Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 44
Текст из файла (страница 44)
..., $„вектора х. Отметим, что прн этом э„$„..., $„будут координатами того вектора х, на котором В (х, х) будет иметь стационарное значение. вилинанныв н квлда»тнчныа еогмы 1гл. г Так как — = 2 (Л» — Л) а», то интересующая нас система дч' (7.56), (7.60) примет вид Е Ь=1, (˄— Л)$» — — О, й= 1, 2, ..., и. (7.61) Пусть система (7.61) имеет решение Л=Л, х=~ф, Ц~, ...,$„), Умножая каждое из соотношений (Л, — Л) с» = 0 на $», сумв мнруя затем полученные соотношения и учитывая, что Е Я = 1, »=! получим, согласно (7.56), следующее значение для Л: л Л = ~ Л»$'»а=В(х, х).
» ! Л=Л»', $»=0, ..., »ь»„1=0, $»=1, $»»=0>...$„=0, А 1, 2, ..., и, Очевидно, зтн решения являются собственными значениями Л» и координатами соответствующих собственных векторов в„. Теорема доказана. 3 а м е ч а и и е. Мы только что выяснили, что собственные значения Л„являются стационарными значениями квадратичной формы В (х, х) на сфере (х, х) = 1. Оказывается, числа Л, и Л (при условии (7.57)) являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями В (х, х) на сфере (х, х) = 1 (то, что зти значения достигаются, установлено выше). Чтобы убедиться в справедливости замечания, достаточно заменить в (7.56) все Л» сначала на Л„, а затем на Л, и воспользоваться соотношениями (7.57) и (7.58). Очевидно, получим неравенства Л„».: В (х, х) ч: Л,. Таким образом, если Л и х = Ям $„..., $„) — решение системы (7.61), тоЛ равно значению квадратичной формы В(х,х) на векторех = ($„Ц~, ..., $„), на котором эта форма имеет стаиионарнсе значение.
Легко видеть, что решениями системы (7.61) служат следующие значения неизвестных Л и $,: ГипеРпОВВРхности ВТОРОГО поеялкк $ 7. Гиперповерхности второго порядка А(х, х)+2В(х)+ с=О, (7.62) где А (х, х) — не равная тождественно нулю квадратичная форма, В (х) — линейная форма, а с — вещественное число. Уравнение (7.62) будем называть о б щ и м у р а в н е н и ем гиперповерхности второго порядка. Выделим в пространстве )Г какой-либо ортонормированный базис (ва). Координаты вектора х (точки х) в этом базисе обозначим через (х„х„..., х„). Тогда (см. п. 2. у 1 этой главы) квадра. тичная форма А (х, х) может быть представлена в виде А(х, х)= ~ а,ах>хю (7.63) ь а-1 где а,а=А(е» ва) (7.64) и А (вн в„) — значение на векторах в, и ва симметричной билинейной формы А (х, у), полярной квадратичной форме А (х„х).
Линейная форма В (х) в указанном базисе (ва) представляется в виде ') В(х)= ЕЬ. (7.65) а-1 Таким образом, общее уравнение гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве $~ с выделеннылт базисом (ва) моясет быть представлено в следующей форме1 » » ~~ азахзха+2 Е Ь„х, +с=0. ба 1 1 1 Договоримся о следующей терминологии.
(7.66) ') Согласно лемме я. 1 б 4 гл. Б ляяейнаа Форма В (х) может быть предстаалеяа н анде В (х) ° (х, Ь), где Ь вЂ” постоянный вектор. Обозначая Ьт, Ьа,... ..., а» кпорднвата вектора Ь я учнтмяая ортонормнроаанность базиса (еа), мм получим врадстаалевна В (х) а анде (7.бб), В этом параграфе мы познакомимся с понятием и основными типами гиперповерхностей второго порядка. Кроме того, будут указаны способы исследования таких поверхностей, 1. Понятие гиперповерхности второго порядка. Пусть )'— п-мерное вещественное евклидова пространство.
Ради геометрической наглядности будем называть векторы х этого пространства т о ч к а м и. Галер и оверхм ост ь ю 5 второго порядка будем называть геометрическое место точек х, удовлетворяющих уравнению вида Ггл, 7 Билинейныв и квлдРлтичныв ФОРмы Слагаемое А (х, л) = ~'„а~эх,хь будем называть гр у п и о й юл-1 с т а р ш и х ч л е н о в уравнения (7 62) или (7 66). и Группу слагаемых В (х) + с = Я бьхь+ с будем называть 1=! л и н е й н о й ч а с т ь ю уравнения (7.62) или (7.66). Мы будем рассматривать в дальнейшем матрицы ам ...
а~а Зз А = .... .. .. и В = ' ' ' ' ' ' ' ' ' (7,67) и определители де1 А и де1 В этих матриц. Исследование гиперповерхностей второго порядка мы будем проводить с помощью метода, сходного с методом, применяемым в аналитической геометрии при исследовании кривых и поверхностей второго порядка, заданных общими уравнениями. Идея этого метода заключается в том, что путем выбора специальной декартовой системы координат на плоскости (для кривых второго порядка) или в пространстве (для поверхностей второго порядка) достигается максимальное упрощение уравнения кривой или поверхности. Затем путем исследования этого уравнения выясняются геометрические свойства кривой или поверхности.
Кроме того, перечисление всех возможных типов простейших (канонических) уравнений кривых или поверхностей второго порядка позволяет дать их классификацию. Чтобы использовать этот метод в многомерном случае, мы сна. чала должны изучить такие преобразования (отображения) и-мерного евклидова пространства, которые представляют собой аналоги преобразований декартовых прямоугольных координат в случае двух и трех измерений. Такими преобразованиями в л-мерном случае будут параллельные переносы и такие преобразования базисов, при которых ортонормированный базис переходит в новый ортонормированный базис.
Точные определения этих преобразований будут даны в следующем пункте. Очевидно, гиперповерхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект пространства Р, не изменяется, если производится преобразование указанного выше вида. Ниже мы убедимся, что для каждого уравнения вида (7.62) (или (7.66)) можно выбрать такое начало координат и выбрать такой ортонормированный базис в Р, что это уравнение, записанное в координатах относительно нового базиса„ будет максимально простого вида, и поэтому, как и в случае двух и трех измерений, можно будет указать геометрические характеристики таких поверхностей и дать им классификацию.
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА а1з 2. Параллельные переносы в евклидовом пространстве. Преобразования ортонормированных базисов в ортонормированиые. П а р а л л е л ь и ы м и е р е н о с о м в евклидовом пространстве У мы будем называть преобразование, задаваемое формулами х=х'+х, (7.68) х» — — х»+х», й 1, 2, ...,и.
(7.69) Отметим, что при параллельном переносе любой фиксирован. ный базис не изменяется. Перейдем теперь к выяснению характеристики преобразования ортонормироваиного базиса в ортонормированный. Допустим, что ортонормированный базис (е»«преобразуется в новый ортонормированный базис «е»«. Разложим каждый вектор е» по векторам «е»«.
Получим е~ =Рпе~ + Рпа»+ ' ' '+Р ~е е»= Рпе~+Р»»е»+" +Р те„ (7.70) е,' Рыл, +Рг,е»+ ° ° '+ Р.е ° Обозначим буквой Р матрицу преобразования (7.70); Рп Рп ° ° Рю Р Р»» Рп Р»» Р»» ° ° ° Рв» (7.71) Так как базисы «е»» и «е»«ортонормированные, то из (7.70) путем скалярного умножения е,' на е» получим (1 при) Й, (е~, е») ~ р р» 6Г» ~ (772) 10при1' Рассмотрим теперь транспонированную матрицу Р', т. е. иатрицу, полученную из Р перестановкой строк и столбцов. Очевидно, согласно (7.72), РР' * Р'Р =7, (7.73) де 1 -единичная матрица. где х — фиксированная точка, называемая новым началом координат.
Пусть точки х,х' и х имеют координаты, соответственно равные(х1,х», ...,х„), (х(, хз, ..., х„') и (хп хм ..., х„). Тогда в координатах параллельный перенос определяется фор- мулами БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ )ГЛ. 1 214 Равенства (7.73) показывают, что матрица Р' является обратной для матрицы Р, т.
е. Р'=Р'. (7.74) «, = Рн«, + Р„«а+ ... + Р„,«„, «1 = Рм«1 + Рм«1 + ° ' ' + ра «„, «» = Р»~ ~! + Р»2«1+ ' ' ' + Р»»«» (7,75) 3. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при параллельном переносе. Рассмотрим параллельный перенос, который определяется как преобразование пространства У по формуле (7.68) (или в координатах по формуле (7.69)). Левая часть (7.62) после подстановки вместо х его выраже. ния по формуле (7.68) в силу линейности квадратичной формы по первому н второму аргументу ") и свойств линейной формы примет следующий вид: А(х', х')+ 2[А(х',х)+ В(х'))+[А(х, х)+ 2В(х)+с) = О. «) Квадратичная форма А (х, х) саязана с снмматрнчной билинейной формой А (х, у), полярной к форме А (х, х). Бнлкпейная форма А (х, у) лннейна по аргументам х н у.
Фигурирующее а дальнейшем тексте амраженне А (х', х) представляет собой значение формы А (х, у) на векторна х' н .к. Допустим теперь, что мы рассматриваем преобразование ортонормированного базиса 1е»1 по формулам (7.70), причем матрица Р этого преобразования удовлетворяет условию (7.73) (нли, что то же, (7.74)). Тогда очевидно, элементы Р,„матрицы Р удовлетворяют условию (7.72), что согласно этим же соотношениям (7 72), эквивалентно условию ортонормированности базиса [еа[. Напомним, что в 2 9 гл. 5 матрицу Р, удовлетворяющую условию (7.73), мы назвали ортогональной. Итак, для того чтобы преобразование (7.70) было преобразованием ортонормированного базиса в ортонормированный, необ«одилго и достаточно, чтобы матрица Р этого преобразования бь1ла ортогональной.
3 а м е ч а и и е. Обращаясь к формулам (5.14) преобразования координат вектора при преобразовании базиса (см п 1, $ 2, гл. 5) и учитывая, что обратная матрица для ортогональной матрицы Р есть матрица Р', получим следующие формулы преобразования координат точки х при переходе от ортонормированиого базиса к ортонормнроваиному: з т] ГИПЕРПОВЕРХ НОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Итак, общее уравнение (7.62) гиперповерхности 5 при параллельном переносе (7.68) запишется в форме А(х', х')+2В(х')+с'=О, (7.76) В'(х') = А(х', х)+ В (х'), (7 77) с' = А (х, х) + 2В (х) + с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
