошлого) так, что каждая нз этих компонент вместе с вектором х содержит любой вектор Хх, где Х > О. Описанное разделение векторов в псевдоевклидовом пространстве дает возможность выделить из группы Лоренца Е (и) некоторые подгруппы.
Именно, подгруппа группы Е (и), преобразования которой переводят любой времениподобный вектор снова во времениподобиыйвектор,называется полной группой Лоренца. Для нее используется обозначение 1.(, (и). '! В и. 2 4 4 гл. 8 лля пространства Мяякоэского Е~~, э1 увезено, кэк разделяется конус Т яэ сэяэяые коняовеяты Т+ я Т я лэегся фяэяеескея ннтерпретэпкя этих колпопевт. элвмннты твории групп Выделяется еще одна подгруппа группы Ь (и). В зту подгруппу входят преобразования, определитель матрицы которых положителен. Эта подгруппа обозначается Ь+ (и) и называется собственной группой Лоренца.
Собственные преобразования Лоренца, которые принадлежат подгруппе Ет (и), также образуют подгруппу. Ее часто называют группой Лоренца и обозначают символом Ьт (л). В заключение этого пункта мы отметим, что группы Лоренца, в отличие от ортогональкых групп, ивкомпалтны «). Для примера докажем иекомпактность группы Е т (2). В п. 3 9 4 гл. 8 мы полностью описали эту группу. Напомним, что если в Езп, и введена система координат (х, у) так, что квадрат интервала задается формулой зз = х' — уз, (9.25) то преобразования Лоренца из группы Ь т (2) пространства Е<~, и задаются формулами х'= (9.26) Рассмотрим в плоскости (х, у) вектор к с координатами (О, 1). По формуле (9.26) этот вектор перейдет в вектор кэ с координатами (9.27) Обратимся теперь к последовательности преобразований Лоренца (9.26), определяемой значениями 6„нз соотношения 1 — 6„= —, п=1,2, ... (9.28) Согласно (9.27) и (9.28) вектор х перейдет при действии указанной последовательности преобразований Лоренца в следующую последовательность векторов (хе) с координатами ( — у~я — 1, у и).
(9.29) ') Н п. 3 этого параграфа было введено понятие сходимости элементов в группу ОЬ (я) в л-мерном евклидовом пространстве и связанное с понятием Сходимостн понятие компактной группы. Эти понятия легко переносятся на случай группы в произвольном конечно. мерном линейном пространстве У. Сначала вводится понятие сходимостн точек в У (например, можно выбрать в У систему координат и рассматривать сходи. ность последовательности векторов (лЪ) как сходнмость последовательностей координат этих векторов). После этого в полной акалогин с определением схо. димоств в случае группы ОЬ (л) в евклидовом пространстве вводится понятие сходнмости в группе, заданной в линейном пространстве, и определяется понятие компактной группы в таком пространстве.
28! ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП Таким образом, из бесконечной последовательности преобразований Лоренца в группе (. э (2), определенной соотношениями (9.26), для значений р из равенств (9.28) нельзя выделить сходящуюся последовательность (напомним, что последовательность элементов А„группы называется сходящейся к элементу А, если для любого е последовательность (А„х) сходится к Ак), ибо последовательность (9.29) неограниченная, Геометрическая иллюстрация некомпактности группы Ь е (2) заключается в следующем. Согласно (9.25) окружность радиуса единица в псевдоевклидовой плоскости будет гиперболой х* — у' = 1, являющейся не- компактным множеством.
При действии рассмотренной выше последовательности преобразований из группы 1. т (2) заданная точка на этой окружности преобразуется в бесконечно большую последовательность точек на укззанной выше гиперболе, а из бесконечно большой последовательности точек нельзя выделить сходящуюся последовательность. 7. Унитарные группы. В этом пункте мы обратимся к комплексному линейному пространству.
В полной аналогии с п. 2 этого параграфа можно рассматривать группы линейных преобразований такого пространства. Так как комплексное число определяется двумя вещественными числами (действительной и мнимой частью), то полная линейная группа бЬ (и) преобразований п-мерного комплексного линейного пространства изоморфна полной линейной группе преобразований вещественного 2л-мерного пространства И.
(2п) (вместо этого символа часто пишут бЕ (2п, )с), подчеркивая тем самым, что речь идет о группе преобразований вещественного пространства). В полной линейной группе преобразований комплексного евклидова пространства по аналогии с вещественным евклидовым пространством рассматриваются так называемые унитарные группы 0 (и), являющиеся аналогом ортогональных групп (напомним, что в 5 7 гл. 5 унитарные преобразования (унитарные операторы) определялись как линейные преобразования, сохраняющие скалярное произведение; таким же образом в вещественном случае определялись и ортогональные преобразования).
Как и в вещественном случае, в группе 0 (л) унитарных преобразований выделяется подгруппа 50 (л), для которой определители унитарных преобразований равны единице. 5 3. Представления групп В предыдущем параграфе мы рассматривали группы линейных преобразований линейного пространства, Таким образом, линей ные преобразования исследовались с точки зрения их групповых 1Гл. в ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 2З2 свойств. При этом не игнорируются геометрические и другие свойства линейных преобразований. В этом параграфе нас будет интересовать в определенном смысле обратный вопрос — в какой мере свойства абстрактно заданной группы могут быть охарактеризованы посредством групп линейных преобразований.
Один из способов решения этого вопроса заключается в гомо. морфном (и, в частности, нзоморфном) отображении абстрактной группы на подгруппу (или на всю группу) линейных преобразований. Таким образом, возникает понятие п р едс т а в л ем и я данной группы с помощью подгруппы группы линейных преобразований *), Изучение различных представлений данной группы позволяет выявить важные свойства группы, нужные для различных приложений. Во многих разделах физики (кристаллография, теория относительности, квантовая механика и т. д.) требуется построение представлений различных групп (конечных и дискретных подгрупп группы ОЕ (3), групп О (3), Е (3), О (3), 80 (3) н т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
