Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется к а н о н и ч е с к и м. Отметим, что канонический базис определен неоднозначно, 3 а и е ч а н и е 2. Если форма А (х,х) приведена к каноническому виду (7.И), то, вообще говоря, не все канонические коэффициенты Х, отличны от нуля. Оставляя и (7.13) лишь отличные от нуля Х, и перенумеровывая их заново, получим следующее выражение для А (х, х): А (х, х) = Х~т)1 + Хзт(т + ° ° + ХАТ(А. (7.18) Ясно, что в ~ л. Так как ранг квадратичной формы по определению равен рангу ее матрицы в любом базисе, то из (7.18) и условия Ат ~ 0 при 1 = 1, 2, „й вытекает, что ранг формы равен й.
Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов равно рангу квадратичной формы. 2. Метод Якоби. При некоторых дополнительных предположениях о квадратичной форме А (х, х) можно указать явные формулы перехода от данного базиса в = (е„е„..., е„) к каноническому базису (' = (Ги Г„...,,Г"„) и формулы для канонических коэффициентов ХР Предварительно мы введем понятие т р е у г о л ь н о г о п реобр азова ни я базисных векторов.
Преобразование базисных векторов е„е„..., е„называется т р е у г о л ь н ы и, если оно имеет следующий вид: 196 БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [гл. т Справедливо следующее утверждение. Теорема 7,4. Пусть миноры Лп Ь„..., Ье, матрицы (аы) квадратичной формы А (х, х) отличны от нуля. Тогда сущесп1- вует единственное треугольное преобразование баэисных векторов е„ее, ..., е„, с помощью которого форму А (х, х) можно привести к каноническому виду.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что коэффнниенты Ьц формы А (х, х) в базисе ун,у„..., у„вычисляются по формулам Ь~ =А(У Л). Если форма А (х, х) в базисе 7„~„..., уе имеет канонический вид, то Ь» = 0 при (+ /. Поэтому для доказательства теоремы достаточно построить с помощью треугольного преобразования (7.19) такой базис 7"„7"„..., ~„в котором будут выполняться соотношения А(7„7»)=0 при 1+ у, или, что то же, при 1(/ (7.21) (при этом, конечно, надо убедиться, что искомое преобразование единственно). Если обратиться к формулам (7.19) для ~н то, используя линейное свойство квадратичной формы А (х,х) по каждому аргументу, легко заметить, что соотношения (?.21) будут выполнены, если будут выполнены соотношения *) А(е„,у») О, А(е„»е»)=0, ..., А(е» „,ф=О, (7.22) ?=2, З,...,п.
Запишем формулы (7.22) в развернутом виде, Для этого подставим в левые части атнх формул выражение ,у» —— але, + се е, + ° ° ° + а»...ела+ е, (7.23) для у» из соотношений (7.19). Используя далее свойство линейности А (х, х) по каждому аргументу и обозначение А (ао е») = = аи, получим в результате следующую линейную систему уравнений для неизвестных коэффипиентов а»А.
алан+ а»еа1е+ ° ° ° + а»...аь», + а,» О, (7.24) апа» ... + ама» ь е + ° ° ° + а», »,а» ь», + а» ь ~ О. Определитель этой системы равен Л»,, По условию Ь», ~ О. Следовательно, система (7.24) имеет единственное решение. Таким е) Нетрудно уаеднтьсн, что нз соотношений (7,21) следуют соотношения 17.22). $ Э! ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИчНОИ ФОРМЫ К СУММЕ КВАДРАТОВ !97 образом, можно построить единственное треугольное преобразование базисных векторов, с помощью которого форма А (х,.е) приводится к каноническому виду. Теорема доказана.
Приведем формулы, по которым можно вычислить коэффициенты а>, искомого треугольного преобразования, и формулы для канонических коэффициентов Хл Обозначим символом Ь> ь > минор матрицы (а»), расположенный на пересечении строк этой матрицы с номерами 1, 2, ... ..„ 1 — 1 и столбцов с номерами 1, 2, ..., > — 1, 1 + 1, ..., 1. Тогда, обращаясь к системе (7.24) и используя формулы Крамера, получим следующее выражение для а>,. Л аи = ( — 1) >+»-и > > — 1 (7.25) Займемся вычислением канонических коэффициентов Х>.
Так как Х> = О» = А (Г>, Г>), то из выражения (7.23) для Д~ и формул (7.22) получаем Х>=А(Д, Л>)=А(а>,е,+а>,е,+ ° ° ° +аь>,е>, +е>,Д>) = = А (е>, Д>) = А (е>, а>,е, + а>,е, + ° ° ° + а», ,е>, + е>) = = а>,а,> + а>,а,> + ° ° ° + а», ,а> м > + а». Подставляя выражение (7,25) для а>, в правую часть последнего соотношения, найдем Х> = (( — !)>+'а,>б> ь>+ ( — 1)>+заэф> ьэ+ ° ° ° ° ° ° +( — 1)~> 'а> ~,>б> м> т+а>>Ь>,)Ь-' (7.26) Так как йт =.
А ( у„ф = А (е,, е,) = ам = Ь„то отсюда и из (7.26) получаем следующие формулы для канонических коэффи- циентов: (7,27) Числитель последнего соотношения представляет собой сумму произведений элементов строки с номером !' в определителе Ь> на алгебраические дополнения этих элементов в указанном определителе.
Следовательно, этот числитель равен >з>. По- этому БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 1гл. У 198 й 4, Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм 1. Закон инерции квадратичных форм. Мы уже отмечали (см. замечание 2 п. 1 предыдущего параграфа), что ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма А (х, х) приводится к каноническому виду.
На самом деле при любом способе приведения формы А (х, х) к каноническому виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм. Прежде чем перейти к обоснованию закона инерции, сделаем некоторые замечания. Пусть форма А (х, х) в базисе е = (е„е„..., е„) определяется матрицей А (е) = (а,>): А(х, х) = ~'„а,ДД„ о 1 ! (7,28) где э,, $„..., $„— координаты вектора х в базисе е. Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду А (х, х) = Л~ рзз + Лзрзз+ ° + Льрзи 1 1 Чз = ~ — Ры ю Чз = ~ — Рз 1 1 т1з+1= — рз+и ° '~ Чь -~ — РАЙ Р' Л, "' ~' — Ль Чзы = Рь+ы ° ° ° Чз Рь.
1 ти ==,, рг 'г' Лз (7 30) В результате зтого преобразования форма А (х, х) примет вид А(Х, Х) Ч1+з)з+ ''' +Чз — Чз41 — '* — т)ь (7.31) называемый нормальным видом квадратичной формы. ь) Легко вздеть, что оаредзлвтель этого преобразования отлвчея от нуля. причем Л„Л„..., ˄— отличные от нуля канонические коэффициенты, занумерованные так, что первые д из этих коэффициентов положительные, а следующие коэффициенты — отрицательныее: Л,) О, Л,) О, ..., Л,)0, Л„,(0, ..., Ль(0. Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат р1з): $ л1 зАКон инеРцИи КВАДРАтичных ФОРМ. КлАССиФИКАЦия 199 Итак, с помощью некоторого невырожденного преобразования координат $„$„..., 5„вектора х в базисе е = (е„е„..., е„) тп = а Д, + а г$з+ ° ° + а,„$„, (7.32) (=1, 2, ..., и, с1е1 (ао) ~0 (это преобразование представляет собой произведение преобразований $ в р и р в т) по формулам (7.30)) квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (7.31), Докажем следующее утверждение: Теорема 7.6(закон инерции квадратничных форм).
Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду, Д о к а з а тел ь н о. Пусть форма А (х, х) с помощью невы- рожденного преобразования координат (7.32) приведена к нормальному виду (7.31) н с помощью другого невырождеиного преобразования координат приведена к нормальному виду А (х, х) = ь| + ьа+ ° ° ° + ~,> — 1,р+1 — ° ° ° — ьь, (7.33) Очевидно, для доказательства теоремы достаточно убедиться в справедливости равенства р = д.
Пусть р ) д. Убедимся, что в этом случае имеется ненулевой вектор х такой, что по отношению к базисам, в которых форма А (.с, х) имеет внд (7.3!) и (7.33) координаты т)н т1„.„, т), и ьр+„..., ь„этого вектора равны нулю: т),=0, т)А=О, ° ° °, т) =О, ~р„— — О, ° ° °, ~„=0. (7.34) Так как координаты т), получены путем невырожденного преобразования (7.32) координат $н ..., $„, а координаты ~,— с помощью аналогичного невырожденного преобразования этих же координат $„..., $„, то соотношения (7.34) можно рассматривать как систему лииенных однородных уравнений относительно координат $„..„$„искомого вектора х в базисе е =(е„е„..., е„) (например, в развернутом виде соотношение гн = 0 имеет, согласно (7.32), аид а,Д, + а,р9, + ...
+ а„$„= 0). Так как р ) о, то число однородных уравнений (7.34) меньше и, и поэтому система (7.34) имеет ненулевое решение относительно координат $„..., $„искомого вектора х. Следовательно, если р >д, то существует ненулевой вектор х, для которого выполняются соотношения (7.34). Подсчитаем значение формы А (х, х) для этого вектора х. Обращаясь к соотношениям (7.31) и (7.33), получим А (х, х) = — т),' — " ° — т)' = гз -~- гз .(- ° ° ° + 1рз. БНЛИНЕйиыв И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ггл. г Последнее равенство может иметь место лишь в случае т!Фм —— = °" = т)д = О н ~» = дг» = ° ° . = гьР = О. Таким образом, в некотором базисе все координаты ьп ь„..., ь„ненулевого вектора х равны нулю (см. последние равенства и соотношения (7.34)), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
