Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Так как в~ =Ь',е, (8. 73) и так как матрица (ди, ) метрического тензора в базисе в~ также имеетвид(8.72), то используя формулыд,у, = Ь', Ь[пс преобразо. вания координат метрического тензора, получйм следующую систему уравнений для определения коэффициентов Ь, 'матрицы В преобразования базисных векторов (см (8.73); при этом индексы 1 и Р пробегают значения О, 1, 2, 3 (см (8.71)): (Ьо')' — Е Ьо Ьо = 1 и-~ з Ь,',Ьб — ~; Ь;Ь", =О, (8.74) »=1 Ф яР О при у' чьр', Соотношения (8,74) можно записать в матричной форме Для этой цели рассмотрим наряду с матрицей В матрицу В', которая получается из В путем изменения знака у элементов последних трех столбцов и последующего транспонировання, Очевидно, соотношения (8.74) можно записать в следующей форме: » =У. (8.75) где матрица У определяется соотношением (8.72) (для сравнения напомним, что матрица С ортогональных преобразований евклидова пространства удовлетворяет соотношению С'С = /, где 7 — единичная матрица).
Так как с[е1 В' = — с(е1 В, а бе11 = — 1, то из соотношения (8.75) следует, что де1 В» В = йе! В» с)е[ В = — (бе1 В)з = — 1, т. е. бе1 В = ч- 1. (8.76) Обозначим через 7, совокупность всех оба[их преобразований Лоренца пространства Минковского Из этих общих преобразований выделим те преобразования, которые переводят каждый вектор из Т' в вектор, тзкже принадлежащий Т'. Совокупность таких преобразований обычно называется п р е о б р а з о в а. н и я м и Л о р е н ц а п р о с т р а и с т в а Е»п з, и обозначается символом 7, Общие преобразования Лоренца, для которых бе1 В = +1, образуют класс С, так называемых с о б с т в е н н ы х и р еобразований Лоренца, $41 МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА 251 Класс В несобственных преобразований Л о р е н ц а характеризуется соотношением де1 В = — 1.
Примером такого преобразования может служить отражение относительно трех пространственных осей: хг = — х', х' = — хт, х" = — хэ. Пусть  — матрица произвольного несобственного преобразования Лоренца, а Р— матрица только что рассмотренного огра. жеиия Очевидно, произведение произвольного несобственного преобразования и рассмотренного отражения будет собственным преобразованием с матрицей В' = РВ Так как Р' = Р Р = I, где I — единичная матрица, то В = Р'В = Р (РВ) = РВ'. Таким образом, всякое несобственное преобразование Лоренца является произведением некоторого собственного преобразования с матрицей В' и отражения с матрицей Р.
Пересечение множеств г.~ и 1., обозначают символом ь ~, некоторые групповые свойства множеств А„ст, (., и 1. 4 будут рассмотрены в следующей главе. В заключение найдем те преобразования (, ~, которые ие меня. ют координат х' и хх. Ясно, что это будут преобразования 1. т двумерного псевдоевклидова подпространства с координатами х' и х', в котором квадрат интервала вычисляется по формуле (х')'— — (х')' Запишем для рассматриваемого случая формулы (8.74) Получим (Ьо) — (Ьо) =1 Ь',.Ь', Ь,',Ь,' — б, (8.77) Полагая ЬР Ъ = р, найдем иэ (8.77) следующие выражения для коэффициентов Ь', матрицы преобразования В базисных вектоРов в, еь ег, в, в базисные вектоРы ем, еп, ех, ез..' Ь,',=~ У1:Р В этих формулах знак выбирается из условия принадлежности преобразования Лоренца классу (.
1 Не вникая в детали вычислений, запишем окончательные формулы преобразования координат: х~ — Рх~, х1 — йхх хв' =, х' = ", хт = хх, хз' = хз. (8.78) у" ~ ~р У1 рз ' тензояы ~гл. ь Положим в соотношениях (8.78) хс = с1, х' = х, хэ = у, хь = г, х' = с(', х' = х', х' = у', х' = г'. Тогда формулы (8.78) перепишутся следующим образом: с — — » В х' =, у' =у, г' =г. (8.79) с, — Вс!+» '=У -в' Выясним теперь физический смысл константы 8.
Допустим, что точка Р неподвижна в системе координат (1', х', у', г') Это означает, что время у меняется, а пространственные координаты х', у', г' этой точки постоянны Исследуем вопрос о поведении точки Р относительно системы ((, х, у, г). Дифференцируя последние три уравнения (8.79) и учитывая, что йх' = йу' = аг' = О, получим 0 =, 0 = йу, 0 = йг, Поэтому — „=))с, — В.ж+ ы» «» У1 — В' — "=О, — '=О. вг и Следовательно, всякая точка Р, неподвижная в системе координат (с', х', у', г') (а следовательно, и вся зта система координат), движется относительно системы (1, х, у, г) с постоянной скоростью о = рс в направлении оси Ох. Итак, 8 = Ыс, где о — скорость движения системы (с', х', у', г') относительно системы (х, у, г, 1).
Отметим, что так как 0<о<с, то 0(В(1. Перепишем теперь следующим образом формулы (8.79): с х' = ", у' =у, г' =г (8.80) 1 —— ! —— сс сс Формулы (8 80) представляют собой формулы перехода от инерциальной системы (1, х, у, г) к другой инерциальной системе (1', х', у', г').
Эти формулы называются ф о р м у л а м и Л оренца. )ус = ~ с'„г'о' с(т (8.81) й 5. Тензор момента инерции Рассмотрим твердое тело, закрепленное в точке О. Пусть г = ОМ вЂ” радиус-вектор точки М этого тела, тг — скорость точки М. Как известно, момент импульса Ж определяется соотношением ст'= ) (го)йт, где )с — объем тела, йт=рйу (р-плотность тела), Обозначая через й(' — контравариантные координаты вектора )т' и используя формулу (8.60) для векторного произведения, получим ТЕНЗОР МОМЕНТА ИНЕРЦИИ 259 Тензор ,Г' = ~СА,С,',АГАГп (т, и (8.84) фигурирующий в правой части соотношений (8.83), называется тензором момента инерции. Преобразуем выражение (8.84) для тензора момента инерции. Для этой цели обратимся к формуле (8.65).
По этой формуле имеем ср,с,„= СА„6 — дрр6„. Поэтому 1' = ) (дА 6' — йхр6'„) Г ГАйт. (8.85) У Если в выражении (8.85) опустить индекс ( с помощью метрического тензора, то в результате получим часто используемую формулу для координат дважды ковариантного тензора момента инерции: 1,р = ) (гргг,р — г,г„) г(т. У Тензор момента инерции широко используется в механике твердого тела. Для примера запишем с помощью этого тензора выражение для кинетической энергии Т.
Имеем Т = — ~ и'дт= — ~ д р'сгйи. Но посколькУ с' = ср мРГ", выРажение длн Т пРимет вид Т= 2 ) Яисрпс1',Ф~ Г ы Г Йи= — м ы й', српсмГ Г Дт. Отсюда, согласно (8.84), найдем Т= — м~глш,(рр. (напомним, что см = я с,ро где с,м — координаты дискримии нантного тензора в данном базисе пространства Е», см и 6 9 3 этой главы). По теореме Эйлера существует мгновенная ось вращения тела Обозначая через м вектор мгновенной угловой скорости, получим и = [Аэг ) Снова обращаясь к формуле (8.60) для векторного произведения, найдем (8,82) Подставляя найденное выражение с' в правую часть (8.8() и учитывая независимость вр от переменных интегрирования, получим следующее выражение для У'; Ж' = ~ с„' сопг"Г"ге' йл = ез' ~ сйсрлг'Г" 3т = а'./р. (8,83) Р Р гланд в ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП В этой главе будут изложены основные понятия теории групп и указаны некоторые приложения этой теории.
Важность теории групп определяется многочисленными ее приложениями в физике. й 1. Понятие группы. Основные свойства групп 1. Законы композиции. Будем говорить, что в множестве А определен з акоп к о м п оз н ц н и, если задано отображение Т упорядоченных пар элементов из А в множество А. Прн этом элемент с нз А, поставленный с помощью отображения Т в соответствие элементам а, Ь нз А, называется к о м п о з н ц н е й этих элементов. Композиция с элементов а н Ь обозначается символом аТЬ: с = аТЬ. Для композиции элементов а, Ь множества А используются и другие формы записи. Наиболее употребительными являются аддитивнал форма записи с = а + Ь н мультинликативнал форма записи с = аЬ.
В случае аддитивной формы записи композиции соответствующий закон композиции обычно называется ел ож е н н ем, а при мультнпликатнвной форме — у м н о ж е н н е м. Закон композиции называется а с с о ц и а т н в н ы м, если для любых элементов а, Ь, с множества А выполняется соотношение аТ (ЬТс) = (аТЬ) Тс Закон композиции называется к о и м у т а т и в н ы м, если для любой пары а, Ь Е А выполняется соотношение аТЬ = ЬТа Элемент е множества А называется н е й т р а л ь н ы м относительно закона Т, если для любого элемента а множества А выполняется соотношение аТе = а.
Примерами законов композиции могут служить обычные сложение н умножение в множестве вещественных чисел. Оба этн закона коммутатнвны. Нейтральным элементом для сложения является нуль, для умножения — единица. Э 11 пОНЯтИЕ ГРУППЫ. ОСнОВНые СВОЙСТВА ГРУпп 261 2. Понятне группы. Некоторые свойства групп. Сформулируем следующее определение. Определении!. Множество А, в котором определен закон композиции Т, называется г р у л л о й б„если этот закон ассоциативен, существует нейтральный элемент е относительно закона Т и для каждого элемента а множества А существует обратный элемент а ', т.
е. такой элемент, для которого аТа ' = = е. Если использовать мультипликативную форму записи композиции элементов, то определению 1 можно придать следующую форму. Определение 2, Множество А элементов а, Ь, с, ..., в котором определен закон композиции, называемый умножением и ставящий в соответствие каждой ларе элементов а, Ь множества А определенный элемент с = аЬ этого множества, называется г р у и п о й С, если этот закон удовлетворяет следующим требованиям: 1', а (Ьс) = (аЬ)с (ассоциативность). 2'. Существует элемент е множества А такой, что для любого элемента а этого множества ае = а (существование нейтрального элемента). 3', Для любого элемента а множества А существует обратный элемент а ' такой, что аа ' = е. Обычно нейтральный элемент е называется е д и н н ц е й группы б. Если закон композиции Т, действующий в группе б, является коммутативным, то группа О называется к о м м у т а т и в- и о й или а б е л е в о й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
