Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Докажем, что указанные матрицы взаимно обратны Отметим, что так как элементы обратной матрицы могут быть вычислены через элементы данной матрицы, то ясно, что с помощью соотношений (8.1!) решается вопрос о построении взаимных базисов Итак, установим, что матрицы (йи) и (дм) взаимно обратны.
Умножая первое из равенств (8.11) скалярно на ев, получим (а', ев) =йи (ен ев). Из этого соотношения, учитывая (8.2) и (8.10), найдем ( 1 при в=й, ), 0 при (чай, Таким образом, произведение матриц (йи) и (дм) представляет собой единичную матрицу Следовательно, матрицы (до) и (аы) взаимно обратны. 3. Преобразования базиса и координат. Г!усть а, и е' — заданные взаимные базисы, а ев и а' — некоторые новые взаимные базисы, элементы которых мы обозначим штрихованными индексами. Фактически это означает, что мы вводим новый натуральный ряд 1', 2', 3', .
и считаем, что индекс У принимает значения 1', 2', , и'. Таким образом, индексы 1 и У независимо принимают различнмс значения: 1=1, 2, ..., и, У =1', 2',..., и'. Используя введенное в предыдущем пункте соглашение о суммировании, запишем формулы преобразования базисных векторов. В результате получим: е) Д. У Гиббс (1839 — 1903) — вмернкакскка физик-теоретик $ с! певовелзовлниа влзисов и кооедиилт 233 1) формулы перехода от старого базиса е, к новому базису ес и формулы обратного перехода е, =Ьс ес,ес = Ь,',ес, с=1,2, ..., п, У !',2', ..., и', (8.12) 2) формулы перехода от старого базиса е' к новому е" и формулы обратного перехода е' = Б,' е', ес = Б', е', с = 1, 2, ..., и, с' = 1', 2', ..., и' (8.13) Так как преобразования (8.12) (равно как и преобразования (8.13)) взаимно обратны, то матрицы (Ь,'.) и (Ь,' ) (равно как и матрицы (Б,'.) и (Бс )) взаимно обратны Докажем, что матрицы (Ьс ) (Бс-) тождественны.
Тем самым с с будет доказана тождественность н матриц (Ь,') и (Бс ) Для доказательства умножим скалярно первое из равенств (8 12) иа ел, а второе из равенств (8131 — на ел Учитывая соотношения (8.2), получим (е, е') = Ьс (ес, е') = Ьс бс Ьс„ (е', еи) = Бс (е', ел.) = Бсс блс. = Блс" Из этих соотношений при Ь = с, А' = с' получим Ьс.=(ес., е ), (8.14) Бс ( с) (8.161 Поскольку правые части соотношений (8.14) и (8.16) равны, то равны и левые части Иными словами, Ь,' = Б,', а это и означает тождественность матриц (Ьс с) и (Бс ) Отметим, что элементы Ь,'.
матрицы (Ьс с) могут быть вычислены по формулам (8!4). Итак, справедливо утверждение: Для перехода от базиса ес, е' к базису ен, е' достаточно знать лишь матрицу (Ьс.) перехода от базиса е; к базису ен (матрица (Ь,") вычисляется по матрице (Ьс )). Приведем полную сводку формул преобразований базисных векторов: !' ес =Ьс е„е, = Ьс е;, ) с ос с с с. !8.16) е Ьсе, е =Ьсе .~ Перейдем к выводу формул преобразования координат вектора х при переходе к новому базису Пусть хс — ковариантные координаты х в базисе е... е'. Тогда, согласно (8.7), имеем х, = (х е, ). Подставляя в правую часть этого соотношения выражение для е, из формул (8.16), найдем хг = (х, Ьс е,) = Ь,' (х, е;) = Ь', х.
игл. а тензоры 234 Мы приходим к следующему выводу: формула преобразования «овариантных координат вектора х при переходе к новому базису имеют вид хи = Ьт ~х,. (8.17) Следовательно, при переходе к новому базису ковариантные координаты вектора х преобразуются с помощью матрицы (Ь',.) прямого перехода от старого базиса к новому. Это согласование преобразований и объясняет наименование ковариантные ') координаты вектора. Рассмотрим теперь преобразование контраварнантных координат вектора х Подставляя в правую часть соотношения х' = (х, е') выражение для е" из формул (8.16), получим после преобразований х Ь|х.
и (8.18) Мы видим, что при переходе к новому базису контравариантные координаты вектора х преобразуются с помощью матрицы Я ) обратного перехода от нового базиса к старому. Это несогласование преобразований и объясняет термин контравариантные **) координаты вектора, $ 2. Понятие тензора. Основные операции над тензорами » ° » Ф 1»»» ° ° » А!,Р=Ь !...Ь ГЬ '...Ь »А ' з» 1 а ю а ю а (8.19) в которых М вЂ” элементы матрицы (Ь~ ) перехода от базиса е » к базису ео, а Ь» — влементы матрицы обратного перехода оте, ке;.
') Коварнантный — согласованно изменяющийся. ") Контраварнантнмй — противоположно изменяющийся. 1. Понятие тензора. В этом параграфе мы рассматриваем произвольное (не обязательно евклидова) вещественное и-мерное линейное пространство 1.". Определение. Т е н з о р о м А типа (р, у) (р раз ковариантным и у раз контравариантным) называется геометрический объект, который !) в каждом базисе е, линейного пространства 7." опреде»,.
» ляется и» ~ координатами Ац ' л (индексы 1„..., йр, й„..., йа независимо принимают значения 1, 2, ..., и, 2) обладает тем свойством, чтоегокоординатыА 1 1вбоэисее~ связаны с коорди»» натами А,, ~' в базисе е, соотноитениями о'' р з в! понятия танзоей. основныв опаехции ! 8 "ЬР (8.20) После сделанных замечаний убедимся в корректности определения тензора Пусть А,',», А !,», А,',~ — координаты тен- Р зара А в базисах ей, е~ и е,* соответственно. По формулам (8.!9), переходя последовательно от е~ к е,, а затем к еа получим А,,',» = Ь ...Ь 8Ь ' ° Ь»А ' й "й» ~ й й й ° й к'" ю' р' ' ' р й ' ' ' й„ю . н ' Р » (8.21) Р Р ю » ю (8.22) Число г = р + а называется р а н г о м тензора.
3 а м е ч а н и е 1. Формулы (8.19) называют формулами преобразования координат тензора при преобразовании ба. зиса. Отметим, что ковариантные н контравариантные координаты вектора преобразуются по формулам (8.19) (при р = ! и а = О в первом случае и при р = 0 и д = 1 во втором, см. п. 3 9 1 этой главы), Поэтому вектор представляет собой'тензор ранга ! (! раз ковариантный, либо ! раз контравариантный — в зависимости от выбора типа координат этого вектора). Отметим, что рассматривают также тензоры ранга О. Это тензоры, имеющие лишь одну координату, причем эта координата не снабжена индексами и имеет одно н то же значение во всех системах координат Тензоры ранга 0 обычно' называются и и в а р и а нтами, 3 а м е ч а н и е 2.
Индексы 1„..., 1, называются ковариантными, а Ь„..., Ь вЂ” контравариантными. Наименование объясняется тем, что по каждому нз упомянутых индексов преобразование координат тензора производится в полной аналогии с преобразованиями ковариантных н контравариантных координат вектора (см формулы (8.17) н (8.!8)). Для того чтобы определение тензора было корректным, нужно убедиться, что последовательные переходы от базиса е~ к базису еи, а затем от базиса е; к базису е,.
приводят к такому же преобразованию координат тензора, что и при непосредственном переходе оте, ке,. Пусть (Ь',.), (Ь,'-) и (Ь~") — соответственно матрицы перехода от базиса ес к базису е,, от базиса е, к еа и от базиса е, к е;. Так как при последовательных переходах матрицы преобразований перемножаются, то очевидны соотношения ггл в твнзовы Подставляя в правую часть (8.22) выражения координат АЛ ' из (8,21) и учитывая соотношения (8,20), получим А",. ",.У= Ь,'Ь'..... Ь,'-'Ь,", Ь',;Ь' ...
с Ф ь 1 ь ь е ! Ф Ф ь я Ь УЬ ') А.' '=Ь-'...Ь'Ь '.. Ь 'А.' .'р. а Р 1 Таким образом, последовательные переходы от базиса е, к базису е~, а затем к базису еп приводят к такому же преобразованию координат тензора, как и при непосредственном переходе от и, к еп. Корректность определения тензора установлена 3 а м е ч а н и е 3.
Любая система и 'ы чисел А,,' ,~ может рассматриваться в данном базисе е~ как координаты некоторого тензора А типа (р, д) Чтобы убедиться в этом, определим в произвольном базисе е; с помощью формул (8.19) систему чисел А ' т, которые будем рассматривать как координаты исиомого с' г" тензора А в базисе е~ .
Очевидно, при переходе от базиса е~ к базису ег эти координаты преобразуются по формулам (8 19) Как и выше, легко убедиться, что последовательные переходы от базиса е~ к базису еп, а затем к базису ек приводят к такому же преобразованию полученных координат, как и при непосредственя ь ном переходе от еч к ем. Следовательно система чисел А; '1 Р действительно представляет собой координаты некоторого тензора А типа (Р, ч) 2. Примеры тензоров. 1' Н у л ь - т е н з о р. Среди тензоров типа (р, д) следует выделить так называемый нуль-тензор. Это тензор, координаты которого в любом базисе равны нулю, Очевидно, соотноиения (8.19) выполняются. Отметим, что если координаты тензора А равны нулю в каком-либо базисе, то, согласно (8 19), они равны нулю в любом базисе, и, следовательно, А — нуль-тензор. 2'.
С и м в о л К р о н е к е р а. Убедимся, что тензор А типа (1, 1), имеющий в базисе е; координаты б";, будет иметь в базисе ви координаты 6";- Итак, пусть А — тензор, имеющий в данном базисе е, координаты б~ Для того чтобы найти координаты этого тензора в базисе еи, надо воспользоваться формулами (8.19), т. е, координаты тензора А в базисе ег равны Ь„ Ьпб, Используя свойства символа ь ~ ь Кронекера, получим Ь~ьЬрб» =Ььь Ь~р = бс~" з з1 понятии твнзоил. основнь>в опиилпнн над тинзогс>ми ээт Итак, в новом базисе ег координаты тензора А действительно равны б~с . Поэтому символ Кронекера можно рассматривать как тензор типа (1, 1). 3', Пусть А (х, у) — билинейная форма, заданная в конечно- мерном евклидовом пространстве Е", а е>, е,, ..., е„— какой-либо базис в этом пространстве. Тогда векторы х и у могут быть представлены в виде х = х'е„у = у'ес. Используя линейное свойство формы А (х, у) по каждому аргументу, мы можем записать А (х, у) = А (х'е„, усе>) = А (ес, ес) к>ус.
Обозначим А (еп е;) через ац. ац —— А (е„ес). (8. 23) Тогда форма А (х, у) может быть записана следующим образом: (8.24) А(х, у) = ассхсус. Убедимся, что коэффициенты ац матрицы формы А (х, у) при переходе к новому базису преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (2, О), т. е. представляют собой теизор типа (2, О), Рассмотрим произвольный базис е>-, ем, ..., е . Запишем в этом базисе форму А (х, у) в виде (8.24) А (х, у) = а,ц х"уп причем асс -А(ес, ес). (8.25 ) Перейдем от базиса е>, ем ..., е, к новому базису е>., ее, ..., е„ Обозначая матрицу перехода от базиса ес к базису ес через Ь,'.
получим еп = Ьс.еп ес = Ьс ес. с с Подставляя эти выражения для ес и ес в правую часть (8.25) и используя линейное свойство формы А (х, у) по каждому аргументу, найдем а, с = А (Ьсс.е„Ьс ес) = Ьс Ь( А (ес, е,)- Согласно формуле (8.23) последнее соотношение можно переписать в виде ас-с. = Ьс Ь)-ассс ° с Следовательно коэффициенты ац матрицы билинейной формы преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (2, О) и поэтому могут рассматриваться как координаты тензора такого типа. 4'. Каждому линейному оператору, заданному в конечномерном евклидовом пространстве Е" и действующему в то же про. страиство, можно поставить в соответствие некоторый тензор типа (1, !), причем этот тензор будет вполне определять указанный оператор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
