Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Переставим у каждой координаты нижние индексы с номерами т и и и затем построим тензор А~, 1 с координатами Е~ зд (8.38) ') Непоиияи, что пря перестановке индексов у координат тензоря иы получаем коордиияты, вообще говоря, другого теняора, $ 3! МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР. ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ Е43 Операция построения тепзора А<,„> называется о п е р ацией симметрировани я тензора А по нижним индексам с номерами т и и.
Отметим, что координаты (8.38) теизора А>, „> обычно обозна. чаются символами А';;' „ !>т" >т) (8.39) Очевидно, для теизора А< „> выполняется условие симметрии (8.36) по нижним индексам с номерами т и л. Операция симметрироваиия тензора п о в е р х и и м и н д е кс а м с номерами >и и и определяется аналогично.
Построенный тензор обозначается символом А>т ">. Для координат тензора А!" "' используется обозначение, аналогичное обозначению (8.39) координат тензора А<т,,> О п е р а ц и я а л ь т е р и и р о в а н и я тензора А по нижним индексам с номерами т и п производится следующим образом. У каждой координаты тензора А переставляются нижние индексы с номерами т и и и затем строится тензор А>,,! с коор. динатами ! ( А...А Ф,.л Е ~ й'">и"'>р''лр >з' '>и" лт" лр) (8.40) Очевидно, для тензора А>,,! выполняется условие кососимметрии (8.37) по нижним индексам !' и 1„.
Операция альтернирования тензора и о в е р х н и м и и де кс а м >' и >„определяется аналогично. Построенный тензор обозначается символом А! ° "!. Для координат тензора А! ° "! используется обозначение, аналогичное обозначению (8.41) координат теизора А1,„!. В заключение отметим очевидное равенство А = А >т, р> + А[т.
л! ф 3. Метрический тензор. Основные операции векторной алгебры в теизорных обозначениях 1. Понятие метрического тензора в евклидовом пространстве. В $2 гл. 7 говорилось о том, что скалярное произведение в конечномерном линейном пространстве может быть задано с помощью Операция построения теизора А>, „! называется о и е р ац и е й а л ь т е р н и р о в а и и я тензора А по нижним индексам с номерами т и и.
Координаты (8.40) тензора А>„„! обычно обозначаются символами А>,'... Рт... >„1 . > Нр . (8.41) танзояы [гл. е 244 билинейной формы, полярной некоторой положительно определенной квадратичной форме. В этом параграфе мы будем считать, что в рассматриваемом конечномерном евклндовом пространстве Е" скалярное произведение задано такого типа билинейной формой А (х, у). В и 2 предыдущего параграфа (пример 3) мы убедились, что коэффициенты матрицы билинейной формы могут рассматриваться как координаты тензора Эти коэффициенты для билинеиной формы А (х, у), с помощью которой задается скалярное умножение в Е", мы обозначим через у„.
Таким образом, дн — координаты некоторого тензора 6 в базисе е„ем ..., е„, Этот тензор типа (2, О) называется м е т р и ч е с к и м т е н з о р о м пространства Е". Напомним, что координаты дм тензора 6 определяются соотно- шениями уы —— А(ео е,) (8.42) (см. формулу (8.23)). Заметим также, что так как форма А (х, у) симметрична (А (х, у) = А (у, х)), то, согласно (8.42), дм = ул, т.
е. метрический тензор 6 симметричен по нижним индексам ~' и /. Пусть х и у — произвольные векторы в Е", х' и у' — координаты этих векторов в базисе е„е„..., е„. Скалярное произведение (х, у) векторов х и у равно А (х, у). Обращаясь к выражению (8,24) для билинейной формы в данном базисе и используя равенство (х, у) = А (х, у), получим следующую формулу для скалярного произведения (х, у) векторов х и у: (х, в) уых'уй (8.43) В частности, скалярные произведения (ем ет) базисных векторов е; и е~ равны ды. (8.45) уи = А (ес е~) получим следующее выражение для (х, у); (8.4б) (х, у) = йнlх,у~ (е„ет) = ум (8.44) (это следует из равенства (е;, ег) = А (еп е~) и из формулы (8,42); впрочем, формулу (8.44) легко получить и непосредственно из (8,43)).
Рассмотрим теперь наряду с базисом е„ем ..., е„взаимный базис е', е', ..., е". Пусть х = х~е' н у =у;ег — разложения векторов х и у по векторам взаимного базиса Тогда для скалярного произведения (х, у) получим следующую формулу: (х, у) = А (х, у) = А (х,е', у,е~) = А (е', е~) х,ул Обозначая 4 З! МвтриЧесКий тензоя ОПЕРЛЦИИ В твИЗОрных оэознлчеИИях З4З Как и в п, 2 предыдущего параграфа (см. пример 3), легко убедиться, что у» представляют собой координаты тензора типа (О, 2) симметричного по индексам ( и /, Этот тензор типа (О, 2) также называется метрическим теизором пространства Е" Мы будем обозначать его тем же символом 6, что и введенный выше метрический тензор типа (2, 0): в следующем пункте мы выясним, что координаты уп и д'~ можно рассматривать как ковариаитные и контравариантные координаты одного и того же тензоРа В дальнейшем эти кооРдинаты д» и йи мы так и бУдем называть ковариантными и контравариаитными координатами геизора 6.
В конце и. 2 з 1 этой главы, исследуя вопрос о построении взаимных базисов, мы ввели величины яы и у'/ по формулам (8.10). Сравнивая этн формулы с формулами (8.42) и (8.45), мы приходим к выводу, что эти величины представляют собой ковариантные и контравариантные координаты метрииеского тензора О. В этом же п 2 у 1 мы доказали, что матрицы, элементами котоРых ЯвлнютсЯ кооРдинаты л» и 4('~, взаимно обРатные. Это означает, что справедливо соотношение и й'ж = 64. (8.47) Таким образом, координаты д'! тензора 6 могут быть построены по координатам яп и наоборот (для этого надо обратиться к известному способу построения элементов обратной матрицы).
2. Операция поднятия и опускания индексов с помощью метрического тензора. Метрический тензор О используется для о п ерации поднятия и опускания индексов у координат данного теизора А. Эта операция заключается в следующем. Ф,Ф, 4 Пусть А — тензор типа (р, д) с координатами А;...' '~4. Лля примера покажем, каким образом проводится операция поднятия индекса (,. Свернем тенэоры О и А по верхнему индексу ! у первого тензора и по нижнему индекусу (, у второго тензора, т, е. построим тензор с координатами д'"А„'»,' ',;4 н у координат полученного тензора индекс ( обозначим через 1,, Затем эти координаты обозна~141ьв ьч ч и м символами А ~,',.',,' ' . Таким образом, 8.48) 3 а м е ч а н и е 1.
Так как порядок расположения индексов у координат тензора определяет «нумерацию» его координат, то, вообще говоря„при поднятии индекса нужно отмечать место среди верхних индексов, на которое будет поднят данный нижний тянзопы [гл. в индекс. Иногда в ряду нижних индексов нужно отметить место поднимаемого нижнего индекса Это делается с помощью точки, которая ставится на место поднятого индекса. Поэтому координаты тензора в левой части (8.48) следовало бы записать следующим '~~А "е образом: А,, К примеру, если первый нижний индекс поднимается на второе место среди верхних индексов, то в результате мы получим тензор ~~'А ~а с координатами А~', ' ', 3 а м е ч а н н е 2. Операция опускания индекса с помощью метрического тензора 6 определяется анзлогично Например, координаты тензора, полученного путем опускания у тензора А индекса й, на последнее место в ряду нижних индексов, имеют следующий вид: А~ л ьг.
л,а Ап, с~а йь аА~ с~~ 3 а и е ч а н и е 3. Операцию поднятия нлн опускания индекса можно применять несколько раз, причем каждый раз по отношению к различным индексам данного тензора. Рассмотрим примеры поднятия и опускания индексов у тензоров Пусть х — вектор, х, и х' — соответственно его ковариантные н контраварнантные координаты (напомннм, что вектор представляет собой тензор ранга !).
Поднимем у координат х~ индекс 1 с помощью метрического тензора 6. В результате получим тензор с координатами д'"х . Так как х = (л, з ), то й'"х„=д'~(х, е„)=(х, д'"е ). Согласйо (8,11) ~"е„= в', а (л, е') = х'. Поэтому д'"х„= хй Таким образом, койтраварнантные координаты х' вектора х можно получить как результат операции поднятия индекса у ковариантных координат х, этого вектора. Коварнантные координаты х, могут быть получены как результат операции опускания индекса у контравариантных координат х' Выясним результат двукратного применения операции поднятия индекса у коварнантных координат дп метрического тензора 6 с помощью контраварнантных координат д'! этого же тензора. Иными словами, выясним, что представляет собой тензор с координатами йс йгз, (8.
49) Используя снмметрню тензора 6 по нижним индексам и соотношение (8.47), найдем д(з(7 з = д~зпз б~ . Подставляя найденное выражение для йвчай в в (8.49) и используя свойства символа Кронекера б„', получим й у г ай в я $ з! мвтеичискии танзоя. опвелции в твнзоеных овознлчвниях зат Совершенно аналогично можно убедиться в справедливости ра- венства Известно, что с помощью преобразования базиса матрицу билинейной формы д!!х!у! можно привести к диагональному виду. При этом, в силу положительной определенности матрицы, после приведения матрицы (и!!) к диагональному виду координаты метрического тензора будут равны нулю при !' ~ 1' и единице при !' = !'.
Обозначая эти координаты прежним символом и!и получим ~ 0 при !~у, ) 1 при !=/. (8.50) Базис вм в котором координаты л!! метрического тензора удовлетворяют условию (8.50), является ортонормированным Действительно, так как (ео в,) = дц (см. (8 44)), то согласно (8.50), 0 при !'~ 1', (Еь Е,) 1 при !=1, а это и означает, что и! — ортонормированный базис. В гл.
4 мы выяснили, что в ортонормированном базисе скалярное произведение (х, у) векторов х и у с координатами х' и у! может быть вычислено по формуле (8.51) а квадрат длины (х, х) вектора х — по формуле (8.52) Обратимся к так называемым о р и! о г о и а л ь и и м линейным преобразованиям, т. е. к таким линейным преобразованиям, К!аа!!аЯ = Ко Последние две формулы еще раз подчеркивают, что д!! и и!! естественно рассматривать как ковариантные и контравариантные координаты метрического тензора 6, 3. Ортонормированные базисы в Е". Мы уже выяснили, что скалярное произведение (х, у) в Е" может быть задано с помощью метрического тензора О, координаты и!, которого представляют собой элементы симметричной положительно определенной матрицы (и!!). Именно, согласно (8.43), (» у) =й!гт'у!.
теизоэы сгл. э при которых ортонормированный базис переходит в ортонормированный. Иными словами, если Š— ортогональное преобразование и е, — ортонормироваиный базис, то Ее, также образует ортонормированный базис Исследуем действие преобразования Е на произвольный вектор х = х'е;. Обозначим через Х результат действия Е на х Х=Ех Используя свойство линейности Е, найдем Х = Гл'е, кЧ.е, Так как Ее, — базис, то из последнего соотношения вытекает, что вектор Х имеет в базисе Ее; такие же координаты, как и вектор х в базисе ео т. е.
при ортогональном преобразовании сохраняют свое значение координаты вектора. Поскольку Ее, — ортонормированный базис, то скалярное произведение (Х, У) векторов Х = Ех и У = Еу может быть найдено по формуле (8.5!), а квадрат длины (Х, Х) вектора Х = Ех — по формуле (8.52). Мы выяснили, что при ортогональных преобразованиях сохраняют свое значение координаты векторов. Отсюда и из соотношений (8.5!) н (8.52) получаем (Х, г ) = (х, у), (Х, Х) = (х, х). Таким образом, при ортогонольных преобразованиях не меняются длины векторов и их скалярные произведения.
Как известно, ортогональные преобразования Е могут быть заданы с помощью ортогональной матрицы. Определитель бе! Е такой матрицы удовлетворяет условию г(е! Е = ч-!. Выберем один из ортонормированных базисов и договоримся называть этот базис правым. В этом случае будем говорить, что евклидово пространство Е" ориентировано. Все базисы в Е", получающиеся из данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным + (, назовем правыми, а все базисы, которые получаются из данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным †), — левыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
