Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(7.78) Запишем полученные формулы в координатах. Пусть координаты точек х' их равны соответственно х!, хз, ... ..., х„' и х!, хм ..., хл. Так как прн параллельном переносе базис «е„«не меняется, то квадратичная форма А (х', х') запишется следующим образом: л А(х, х) = Е а„х,х„' Г, ь-! (7.79) (отметим, что коэффициенты ам = А (еп е„) не меняются, так как не меняются базисные векторы еь).
Следовательно, мы можем сделать важный вывод. При Парал- лельном переносе ерупна старших членов сохраняет свой вид. Займемся теперь формулами (7.77) и (7.78). Так как л 7 л А(х', х) Е ~~; а!Ах; хь, А=! у=! В(х') = ~ Ь„х~, Ф 1 л А(х, х) = Е а!Ах!хм Г,А ! л В(х) ЕЬ', ь=! то формула (7.77) примет вид л л Г л В'(х) = 2.', Ь;х,'= ~'„~ ~ а!Ах!+ Ь, хь, (7.80) А ! ь ! !' ! а формула (7.78) запишется следующим образом: с'= Е аых; хе+ 2 ~ Ььхь+с. н Ф ! А ! (7.8!) где линейная форма В' (х') и постоянное число с' определяются соотношениями 2И внлинвнныв и квддвдтичныв еоэмы ~гл.
г Таким образом, уравнение (7.76) в координатах будет иметь следующий вид: п и а,дх,'х»»- 2 2' ,Ь„х„+ с = О. (7.82) /, »=! »=! Нам понадобится несколько иное, чем (7.81), выражение для с'. Запишем (7.8!) в следующей форме: а г л !! с' = Е ~ ~~ а/дх + Ьд~ хд + ~ Ьдхд+ с. (7.83) д=! !=! »=! Учитывая, что коэффициенты Ь» выражаются, как это следует из (7,80), по формулам Ь» = ~~ ~а,»х, + Ь, (7.84) мы получим из (7.83) нужное нам выражение для с'.
с'= ~ (Ь»-»-Ьд)х»+с, д=! (7 85) 4. Преобразование общего уравнения гиперповерхностн второго порядка при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированиому. Пусть ортонормированный базис »ед» преобразуется в новый ортонормированный базис »е»» по формулам (7.70) и Р— ортогональная матрица этого преобразования (см.
(7.7!)). Тогда, согласно замечанию в п. 2 этого параграфа, координаты хд и х» точки в базисах»е»» и»ед» связаны соотношениями (7.75). Подставляя выражение для хд иэ (7.75) в левую часть уравнения (7.66) н учитывая, что вследствие однородности соотношений (?,75) группа старших членов и линейная часть уравнения (7.66) преобразуются автономно, получим следующее выражение для общего уравнения гиперповерхности второго порядка в координатах х» точек в преобразованном базисе»е»»: л П а,'дх',хд+ 2 ~ Ь„'хд+с О, (7.86) /, »=! д ! а/»х,.'х» = ~' а/дх/хд, /, »-! ' /.
»-! д д ~„ 'Ь„'х„' = Я Ь„х, »-1 »=! с' с. (7.87) Согласно отмеченной выше автономности преобразования группы старших членов, справедливы равенства ГипеРпОВеРхности ВТОРОГО порядка Обращаясь к первой из формул (7.87), мы видим, что для определения коэффициентов а,'а можно воспользоваться правилом преобразования коэффициентов квадратичной формы при переходе к новому базису. Именно, если обозначим буквой А' матрицу ква.
дратичной формы А (х, х) в базисе (еа~), то, согласно теореме 7.2 н соотношению Р' = Р ', получим следующую связь между матрицами А и А' формы А (х, х) в базисах (еа) и !ее): А' =Р'АР (7.88) (напомним, что Р— матрица ортогонального преобразования). Будем рассматривать теперь матрицу А' как матрицу некоторого линейного оператора А в базисе (еа) е), а матрицу Р ' как матрицу перехода от базиса (еа) к базису (е„). Тогда, согласно теореме 5.7 (см. п.
2 р 2 гл. 5) матрицу А можно рассматривать как матрицу этого линейного оператора А в базисе (е„). Иными словами, матрица квадритичной формы при преобразовании ортонормированного базиса в ортонормированной изменяется как матрица некоторого линейного оператора. Этот вывод мы используем в следующем пункте. 3 а м е ч а н и е.
Отметим, что оператор А, матрица которого в ортонормированном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы А (х, х), самосопряженный. Для доказательства проведем следующие рассуждения. Пусть А (х, х) — квадратичная форма и А (х, у) — симметричная билинейная форма, полярная форме А (х, х). Согласно теореме 7.8 билинейная форма А (х, у) может быть представлена в виде А(х, у) =(Ах, у), где А — самосопряженный оператор. Поэтому квадратичная форма А (х, х) может быть представлена в виде А(х, х) =(Ах, х). Докажем, что в ортонормированном базисе (ва'1 матрицы оператора А и квадратичной формы совпадают. Этим будет доказано утверждение замечания.
Пусть а>а — элементы матрицы формы А (х, х) и аул — элементы матрицы оператора А в базисе (еа'1. Согласно п. 2 5 1 этой главы ата = А (еь ел), а элементы а)а, согласно п. 1 5 2 гл. 5, формуле (5.13), могут быть найдены из равенств Ав, ~ а,„е . р ! ') Согласно теореме 5.5 (см. п, 1 $ 2 гл. 5) любая квадратная матрица ив и строк и и столбцов может рассматриватьси как матрица некоторого линейного оператора, действующего в л-мерном пространстве. з|в ЬИЛИНЕИИЫЕ И КВАДРАТИЧИЪ|Е ФОРМЫ [Гл, г Умножим обе части последнего соотношения скалярно на е„. Тогда, учитывая ортонормнрованность базиса «е»«, получим (Аен е,) =ам. Так как А (ен е,) =(Аен е,), то ал» =ам.
Утверждение замечания доказано. 5. Инварнанты общего уравнения гнперповерхностн второго порядка. Назовем и н в а р н а н т о м общего уравнения (7.62) (или (7.66)) гнперповерхности второго порядка относительно параллельных переносов и преобразований ортогональных базисов в ортогональные такую функцию г (ам, агм ..., а„„, Ь„..., Ь„, с) коэффициентов этого уравнения, значение которой не меняется прн укаэанных преобразованиях пространства. Докажем следующее утверждение| Теорема 7.11. Инвариантами общего уравнения (7.62) (или (7.66)) гиперповерхности второго порядка являются коэффициенты характеристического многочлена матрицы А квадратичной формы А (х,х) и определитель бе1 В матрицы В в соотношении (7.6?). В частности, инвариантами яавяются де1 А и след а„+ а„+ °" ° + а„„матрицы А. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Очевидно, инвариантность перечисленных в условии теоремы величин достаточно доказать отдельно для параллельного переноса н преобразования ортонормированного базиса в ортонормнрованный. Рассмотрим сначала параллельный перенос. В п. 3 этого параграфа мы установили, что при этом преобразовании группа старших членов сохраняет свой вид (см. формулу (7.79)).
Поэтому не меняется матрица А, а следовательно, и характеристический многочлен этой матрицы. Докажем ннвариантность бИ В. Прн параллельном переносе (?.68) (или (7.69)) матрица преобразуется в матрицу В', определитель которой, согласно (7.82), имеет внд ац .. в1Л Ь1 (7.89) ое1В' = ь, '... ь„' с где величины Ь» и с' определяются по формулам (7.84) н (7.86). Вычтем нз элементов последней (и + Ц-й строки определителя а (7.89) элементы первой строки, умноженные на х„затем элементы второй строки, умноженные на х„н т.
д., наконец, элементы и-й строкн, умноженные на х,. Так как прн таких преобразованнях определитель не меняется, то, Используя (7.84) и (7.85), получнм 219 ГипеРпОвеРхностн ВГОРОГО пОРядкА $71 соотношение ап ... а!„ь! чы ... Р„„ь„ (7.90) л Ь„~~ ЬАА+ х=! ь! где х„„- 1. Рассмотрим преобразование переменных х„х„..., х„, х +, в переменные х!, х7, ..., х,', х'+!, при котором первые и переменных преобразуются по формулам (7.75), а переменная х„+, преобразуется по формуле х, ! = х„',!. Вычтем теперь из элементов последнего (и+ 1)-го столбца определителя (7.90) элементы первого столбца, умноженные на хм е затем элементы второго столбца, умноженные на х„и т.
д., наконец, элементы и-го столбца, умноженные на х„. Так как при таких преобразованиях определитель не меняется, то, используя соотношение ам = ахи вытекающее из симметричности формы А (х, у), и формулу (7 84), мы получим в результате де1 В. Итак„ равенство де1 В' = бе1 В доказано.
Следовательно, бе( В инвариантен относительно параллельных переносов. Рассмотрим теперь преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный. Во-первых, убедимся, что коэффициенты-характеристического многочлена матрицы А квадратичной формы являются инвариан. тами рассматриваемого преобразования. В предыдущем пункте мы установяли, что при переходе к новому ортонормированному базису матрица А изменяется как матрица некоторого линейного оператора. Но в таком случае, как следует из замечания 1 п.
3, $2, гл. 5, коэффициенты характеристического многочлена этой матрицы не меняются при переходе к другому базису. В частности, определитель де1 А и след а„ + а„ -1- ° ° -1- а„„ матрицы А, как коэффициенты характеристического многочлена, являются инвариантами. Нам останется доказать инвариантность определителя де1 В при преобразовании ортонормированного базиса в ортонориированный. Приступим к этому доказательству. Применим следующий прием.
Введем обозначения Ь, = аА,„„, й = 1, 2, ..., п, е = а„„,„„. Тогда уравнение (7.66) гиперповерхности можно записать следующим образом: и+! а7ьх7хь О, (7.91) /, А 1 БЗО ВилннвйиыБ и квадяатичныв ФОРмы [ГЛ. 7 Ясно, что это преобразование переменных можно рассматривать как преобразование координат при преобразовании ортонормированного базиса е,, е», . „е„, е„„(л+ 1)-мерного евкли. дова пространства, причем матрица Р этого преобразования имеет вид Ри ° ° ° Рпр Ргп ° ° ° Рпп О О ... О ! (?.92) Легко видеть, что матрица Р удовлетворяет условию Р' = Р-' и поэтому является ортогональной. Но тогда, согласно п. 2 этого параграфа, ортонормированный базис е„е„..„е„, е„„преобазуется с помощью матрицы Р в ортонормированный базис.
ыше было выяснено, что при таком преобразовании матрицы В квадратичной формы определитель бе1 В этой матрицы представляет собой инвариант. Теорема доказана. 3 а и е ч а н и е. Из рассуждений в доказательстве теоремы следует, что инвариантами общего уравнения гиперповерхности второго порядка будут также величины гана А и ганя В.
6. Центр гнперповерхности второго порядка. Попытаемся найти такой параллельный перенос, при котором общее уравнение (7.76) не содержало бы слагаемого 2В' (х') (или, если обратиться и ур (у.рр(, щ р 2 й р;и) »-1 Иными словами, будем искать параллельный перенос (т. е. а а координаты х„ х„ ..., х„ точки х), при котором обратятся в нуль все коэффициенты Ь». Обращаясь к формулам (7.84), найдем, что а искомые координаты х,. х», ..., хп точки х представляют собой решение следующей системы линейных уравнений: ~~'( а!»х, + й» = О, й = 1, 2, ..., п. ( ! (7.93) Уравнения (7.93) называются у рави вн ням и цен и» ра си пер повврхиосл»и вп»просо порядка, а точка РР а а а с координатами (х», х„...', х„), где (х„х„..., х„) — решение системы (7.93), называется ц е н т р о и этой поверхности.
Поясним наименование»центр» гиперповерхиостн, Пусть на. чало координат помещено в центр х, т. е. произведен искомый параллельный перенос. Тогда уравнение поверхности В примет вид и Е а~»хух»+ с' = О. (?.94) гр» ! гипвэповигхности втоэого погядкл И1 Пусть точка х с координатами (х1, хг, ..., х„') расположена на В. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению (7.94), Очевидно, точка — х с координатами ( — х~, — хз, ...> — х„'), симметричная с точкой х относительно точки х, также расположена на В, ибо ее координаты тоже удовлетвориют уравнению (7.94). Таким образом, если у гиперповерхности В есть центр, то относительно центра точки В располагаются симметрично парами. 3 а м е ч а н и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
