Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Геометрическое месго таких плоскостеи образует поверхность 5 Таким образом, поверхность 5 представ ляет собой центральный цилиндр с направляющей поверхностью 5', определяемой уравнением (7.1!!), и образующими плоскостями, параллельными плоскости 3'. р ~ О, р = гана А < и — 1. Поступая так же, как и в случае 1', мы приведем каноническое уравнение (7.109) к виду Х~х! + ° + ) гх~~ + 2р»„= О. Очевидно, в подпространстве, представляющем собой линейную оболочку векторов е(, ..., е,', е„', уравнение (7.1!2) опреде лает параболоид 5' (см.
случай 1'). Чтобы получить представление о строении гиперповерхности 5 во всем пространстве, нужно в каждой точке 5' поместить плоскость, параллельн)ю плоскости !г" (линейная оболочка векторов е,'и. .., е,' ~). Геометрическое место таких плоскостей образует поверхность 5 Таким образом, поверхность 5 представляет собой п а р а б о л о и д а л ь н ы й ц и л и н д р с направляющей поверхностью 5', определяемой уравнением (7.1!2), и образующими плоскостями, параллельными плоскости ГЛАВА а ТЕНЗОРЫ В этой главе рассматриваются важные объекты, называемые т е н з о р а м и и характеризующиеся в каждом базисе совокупностью координат, специальным образом преобразующихся при переходе от одного базиса к другому, Тензоры широко используются в геометрии, физике и механике Понятие тензора возни.
кает при изучении различных анизотропных явлений (например, при изучении распределения скоростей распространения света в кристалле в зависимости от направления его распространения) й 1. Преобразование базисов и координат В данном параграфе, носящем вспомогательный характер, мы рассмотрим законы преобразования координат в произвольном вещественном евклидовом пространстве Е" Возникающие при этом наводящие соображения делают более прозрачным понятие тензора, вводимого в следующем параграфе.
1. Определители Грама*). В этом пункте мы укажем способ, с помощью которого можно выяснить вопрос о линейной зависимости системы векторов е,, е„., еа в евклидовом пространстве, Введем для этого так называемый определитель Грама указанной системы векторов. О п р е д е л и т е л е м Г р а м а системы векторов е„ е„ ... , еа называется следующий определитель: (ег е1) (вг ва) (вь еа) (еа, ег) (еа еа) ... (е,, вь) (8.1) (ед.
ег) (еа, ет) ... (ем ва) Справедливо утверждение Теорема 8.У. Для того чтобы система векторов е„е„..., еа евклидова нространстеа Е" была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грома (8.1) втой системы был оаеен нулю. Доказательство. !) Необходимость. Пусть зекторы е„е,, еа линейно зависимы Тогда один из них, ') Иоргеи Гран ()850 — (916) — датский математик. $13 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ например е„, является линейной комбинацией остальных. ег =а,е, +а,е, + +а„,е„,.
Умножая написанное соотношение скалярно на ен г' = 1, 2, ... ..., й, мы получим, что последняя строка определителя Грама (8.1) является линейной комбинацией первых я — 1 строк. По теореме 1.7 этот определитель равен нулю Необходимость условия дока. вана. 2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что определитель Грама (8.1) равен нулю. Тогда его столбцы линейно зависимы, т.
е. существуют не все равные нулю числа р,, р„..., рь такие, что для г = 1, 2, ..., й выполняются соотношения р, (е,, е,) + рг (е,, е,) + ° ° ° + рг (е„е,) = О. Переписывая эти соотношения а виде (е„))гег+ ргег+ ' ' ° + ргег) = О, 1= 1, 2, ..., й, убеждаемся, что вектор ргег + 1)ге + + ()гег ортогонален всем векторам е„е„..., ег, т. е. ортогонален линейной оболочке Ь этнх векторов. Так как этот вектор принадлежит Е, то он равен нулю.
Поскольку не все Цт равны нулю, то это означает, что векторы е,, е,, ..., ег линейно зависимы. Теорема доказана. Следствие. Если векторы е„е„..., ег линейно независимы, то определитель Грома этих векторов отличен от нуля. Докажем, что в указанном случае определитель Грама п о л аж и т е л е н.
Пусть Š— линейная оболочка векторов е„е„... ..., ЕА. Очевидно, Е„Е„..., ЕА — базис в Е. Рассмотрим билинейную симметричную форму А (х, у), представляющую собой скалярное произведение (х, у): А (х, у) = (х, у). Соответствующая квадратичная форма А (х, х) = (х, х) будет, очевидно, знакоопределенной, и поэтому, согласно теореме 7.6 (критерию Сильвестра), определитель йе1 (аы) ее матрицы (а„) в базисе е„е„..., ег положителен. Но этот определитель н представляет собой определитель Грама (8.1) системы е„ е„ , ег, ибо а„. = (е„ е,). 2. Взаимные базисы. Коварнантные н контравариантные координаты векторов.
Пусть е,, е,, ..., е„ вЂ” базис в евклидовом пространстве Е~. Базис е', е', ..., е" называется в з а н м н ы м для базиса ен ( = 1, 2, , и, если выполняются соотношения при ' 1 (е,, е9=6,'=1 (8.2) 1 О прн 1~/ при(,1=1, 2, ...,и. Символ 6~~ называется символом Кронекера. Возникает вопрос о существовании и единственности взаимного базиса. Ответ на этот вопрос утвердительный: для любого данного базиса е„е„..., е„сущеппвует единственный взаимный Ггл. в 230 твнзояы базис.
Для доказательства поступим следующим образом. Пусть х(, х~, ..., х,' — координаты искомых векторов е' в базисе е~.' е'=х(е,+хне,+ +х„'е„, 1=1,2, ..., л (8.3) Умножая сналярно обе части последних равенств на е„получим, используя (8.2), х = х,е' + х,е' + ° ° ° + х„е", д = х'е, + к'е, + ° ° ° + к"е„. (8.5) х( (еь е,) + х~ (е,, ез) + ° + х„' (еь е„) = Й, (8.4) Г,!=1, 2...
л Соотношения (8 4) прн фиксированном 1 можно рассматривать как квадратную систему линейных уравнений относительно неизвестных координат х(, хь ..., х„' вектора е' в базисе е;. Так как определитель системы (8.4) представляет собой определитель Грама базисных векторов е„е,, ..., е„, он, согласно следствию из теоремы 8.1, отличен от нуля, и поэтому система (8.4) имеет единственное решение х(, х~, ..., х„', которое будет ненулевым, поскольку эта система неоднородная.
Затем с помощью соотно. шений (8.3) строятся векторы е', которые, очевидно, удовлетворяют соотношениям (8.2). Мы должны еще убедиться, что векторы е', е', ..., е" образуют базис Пусть некоторая линейная комбинация этих векторов равна нулю а,е' + а,е' + + а„е" = О. Умножая скалярно последнее равенство последовательно на е„ е„ ..., е„ и используя (8.2), получим а, = О, а, = О, ...
..., а„ = О. Следовательно, векторы е', е', , е" линейно независимы, т. е. образуют базис. Итак, взаимный базис е' и для базиса е; существует и определяется единственным образом. 3 а м е ч а н и е 1. В силу симметрии соотношений (8,2) относительно е, и е', взаимным базисом для базиса е~ будет базис еь Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о взаимных базисах еь е'. 3 а м е ч а н и е 2, Если базис е„е„..., е„ортонормированный, то взаимный базис е' совпадает с данным базисом. Действительно, полагая в этом случае е' = е;, мы убедимся, что соотношения (8.2) выполняются.
Используя свойство единственности взаимного базиса, мы убедимся в справедливости замечания. Пусть е;, е' — взаимные базисы, а х — произвольный вектор пространства. Разлагая вектор х по базисным векторам е~ и е', получим ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ гз) Координаты (х„х„..., х„) вектора х в базисе е> называются к о в а р и а н т н ы м и к о о о р д и н а т а м и вектора х, а а координаты (х',хВ, ..., х") этого вектора в базисе е, называются к о н т р а в а р и а н т н ы м и к о о р д и н а т а м и вектора х. Зти наименования будут разъяснены в следующем пункте. Для сокращения записи формул, в которых фигурируют однотипные слагаемые (примерамн таких формул могут служить соотношения (8.5)), мы будем пользоваться в дальнейшем соглашением о суммировании.
Зто соглашение заключается в следующем. Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей, которые снабжены конечным числом индексов, часть из которых нижние, а другая часть — верхние. При этом договариваются все нижние индексы обозначать различными символами Верхние индексы также договариваются обозначать различными символами. Если в этом выражении встречаются два одинаковых индекса, из которых один верхний, а другой нижний, то считают, что по этим индексам производится суммирование, т.
е. индексам последовательно даются значения !, 2, ..., и, а затем складываются полученные слагаемые. Например, х,е) = х,е' + х,е'+ ° ° + х„е", б', = б', + бз ~+ ° ° + б„", д)>х)х> = (а,>х)х>) + (й,>хтх>) + ° ° ° + (6„>х"х>) = (дихтх' + д'„х'ХА + ° + д „х'х") + + (Бмх х + Бмх х" + + Щдх х") + + (а,пх"х'+ апАХ"х'+ ° ° + уках"х"), С помощью соглашения о суммировании формулы (8.5) записываются следующим компактным образом: х = х,е', х = х'е; (8.6) 3 а м е ч а и и е 3.
Верхние и нижние одинаковые индексы, О которых говорилось в соглашении о суммировании, обычно называются индексами суммирования, Ясно, что индексы суммирования могут обозначаться любыми одинаковыми символами. При этом не изменится выражение, в которых они фигурируют. Например, х;е) и х,е> представляют собой одно и то же выражение. Получим теперь явное выражение для коаариантных и контра- вариантных координат вектора х.
Для этого умножим скалярно первое из равенств (8.6) на е>, а второе на е' Учитывая затем соотношения (8.2), найдем (х, е,) = х, (е', е>) = х,б,' = хл (х, е') = х' (е,, е') = х'6> = х'. Итак, (8.7) х> —— (х, е;), х> (х, е>). тензоеы 1гл. в С помощью соотношений (8.?) запишем формулы (8.6) в следующем виде: к=(е, е,)е', .е=(т, е')е, (8.8) Соотношения (8.8) называются ф о р м у л а м и Г и б б с а е). Обратимся еще раз к вопросу о построении взаимных базисов. С помощью формул (8.8) имеем в'=(е', е1)ая е,=(е„а,)еп (8.9) Введем обозначения ЛЫ вЂ” — (Ви Е,), й'1= (а', Е!). (8,10) С помощью этих обозначений перепишем соотношения (8.9) следующим образом: в' =диел е, =йыег (8.11) Итак, для построения базиса а' по базису а, достаточно знать матрицу (я" в), а для построения базиса а, по базису е' достаточно знать матрицу (аы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
