Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Для абелевых групп часто используется адднтнвная форма записи композиции элементов. В этом случае нейтральный элемент абелевой группы называется н у л ем. Рассмотрим примеры групп. 1) Множество 2 целых чисел образует абелеву группу относительно сложения. Действительно, операция сложения целых чисел представляет собой, очевидно, закон композиции.
Ясно, что этот закон ассоциативен и коммутативен. Нейтральным элементом (нулем) является целое число нуль. Обратным элементом для целого числа а служит целое число — а. 2) Множество положительных вещественных чисел образует абелеву группу относительно умножения. Эта операция представляет собой закон композиции. Очевидно, этот закон ассоцнативен н коммутатнвен. Нейтральным элементом является вещественное число единица.
Обратным элементом для числа а ) О служит число 1/а. 3) Линейное пространство образует абелеву группу относительно сложения элементов. Эта операция представляет собой закон композиции, Согласно аксиомам линейного пространства ЭЛЕМЕНТЫ теоРИИ ГРУПП !ГЛ. Э 262 этот закон ассоциативеи и коммутативен Нейтральным элементом является нулевой элемент пространства, обратным элементом для элемента х — элемент — х.
4) Пусть ВС(9 — равносторонний ! треугольник (см. рис. 9.1) Рассмотд рим следующее множество А операций, совмещающих треугольник с са. а 55 мим собой О 1 Поворот а на 2л(3 вокруг цен. тра Н, переводящий В в С. 2'. Поворот !1 на 4п!3, переводяэ щий В вВ. 3'. Симметрия Зи переводящая С в О. Ряс 9.!. 4'. Симметрия В,, переводящая О в В. 5'.
Симметрия З„переводящая В в С. 6'. Тождественная операция 1. Следующая таблица представляет закон композиции элементов множества А: ! а а 5~ 51 Эз !! ~ ! ~ а ~ 5д 5, 55 5, 5~ 5, ~ ! ~ Р ~ а 52 ! 51 53 ~ а ~ ! ! Р эю ээ (Правило пользования этой таблицей легко усматривается на примере последовательного проведения операций Я„а затем Зи: ЗаВ1=Р) Приведенный закон композиции ассоциативен, но не коммугативен, существует нейтральный элемент — тождественная операция 1. Каждая операция имеет обратную (в каждой строке и столбце таблицы имеется тождественная операция). Такнм образом, множество А операций с указанным законом композиции представляет собой группу, очевидно, не коммутатнвную.
6) Группы перестановок. Взаимно однозначное отображение ~ произвольного множества Е на себя называется и е р е с т а н о в и о й множества Е. При !1 ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП ззз этом всякий элемент а множества Е переходит в элемент ( (а), обратная перестановка !' ' переводнт ( (а) в а. Перестановка ( (а) = а для любого а множества Е называется т о ж д е с т в е нной перестановкой. Если множества Е состоит из элементов а, Ь, с, ..., то перестановку ( этого множества записывают следующим образом: а Ь с ( г(я) ((Ь) г" (с), ) ' В множестве Р перестановок множества Е естественным образом определяется закон композиции: если (, н ~, — перестановки Е, то последовательное проведение ~,о~, этих перестановок представляет собой некоторую перестановку множества Е.
Легко видеть, что композиция ассоциативна. Если множество Р содержит тождественную перестановку, обратную перестановку для каждой своей перестановки ( и вместе с любыми двумя перестановками („~, их композицию (, ~н то, очевидно, Р представляет собой группу. Все перестановки множества Е образуют группу, Для конечного множества Е из л элементов эта группа называется с и мметрической группой 5„. Обратимся к примеру 4), в котором были рассмотрены операции совмещения равностороннего треугольника ВСР с самим собой, Обозначим через Е множество вершин этого треугольника: Е = (В СВ). Очевидно, группу операций, рассмотренную в примере 4), можно получить, обращаясь к следующей группе перестановок: "=(: ':) '-(:::) '=(:::) 6) Рассмотрим группу 2,, состоящую нз двух элементов 0 н 1, в которой умножение определено по правилу 0 0=0, 0 ! =1, 1 ° 0=1, ! ° 1=0.
(9.1) Единицей группы является. элемент О. Эту группу называют г р у и и о й в ы ч е т о в по модулю 2. 7) Рассмотрим группу, состоящую нз двух элементов: 1) тождественное преобразование евклидова пространства (обозначим этот элемент О); 2) отражение евклидова пространства относительно начала координат (обозначим этот элемент 1). Очевидно, умножение (т.
е. последовательное проведение операций 1) и 2)) элементов 0 и 1 будет проводиться по правилу (9.1). Мы видим, что рассматриваемая группа отличается от группы 2, (пример 6) лишь природой элементов Групповые свойства этих двух групп одинаковы. ггл. э элементы твоими гэкпп Яб4 Отметим следующие свойства групп (мы будем использовать мультипликативиую форму записи композиции), Теорема У.1. Если аа ' = е, то а 'а = е. Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть х — обратный элемент для элемента а '. а'х=е.
Тогда а = ае = а (а 'х) = (аа ') х = ех, т. е а = ех Следовательно, а 'а = а ' (ех) = (а 'е) х = а 'х = е, т е а 'а = е. Теорема доказана. Теорема У.З. Для любого элемента а группы справедливосоотношение еа = а. Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 9.! а 'а = е и, кроме того, аа ' = е. Поэтому еа = (аа ') а = а (а 'а) = а, т. е. еа = а. Теорема доказана. ТеОРема 9.3. Если ах = е и ау = е, то х = у, Доказательство. Так как ау=в, то у — обратный элемент для а, и поэтому, согласно теореме 9.1, уа = е.
Имеем далее у = уе = у (ах) = (уа) х = ех = х. Теорема доказана, Из доказанных теорем вытекают следующие важные следствия: Следствие 1. Обратным элементом для элемента а 'служит элемент а. Или, иначе, элемент а ~ является как правым, так и левым обратным элементом для элемента а (т. е. аа ' = е и а 'а = е) Следствие 2. В любой группе уравнения ах = Ь и уа = Ь однозначно разрешимы. Решениями этих уравнений служат соответственно элементы х = а 'Ь и у = Ьа '. Следствие 3. В группе имеется единственный нейтральный элемент (единица группы) (если ае = а и аеь = а, то е = е*). 3 а м е ч а н и е. Отметим, что обратным элементом (аЬ) ' для произведения аЬ служит элемент Ь 'а '.
Действительно, используя ассоциативное свойство умножения, получим (аЬ) (Ь 'а ') = а (ЬЬ ') а ' = аеа ' = аа ' = е. 3. Изоморфизм групп. Подгруппы, Примеры, рассмотренные в предыдущем пункте (см примеры 4 и 5, примеры б и ?) показывают, что существуют группы, отличающиеся природой своих элементов, но обладающие одинаковыми групповыми свойствами. Такие группы естественно назвать и з о и о р ф н ы м и. Сформулируем точное определение этого понятия. Определение 1. Две группы О, и О, называются из о м о р фи ы м и, если существует взаимно однозначное отображение 1 группы О, на группу О, такое, что для любых элементов а и Ь из О, выполняется условие 1 (аЬ) = 1 (а) 1 (Ь).
Заметим, что если е, — единица группы О,, а е, — единица группы О„то 1 (е,) = е,. Действительно, 1 (е,) = 1 (е,ех) = = 1 (е,) э' (е,) и умножение на элемент, обратный к 1 (е,), показы. вает, что е, = г (е1) $1) ПОНЯТИЕ ГРУППЫ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП хвб Отметим также, что обратное отображение / Т группы 6, на еруппу 6, длл любых элементов х и у из 6, удовлетворяет условию / т (ху) = / ~ (х) / ~ (у). Кроме того, для любого а из 6, из равенства е, =/(е,) = = / (аа ') = / (а) / (а ') следует, что обратным к элементу / (а) является элемент / (а '). 'Таким образом, изоморфные группы„рассматриваемые абстрактно, без указания природы их элементов, с точки зрения групповых свойств неразличимы.
3 а м е ч а и и е !. Обычно соответствие между изоморфными группами 6, и 6, называется изоморфизмом или изоморфным отображением одной группы на другую (конечио, при этом обе группы равноправны). 3 а м е ч а н и е 2. Изоморфиое отображение группы 6 на себя называется автоморфизмом. Автоморфизмы группы определенным образом характеризуют ее симметрию. Если отдельные автоморфизмы группы рассматривать как некоторые элементы, а последовательное проведение автоморфизмов — как произведение соответствующих элементов, то автоморфизмы сами образуют группу (единичным элементом будет тождественный автоморфизм).
Эта группа называется группой автоморфизмов данной группы. Легко убедиться, что группа автоморфизмов группы 2, (см. пример б предыдущего пункта) изоморфна этой же группе. Важную роль в теории групп играет понятие п о д г р у п п ы. Определение 2. Подмножество 6, влементов группы 6 называется подгруппой этой группы, если выполнены условия: 1) если элементы а и Ь принадлежат 6,, гпо и аЬ принадлежит 6„ 2) если элемент а принадлежит 6т, то и обратный элемент а ( также принадлежит 6п Подгруппа 6, группы 6, рассматриваемая как самостоятельное множество, в котором определена операция умножения по закону композиции из объемлющей группы 6, представляет собой группу. Проверка этого утверждения не представляет затруднений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
