Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 42
Текст из файла (страница 42)
е. вектор х равен нулю. Следовательно, предположение р > д ведет к противоречию. По аналогичным соображениям ведет к противоречию и предположение р (д. Итак, р = д. Теорема доказана. 2. Классификация квадратичных форм. В и. 1 2 2 этой главы (см. определение 2) были введены понятия положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной и квазизнакоопределенной квадратичных форм. В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадратичной формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов.
При этом индексом инерции квадратичной формы мы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т. е. ее ранг), положительным индексом инерции — число положительных канонических коэффициентов, отрицательным индексам инерции — число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции. Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы А (х, х) соответственно равны й, р и о (я = р + о). В предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе г' = (гм,г"„...,,г"„) эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду: 2 2 2 2 2 А (х, х) = »)1+ т!» + ° ° ° + г!л — г),+~ — ° ° ° — т!», (7.35) где Чп Ц„..., т)„— кооРдинаты вектоРа х в базисе 7.
1'. Необходимое и достаточное условие знакоопределгнности квадратичной формы. Справедливо следующее утверждение: Для того чтобы квадралшчная форма А (х, х), заданная в и-мерном линейном пространстве 1., была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции р, либо отрицательный индекс инерции д был равен размерности и лроопранства 7.
При этом, если р = и, то форма положительно определенная, если же д = и, то форма отрицательно определенная. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как случаи положительно определенной формы и отрицательно определенной формы рассматриваются аналогично, то доказательство утверждения проведем для положительно определенных форм. э ° ] закон инвэции квхдэлтичных Фоэм. классификация 201 1) Необходимость, Пусть форма А (х,х) положительно определена. Тогда выражение (7.35) примет вид А (х, х) = ч(+ чр+ ° ° ° + ч',.
Если при этом р <и, то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами ч=о,ч=О, ° °,ч =О ч Фо, ° °,ч Фо форма А (х, х) обращается в нуль, а это противоречит определению положительно определенной квадратичной формы. Следовательно, р = и. 2) Д о с т а то ч н о с т ь. Пусть р = и. Тогда соотношение (7.35) имеет вид А (х, х) = Ч1 + Ч2+ ...
+ Ч~. Ясно, что А (х, х) ~ О, причем, если А = О, то Ч, = Чь —— ... —— Ч, = О, т. е. вектор х нулевой. Следовательно, А (х, х) — положительно определенная форма. 3 а м е ч а н и е. Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду. В следующем пункте мы докажем критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, с помощью которого можно выяснить вопрос о знакоопределенности формы, заданной в любом базисе без приведения к каноническому виду. 2'. Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы.
Докажем следующее утверждение: Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Н е о б х о д и м о с т ь. Так как зиакоперемеиная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то ее представление (7.35) в нормальном виде должно содержать как положительные, так и отрицатель. иые слагаемые (в противном случае эта форма принимала бы либо неотрицательные, либо неположительные значения). Следовательно, как положительный, так и отрицательный индексы инерции отличны от нуля, 2) Д о с т а т о ч н о с т ь.
Пусть р Ф 0 и д ~ О. Тогда для вектора х, с координатами Ч, ч~ О, ..., Ч„чь О, Ч „=О, ... ...,Ч„= 0 имеем А (х,. х1) > О, а для векторах, с координатами Ч1 = О, ..., Чр = О, Ч,1 Ф О, ..., Ч, чь 0 имеем А (хы х,) < О. Следовательно, форма А (х, х) является знакопеременной, 3'.
Необходимое и достаточное условие квазизнакоопределенности квадратичной формы. Справедливо следующее утверждение: аилинвиныв и квлдахтичныа еогмы (гл. г Для того чтобы форма А (х, х) бала кваэиэнакоопределеннои", необходимо и досгпаточно, чтобьс выполнялись соотноиденияг либо р < л, д) = О, либо р = О, д < л. Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы рассмотрим случай положительно квазизнакоопределенной формы.
Случай отрицательно квазизнакоопределенной формы рассматривается аналогично. !) Необходимость. Пусть форма А (х, х) положительно квазизнакоопределенная. Тогда, очевидно, д = 0 и р < л (если бы р = л, то форма была бы положительно определенной). 2)Достаточность. Еслир <п,д =О,тоА (х,х))0 и для ненулевого вектора х с координатами тц — О, ..., ~р — О, д)„„чь О, ..., д)„Ф 0 имеем А (х, х) = О, т. е. А (х, х) — положительно квазизнакоопределенная форма. 3. Критерий Сильвестра* ) знакоопределениости квадратичной формы.
Пусть форма А (х, х) в базисе е = (е„е„..., е„) определяется матрицей А (е) = (ао): л А(х, х) = 2и ал$191 С, д-~ )ап ад( ) ап... адп ~ вые миноры и определитель матрицы (ал). Справедливо следующее утверждение: Теорема 7.6 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадрагпичная форма А (х, х) была полохгительно определенной, необходилдо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства Л, )О, Ь,)0, ..., Ь„)0. Для того чтобы квадратичная форма бала отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем Ь, < О. Доказательство, 1) Необходимость. Докажем сначала, что из условия знакоопределенности квадратичной формы А (х, х) следует Лд Ф О, д' = 1, 2, ..., л.
Убедимся, что предположение Ь„ = 0 ведет к противоречию— при этом предположении существует ненулевой вектор х, для которого А (х, х) = О, что противоречит знакоопределеииости формы. Итак, пусть Л„= О. Рассмотрим следующую квадратную однородную систему линейных уравнений: а ьь + адйььй+ '' + адьььь= О, а„$1+а.$з+ ., +а.Д„=О, (7.36) аьдььд + айдььз + ° ° ° + аьддь О. ) Лжемс Дхдозеф Секьвестр (1814 — 1897) — английский математик. ПОЛИЛИНЕйНЫЕ ФОРМЫ Так как Л, — определитель этой системы и Л, = О, то система (7.36) имеет ненулевое решение $„$, ..., $ь (не все $с равны нулю). Умножим первое из уравнений (7.36) на с„, второе на 4„..., последнее на $„и сложим полученные соотношения. В результате получим равенство ~л а,сз,$>=0, левая часть которого представь с=с ляет собой значение квадратичной формы А (х, х) для ненулевого вектора х с координатами ($„$,, ..., 4„, О, ..., 0).
Это значение равно нулю, что противоречит зиакоопределенности формы. Итак, мы убедились, что съ, ~ О, с' =- 1, 2, ..., и. Поэтому мы можем применить метод Якоби приведения формы А (х, х) н сумме квадратов (см. теорему? 4) и воспользоваться формулами (7.27) для канонических коэффициентов Х,. Если А (х, х) — положительно определенная форма, то все канонические коэффициенты положительны. Но тогда из соотношений (7.27) следует, что сзс > О, Л, > О, ..., съ„> О. Если же А (х, х) — отрицательно определенная форма, то все канонические коэффициенты отрицательны.
Но тогда из формул (7.27) следует, что знаки угловых миноров чередуются, причем д>с < О. 2) Д о с т а т о ч и о с т ь. Пусть выполнены условия, наложенные на угловые миноры Л, в формулировке теоремы. Так как Ьс ~ О, с = 1, 2, ..., и, то форму А можно привести к сумме квадратов методом Якоби (см, теорему 7.4), причем канонические коэффициенты )>, могут быть найдены по формулам (7.27).
Если с>> > О, сз, > О, ..., д»„ О, то из соотношений (7.27) следует, что все Хс > О, т. е. форма А (х, х) положительно определенная. Если же знаки Ьс чередуются н Л> < О, то из соотношений (7.2?) следует, что форма А (х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана. В 5. Полилинейные формы Определенае. Полилинейной формой А (х„х„..., х,) р векторных аргументов называется числовая функция, определенная на всевозможных векторах х„хм ..., х„, линейного пространства 1.
и линейная по каждому из аргументов, при фиксированнык значениях остальньсх аргументов. Простейшим примером полилинейной формы может служить произведение линейных форм А (х,) А (х,) ... А (х ). Полилинейная форма А (х„х„..., хр) называется симметричной (кососимметричной), если для каждмх двух ее аргументов кч и х, и для любых значений этих аргументов выполняется соотношение А (к„..., кю „к„..., «Р) = А (х,... „к,, ..., к„, ..., «Р) (А (хм ..., хю ..., хс, ...> х,) = — А (х„... > хс, ..., ха» ... х,)). ВИЛИНЕЙНЫВ К КВАДРАТИЧНЫВ ФОРМЫ 1гл.
1 Пусть полилинейная форма А (х„х„..., хр) задана в конечномерном линейном пространстве Ь, и пусть е„е„..., е„— базис в Ь. Обратимся к разложению, каждого вектора х! по базисным векторам е„е„..., е„ х; = ч!!е!+ с1,е,+ ° ° ° + 1!„е„= ~„~!!е„!'= 1, 2...,, р. (7.37) ! Подставляя выражения для х, по формулам (7.37) в полилинейную форму А (х„х„..., х,) и используя свойство линейности этой формы по каждому аргументу, получим в в Е3ы!» е1,, ..., ~ $,1,е1, /з=! /Р ! $„„А(е,, е1,, ..., е,,), (7.38) Таким образом, значения полилннейной формы А (х„х„...
х,) в конечномерном пространстве с выделенным базисом е„е„..., е„ определяются всевозможными значениями А (е1,, е1,,..., е,„) этой формы на векторах е;„еье ... ° е!Р, Докажем следующее утверждение: Теорема 7.7, Любая лолилинейная кососимметричная 4юрма А (х» х„..., х„) заданная в л-мерном линейном пространен!ве 1. с выделенным базисом е„е„..., е„может быть представлена в виде А (х„хв> ..., х„)=а (7.39) где а А (е„е„..., ев), а (Ц!1, В!в, ..., 41„) — координаты вектоРа х! в базисе е1, ев, ..., ев. Доказательство. Так как форма А(х„х„...,х„) является кососимметричной, то для произвольной йерестановки Ц» ~„..., ув) индексов (1, 2, ..., л) имеем А(е!1, еле ..., е1„)=(-1) ' ' А(е„е„..., е„) н (!1,!» - ° гв) ( 1)" (" "' -" 'в) а (7Ао) где )у Ц» 1, „., 1в) — число беспорядков в перестановке (1» 11! - ! 1в) ° в А (х„х,, ..., х,) = А ~ Е $!1,е11, и ! в Е з11!52/, П Н " IР ! $» 1 "$!.
$» $вв ° ° ° $* ьв1 $вв ввв ФОРМЫ В ЕВКЛНДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 66! В силу кососимметричности формы для двух одинаковых индексов !А н), ()А й) значение А (ег„..., егА, ..., егп ..., е„) равно нулю. Отсюда и из соотношения (7.40) следует, что для рассматриваемого случая соотношение (7.38) примет вид » А(х„х„.. „х,)=а ~~ ( — 1) (' пм "" ~")$ы,$»у, ° $ 1„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
