Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Если гиперповерхность В второго порядка имеет центр, то инварианты бе1 А, бе1 В и свободный член с' в уравнении (7.94) связаны соотношением бе1 В = с' бе1 А. (7.96) Действительно, для уравнения (7.94) получим ам ... а,„о ьт...ь»» О О...ос' бе1В = аг»х,х„+ — = О. ыв сеФ А Действительно, после переноса начала в центр уравнение гиперповерхности примет вид (7.94), Так как для центральной гиперповерхности бе1 А чь О, то из формулы (7.96) найдем с' = бе1 ВЯе1 А. Подставляя это выражение для с' в формулу (7.94), мы и получим уравнение (7.96).
7. Стандартное упрощение любого уравнения гиперповерхно:ти второго порядка путем преобразования ортонормнрованного йазиса. По теореме 7.8 существует такой ортонормированиый Завис, в котором квадратичная форма А (х,х) записывается в виде '.уммы квадратов. Обозначим этот базис через (еь), а координаты (7.96> Из последней формулы и вытекает (7.96). Наличие центра у гиперповерхности второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (?.93). Если уравнения центра имеют единственное решение, то еиперповерхность Ю будем называть ц е н т р а л ь н о й. Так как определитель системы (7.93) равен бе1 А, а необходимым и достаточным условием существования единственного решения этой системы является отличие от нуля ее определителя, то мы можем сделать следующий вывод: для того чтобы гиперповерхность В была центральной, необходимо и достаточно, чтобы бе1 А чь О. 3 а м е ч а н и е 2.
Если начало координат перенесено в центр центральной гнперповерхности В, то уравнение этой гиперповерхности будет иметь вид 222 эилинвнныв н квддрдтичныв формы <гл. ! точки х в этом базисе обозначим через х!, хс„...„х„'. Кроме того, буквами Х!, Хю ..., Е„обозначим собственные значения самосопряженного оператора А, матрица которого в ортонормнрованном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы А (х, х) (см.
замечание в п. 4 этого параграфа). Используя теперь выводы теоремы 7.8, запишем квадратичную форму А (х, х) в координатах (х<, х,', ..., х„') точки х в базисе «е!) следующим образом: а А (х. х) = Е М~а . (7,9?) а ! Итак, перейдем от базиса «еа«к базису «е~«. Так как формулы преобразования координат точек прн таком преобразовании линейны и однородны (см. замечание и.
2 этого параграфа, формулы (7.75)), то группа старших членов и линейная часть уравнения гиперповерхности 8 преобразуются автономно. На основании этого и в силу (7.97) уравнение гнперповерхности о в базисе «еь« будет иметь следующий вид а): и и Я Х,хь'+ 2 Я б;ха+с=0. (7.98) *=! Ф ! Приведение любого уравнения гиперповерхности 8 второго порядка к виду (7.98) будем называть стан да р т н им у и р о щ е н и е м этого уравнения (путем преобразования ортонормированного базиса). 8.
Упрощение уравнения центральной гиперповерхностн второго порядка. Классификация центральных гиперповерхностей. Выводы, сделанные в предыдущих двух пунктах, позволяют решить вопрос о классификации всех центральных гиперповерхностей второго порядка. Решение этого вопроса мы проведем по следующей схеме. Во-первых, путем переноса начала координат в центр гнперповерхности (7.66) мы приведем ее уравнение к виду (7.96). После этого произведем стандартное упрощение уравнения (7.96). В результате, очевидно, мы получим, согласно (7.98), еле. дующее уравнение центральной поверхности второго порядка: Х!х +)!чхс + ... +Х„х"„~+ — '=О, (7.99) в котором Хь — собственные числа матрицы А квадратичной формы А (х, х) в уравнении (7.62), а ха — координаты точки хв окончательном ортоиормированном базисе «еД.
Отметим, во-первых, что все собственные числа Ха, й 1, 2, .„ ..., и, отличны от нуля. ') Наппмпим, что при переходе от пртоиормироааиипго бааиса и ортоиормироаааипму сасбодиыя член с а урааиеиия поасрхапста Я иа меиястси (см. третью иа формул (?.8?)). гипевповагхности втогого поеядк» 1 »1 Действительно, подсчитывая де1 А для уравнения (7.99), получим ое1 А = Л,Л, ... Л„, а так как для центральной поверхности це1 А чь О, то, очевидно, что все Л» „-ь О.
Договоримся далее все положительные собственные числа матрицы А нумеровать первыми индексами, а отрицательные— последующими. Таким образом, найдется такой номер р, что Л! 0 Л~ «О Лр «О Л ы(0, Л„~~<0, ..., Л„<0. Введем теперь следующие обозначения: де1 В если здп — чь О, то положим Ве1 А !..~ =; В ~Л»= — при й=1,2, ...,р, де!А ! 1 ! В»1А ! 1 — ~Л»= — —, при я=р+1,..., и; Ве! В ~ рг в»1 В если здп — = 0 то положим С»1 А ! Л» —— —, при я=1, 2, ..., р, 1 Л» —— — — при я=р+1,...,и. а„' (7.
100) (7. 101) "! «л (7.103) Тогда очевидно, уравнение (7.99) может быть переписано следующим образом (при этом мы заменим обозначение координат х» на х„): У+ — + +Р «» 4, ~о+! " + зйп — = О. (7.! 02) « ~«+! И Уравнение (7.102) называется к а н он и ч ес к им у р ави е и и е м центральной гиперпоееахности второго порядка. Величины а», й = 1, 2, ..., и, называются полуосями центральной гилерпоеерхности второго порядка.
Они могут быть вычислены по формулам (7.100) и (7.101). С помощью канонического уравнения (7.102) дадим следующую к л а с с и ф и к а ц и ю центральных гиперповерхностей. де1 В 1 . р = л, здп — = — 1. В этом случае гиперповерхность в»1 А 8 называется (и — 1)мерным эллипсоидом. Каноническое уравнение такого эллипсоида обычно записывают в виде 224 бИЛИНЕйНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ггл, т Если а, = а, = ° ° = а„= Я, то (и — 1)-мерный эллипсоид пред- ставляет собой сферу радиуса Я в л.мерном пространстве.
ее! В 3 а м е ч а н и е 1. В случае р = О, зйп — = 1 мы также ае! А получаем (и — 1)-мерный эллипсоид. Очевидно, в этом случае уравнение (7.102) может быть записано в виде (7.!03). де! В 2'. р = и, здп — = 1. Гиперповерхность является мнимой и называется мнимым эллипсондом. Замечание 2. Очевидно, в случае р = О, здп — = — 1 зе! в ее! А мы также получаем мнимый эллипсоид, ее! В 3'. 0 <" р е' л, зйп — ~ О. Центральные гиперповерхности ае! А называются в этом случае г и п е р б о л о и д а м и.
Геометрические характеристики гиперболоида зависят от соотае! в ношений чисел р и п и значения зеп —. ее!А ' де! В 4'. зеп — = О. Центральные гиперповерхности называются де! А в этом случае в ы р о ж де н н ы м и. Среди вырожденных гипер- поверхностей отметим так называемый в ы р о ж д е н н ы й э л л и и с о и д, отвечающий значениям р = 0 и р = и.
9. Упрощение уравнения нецентральной гиперповерхности вто- рого порядка. Классификация иецентральных гиперповерхностей. Пусть гиперповерхность 8, заданная уравнением (7.62), не яв- ляется центральной, т. е. де!А =О. (7.104) Произведем стандартное упрощение уравнения (7.62). В ре- зультате это уравнение примет вид (7.98). Подсчитаем 4!Е1 А, ис- пользуя (7.98) (это возможно, так как бе! А — инвариант). Полу. чим, учитывая (7.104), е1е! А = !!,Хе ... Х„= О. Таким образом, по крайней мере одно собственное значение Х» матрицы А равно нулю. Подчеркнем, что не все собственные зна- чения равны нулю, ибо иначе квадратичная форма А (х, х) была бы тождественно равной нулю, мы же предполагаем (см. п, 1 $1 втой главы), что эта форма ненулевая.
Оставим в выражении (7.98) лишь те слагаемые в первой сумме, которые отвечают ненулевым собственным значениям, а затем произведем такую перенумерацию базисных векторов, чтобы пер- вым р базисным векторам е!', ..., е,' отвечали все ненулевые соб- ственные значения Х!, Х„ ..„ ~,, (отметим, что р гапе А). Очевидно, после этого уравнение (7.98) может быть переписано следующим образом: е Р и ~„'!!Ах» +2 ~ ЬАхе+2 ~ Ьех„'+с=О (7,105) А=! е=! А Р+! 22Б вилннвпныв и квхдгхтичные фогмы ггл. г заданную в подпространстве У", которое представляет собой линейную оболочку векторов е'», ..., е„'. Согласно лемме п. 1 $4 гл. 5 эта форма в указанном подпространстве может быть представлена в виде В" (х) = (Ь, х), где й — некоторый вектор подпространства У, Если мы теперь в подпространстве У" направим единичный вектор е"„по вектору Ь, так что Ь= ре"„, а векторы е".», ..., е"„» выберем так, чтобы система е»„..., е".
~, е„' была базисом в то, очевидно, в этом базисе В (х) = (й, х) = р (е., х) = рх„, поскольку (е„, х) = х„. Таким образом, выбирая в У базис опнл санным выше способом, мы преобразуем ~ овх„к виду рх„, г=р» Итак, можно указать такое преобразование базиса е1, , е,', в ортонормнрованный базис е~', ..., е"„ (при этом преобразовании векторы е(, ..., е,' остаются неизменными), что уравнение (7.108) примет вид (при этом мы заменим обозначение координат хв на хг) Р ~„'Лдх1 + 2рх„+ с' О.
(7.109) 1 1 Отметим, что в уравнении (7.109) не исключается случай р = 0' Уравнение (7.109) называется к а и о и и ч г с к и м у р а в н е н и г м нгцгнтральной гиперповгрхности второго порядка, С помощью канонического уравнения (7.109) дадим следую. шую к л а с с и ф и к а ц и ю непентральных гиперповерхностей.
Возможны следующие случаи. 1'. р„-ьО, р=гапдА =п — 1. В этом случае последние два слагаемых а уравнении (7.109) с' т запишем в виде 2рх„+ с' = 2р (х„+ — ~ и сделаем параллельэи/ ный перенос по направлению оси х„на величину — с'/2р. Чтобы не осложнять запись, не будем при этом менять обозначение координат В результате каноническое уравнение (7.109) примет внд Л,х1+ + Л„~х'„» + 2(ах„О. (7. 110) Гиперповерхности второго порядка, каноническое уравнение котовоых имеет вид (7.110), называются п а р а б о л о и д а м н. 2 р = О, р = гана А < и.
В этом случае каноническое уравнение (7.109) перепишется так: Л1х1 + + Лрхр + с 0 (7. 111) Очевидно, в подпространстве, являющемся линейной оболочкой векторов е|, ..., е', уравнение (7.111) представляет собой каноническое уравнение центральной поверхности 5' второго порядка Чтобы получить представление о гиперповерхности 5 во всем пространстве, нужно в каждой точке поверхности 5' поместить плоскость, параллельную плоскости У" (лннейная оболочка Ф 7! гипегповагхности втогого погядкх векторов е',ь, е„').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
