Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 43
Текст из файла (страница 43)
6г гм" г» (7.41) Сравнивая формулу (7.41) в формулой (1.28) гл. 1 для определителя порядка л„мы убедимся в справедливости соотношения (7,39). Теорема доказана. $6. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве (7.44) В предыдущих параграфах мы изучали билинейные и квадратичные формы в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве 1.. В этом параграфе мы получим ряд сведений о билинейных и квадратичных формах, заданных в вещественном евклидовом пространстве. При этом мы будем широко пользоваться результатами 5 9 гл. 5, посвященного линейным операторам. В п.
3 настоящего параграфа будет показано, каким образом теория евклидовых пространств может быть применена для получения содержательных результатов в произвольных линейных пространствах, В частности, нами будет получено независимое доказательство теоремы о том, что каждая квадратичная форма в линейном пространстве может быть приведена к каноническому виду. 1. Предварительные замечания. В этом пункте мы напомним некоторые понятия теории линейных операторов. Пусть У вЂ” л-мерное вещественное евклидово пространство н А — линейный оператор, действующий из У в У. Оператор А» называется сопряженным к А, если для всех х Е У и у ~ У выполняется равенство (Ах„у) = (х, А'у). (7.42) Оператор А называется самосопряженным, если А = А*, т.е.
если для всех х Е Уиу Е (Ах, у) =(х, Ау). (7.43) Рассмотрим билинейную форму В (х, у), заданную в евклидовом пространстве У. В главе 5 было установлено, что каждой такой форме В (х, у) однозначно соответствует линейный оператор такой, что справедливо равенство В(х, у)= (Ах, у). вилинепные и квддвдтичные ооемы !гл. ! Кроме того, в теореме 5 33 было доказано, что билинейная форма В (х, у) является симметричной тогда и только тогда, когда оператор А, фи!урнрующий в (7 44), является самосопряженным. Напомним также, что в теореме 5.35 для любого самосопряжеиного оператора А было доказано существование ортонормированного базиса из собственных векторов Это означает, что существуют ортонормироваиная система е„е„..., е„и вещественные числа Л„Лз, ..., Л„такие, что Ае,=Л,е,.
(7.45) Отметим, что в базисе «е»«матрица оператора А имеет диагональный вид. 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов в ортогональном базисе. Пусть В (х, у) — симметричная билинейная форма, заданная в вещественном евклидовом пространстве У, а В (х, х) — определяемая ею квадратичная форма. Докажем следующую теорему о приведении квадратичной формы В (х, х) к сумме квадратов. Теорема 7.8. Пусть В (х, у) — симметричная билинейная форма, заданная в евклидовом пространстве У. Тогда в пространстве У существует такой ортонормированный базис «ед) и можно указать такие вещественные числа Лд, что для любого х Е У квадратичная форма В (х, х) может быть представлена в виде следую. и(ей суммы квадратов координат $» вектора х в базисе «ед): а В(х, х) = ~" 3„Д,'. (7.46) д-! Доказательство.
Так как В(х,у) — симметричная билинейная форма, то существует самосопряженный оператор А такой, что В(х, у) (Ах, у). (7.47) По теореме 5.35 для оператора А можно указать ортонормированный базис «ед) из собственных векторов этого оператора; пусть Л» — собственные значения, отвечающие ед.
Пусть вектор х имеет в базисе е» координаты $». х * Е $де». (7АВ) »=1 Тогда, очевидно, поскольку е» вЂ” собственные векторы оператора А: Ах Е Л»с»е». (7.4Я) » ! ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ э а! 207 Из соотношений (7.43) и (7.49) вследствие ортонормнрованности базиса»еь» получаем следующее выражение для скалярного произведения (Ах, х): л (А,, х)= ЕМ,'. (7.50) Отсюда и из соотношения (7.47) получаем (7А6).
Теорема доказана. 3. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов в линейном пространстве. Докажем теперь важную теорему об одновременном приведении двух квадратичных форм к сумме квадратов в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве. Теорема 7.У, Пусть А (х, у) и В (х, у) — симметричные билинейные формы, определенные в вещественном линейном пространстве У. Допустим далее, что для всех х Е У, х чь О, справедливо неравенство В (х, х) > О (т.
е. квадратичная форма В (х, х)— положительно определенная). Тогда в пространстве )7 можно указать базис»е„» такой, что квадратичные формы А (х,х) и В (х,х) могут быть представлены в виде А(х, х)= 2; ХД», (7.51) В(х, х) = ~ $~М (7.52) где $к — координаты вектора х в базисе»ек». До к а з а тел ь от в о. Согласно замечанию в конце 2 2 этой главы скалярное произведение в конечномерном вещественном пространстве может быть задано с помощью билинейной формы В (х, у), полярной к положительно определенной квадратичной форме В (х, х). Поэтому мы можем ввести в линейном пространстве У скалярное произведение (х, у) векторов х и у, полагая (х, у) = В (х. у) (7.53) Таким образом, У представляет собой евклидова пространство со скалярным произведением (7.53).
По теореме 7.! ! можно указать такой ортонормированный базис»е,» н такие вещественные числа Х„, что в этом базисе квадратичная форма А (х, х) представляется в виде (7.51). С другой стороны, в любом ортонормированном базисе скалярное произведение (х, х), равное, согласно (7.53), В (х,х), представляется в виде суммы квадратов координат вектора х. Таким образом, представление В (х,х) в виде (7.
52) в базисе »ек» также обоснованно. Теорема доказана. 208 БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [ГЛ. 1 В(х, у) =(Ах, у). (7.54) При этом единичной сферой в У мы будем называть множество тех векторов х Е У, которые удовлетворяют уравнению (х, х)=1 или !)х~=1. (7.55) Для упрощения рассуждений мы воспользуемся выводами предыдущего пункта о приведении квадратичной формы к сумме квадратов. Итак, пусть В (х,х) — квадратичная форма, В (х, у) — полярная этой форме билинейная форма, А — самосопряженный опера. тор, связанный с В (х, у) соотношением (7.54).
По теореме 7.8 в ортоиормнрованном базисе (вь», состоящем из собственных векторов оператора А, квадратичная форма В (х, х) имеет вид В(х, х) Я й~Я, А-1 (7.56) 3 а м е ч а н и е. Из доказанной нами теоремы непосредственно следует, что любую квадратичную форму в произвольном вещественном линейном пространстве можно привести к каноническому виду. Однако способ такого приведения является, вообще говоря, более сложным, чем способы, изложенные выше в З 3, поскольку он требует нахождения всех собственных векторов некоторого самосопряжеииого оператора (см. по этому поводу гл, 6).
4. Экстремальные свойства квадратичной формы. Рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию Г, определенную иа некоторой гладкой поверхности В (см. определение гладкой поверхности в гл. 5 части 2 «Основ математического анализа»). Будем говорить, что точка х, поверхности В является с т а ц и о н а рн о й т о ч к о й функции ), если в точкех, производная функции ) по любому направлению на поверхности В равна нулю. В частности, точки экстремума функции ( являются ее стационарными точками.
Значение ((х,) функции ) в стационарной точке х, называется стационарным значением. Иногда стационарную точку х, функции ( называют ее критической точкой, а величину г (х,) — к р и т и ч е с к и м з н а ч е н и е м. В этом пункте мы исследуем вопрос о стационарных и, в частности, экстремальных значениях квадратичной формы В (х, х) на сфере единичио1о радиуса в евклидовом пространстве У и о связи этих значений с собственными значениями самосопряженного оператора А, с помощью которого симметричная билинейная форма В (х, у), полярная квадратичной форме В (х, х), представляется в виде $6! фоэмы в евклидовом пэостр»нствв где $» — координаты вектора х в базисе»е»», а )» — собственные значения оператора А.
Мы договоримся нумеровать этн собствен- ные значения в порядке убывания: (7.57) ~ Х~ ~~ ) )!у Заметим, что в выбранном базисе единичная сфера, определяе. мая уравнением (7.55), в координатах вектора х задается уравне- нием » Ей — 1=0, (7.58) Докажем следующую теорему. Теорема 7.70. Стационарные значения квадратичной формы В(х, х) на единичной сфере (7.55) равны собственным значениям Х» оператора А. Эти стационарные значени я достигаются, в частности, на единичных собственных векторах е» оператора А. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как речь идет о стационарных значениях функции В (х, х) при условии (х,х) = 1, т. е. об условном экстремуме этой функции, то мы можем воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа (см. «Основы математического анализа» часть 1, п.
2, Э 5, гл, 15). Составим для функции В (х, х), используя ее выражение (7.56) в данном базисе »е,», функцию Лагранжа !р($„$„..., $„), учитывая при этом, что уравнение связи имеет вид (7.58). Получим » / » «= в»!! — ж(г!! — ~), »ча » ! (7.59) где Х вЂ” неопределенный множитель Лагранжа. Напомним, что если Х в (7.59) выбрано так, что при условии (7,58) выполняются соотношения дГ-0, й-1, 2, ..., и, дч! (7.60) то в точках сферы (7.58), отвечающих этим значениям 1!, функция В (х, х) (квадратичная форма В (х, х)) имеет стационарное значение. Таким образом, вопрос о стационарных значениях В (х,х) на сфере (х, х) = 1 редуцируется к исследованию системы уравнений (7.58), (7.60) относительно неизвестных» и координат $,, $,..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
