Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Элементы ~р нового базиса 1 выражаются через элементы ер старого базиса е с помощью матрицы С = (с,) по формулам вилинеяные и квАдРАтичные ФОРмы (гл. т 1зо Это следствие позволяет ввести важный ч и с л о в о й и н в ар и а н т билинейной формы — так называемый р а н г б н л инейной формы. Определение 1. Рангом билинейной формы, заданной в коиечиомерном линейном пространстве 1., называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе пространства Б.
Определение 2. Билинейная форма А (х, у), задаииол в конечномерном линейном пространстве Б, называется иевырождениой (вырожденной), если ее ранг равен (меньше) размерности пространства Б. й 2. Квадратичные формы Пусть А (х, у) — симметричная билинейная форма, заданная на линейном пространстве Б. Определение 1. Квадратичной формой называется числовая функция А (х, х) одного векторного аргумента х, которая получается из билинейной формы А (х, у) при х = у.
Симметричная билинейная форма А (х, у) называется и олярной к квадратичной форме А(х,х). Полярная билинейная форма А (х, у) и квадратичная форма А (х, х) связаны следующим соотношением: А(х, у)= — (А(х+у, х+у) — А(х, х) — А(у, у)), 1 которое вытекает нз очевидного равенства А (х+ у, х + у) = А (х, х) + А (х, у) + А (у, х) + А (у, у) А(х, у)= ~~ ац$,чи ис 1 (7.З) где $~ и э)э †координа в базисе е векторов х я у соответственно, Прн атом в силу симметрии А (х, у) (7,11) ам=ам (см, замечание 2 и.
2 предыдущего параграфа), и свойства симметрии формы А (х, у). Пусть в конечномерном лннейяом пространстве Б задана снмметрнчная билинейная форма А (х, у), полярная к квадратичной форме А (х, х). Пусть, кроме того, в Б указан базис е = =(е„е,, ..., е„) Согласно теореме 7.1 форму А (х, у) можно представить в виде (7.3) кВАдРАтичныв ФОРмы Полагая в (7.3) х = у (т.
е. т11 $г), мы получим следующее представление для квадратичной формы А (х, х) в конечиомерном пространстве Ь с заданным базисом е; л А(х, х) = ~ а,ЯДи (7.12) ь у=! Матрица (ан) называется матрице й квадратичи о й фо р м ы А (х, х) в заданном базисе е. Согласно (7.! 1) матрица (а„) является симметричной. Очевидно, каждой симметричной матрице (ам) отвечает с помощью соотнощения (7.12) квадратичная форма А (х, х), причем (7.12) будет представлением А (х, х) в пространстве Е с заданным базисом е (см.
также замечание 3 и, 2 предыдущего параграфа). Отметим, что матрица квадратичной формы при переходе к новому базису преобразуется по формуле (7.7). Поэтому ранг этой матрицы не меняется при переходе к новому базису, Обычно ранг матрицы квадратичной формы А (х, х) называется рангом квадратичной формы. Если ранг матрицы квадратичной формы равен размерности пространства Е, то форма называется н е в ы р о ж д е н н о й, а в противном случае — в ы р о ж д е и н о й.
В дальнейшем мы будем использовать следующую терминологию. Определение 2, квадратичная форма А 1х. х) называется: 1) поло жител ь и о(отрицательно) олредел е и и о й, если для любого ненулевогох выполняется неравенство А (х, х) = 0 (А (х, х) (О) (такие формы называются так жег и а к о о л р е д е л е и и ы м и); 2) з и а к о и е р е м е н и о й, если су и(ествуют такие х и у, что А (х, х) ) О, А (у, у) ~ 0„ 3) к в а з и з н а к о о л р е д е л е и н о й, если дл я всех х А (х, х) ) О или А (х, х) ~ О, ио имеется отличный от нуля веюлор х, для которого А (х, х) = О. В дальнейшем мы укажем признаки, по которым можно су- дить о принадлежности формы А (х, х) к одному из указанных типов. Отметим следующее важное у тв е р жде н не. Если А (х, у) представляет собой билинейную форму, поляр- ную положительно определенной квадратичнои форме А (х, х), то А (х, у) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведе- ния векторов в евклидовом пространстве.
БИЛИНЕЙНЫЕ М КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ и'л. 7 192 Обратимся к четырем аксиомам скалярного произведения (см, п. 1$1 гл. 4), Если число, называемое скалярным произведением векторов х и у, обозначить символом А (х, у), то эти аксиомы запишутся следующим образом: 1'. А(х, у) = А(у, х). 2'. А(х+г, у)=А(х, у)+ А(е, у). 3'. А(Лх, у) =ЛА(х, у).
4'. А (х, х) ) 0 и А (х, х) ) 0 при хчь О. Так как билинейная форма А (х, у) полярная квадратичной форме А (х, х) симметрична, то аксиома 1' выполняется. Аксиомы 2' и 3' в сочетании с требованием симметрии выполнены в силу определения билинейной формы (см. п. 1 у 1 этой главы). Аксиома 4' выполняется, так как квадратичная форма А (х, х) положительно определена. 3 а м е ч а н и е.
Очевидно, аксиомы скалярного произведения можно рассматривать как совокупность требований, определяющих билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме. Поэтому скалярное произведение в линейных пространствах может быть задано с помощью такого вида билинейной формы. $3. Прнведенке квадратичной формы к сумме квадратов В этом параграфе указаны различные методы приведения квадратичной формы к сумме квадратов, т.
е. будут указаны методы выбора такого базиса 7 = (ГИ,ГН ...,,7".„) в линейном пространстве (., по отношению к которому квадратичная форма представляется в следующем к а н о н и ч е с к о м в и д е: А(Х, .«) = Л1т1~~+ Лгт~г+ "° + Ллт!ле (7.13) (т1д, т1н ..., т1,) — координаты х в базисе 7. Коэффицйенты Хт, Л„..., Л„в выражении (7.13) называются к а но н и ч ее к и м и к о эфф и н и е н та м и. Подчеркнем, что мы рассматриваем квадратичные формы в произвольном вещественном линейном пространстве. В 5 б будут изучены квадратичные формы в евклидовом пространстве и будет доказана возможность приведения каждой квадратичной формы к каноническому виду даже в ортонормированном базисе. Исходя из результатов главы 5 в том же 5 б настоящей главы будет получено новое доказательство теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве. Настоящий же параграф посвящен не только доказательству воэможности приведения квадратичной формы к каноническому а З) ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОИ ФОРМЫ К СУММЕ КВАДРАТОВ (ВЗ виду, но и описанию двух методов такого приведения, имеющих большую практическую ценность и широко встречающихся в приложениях.
Так как каждому преобразованию базиса отвечает невырож. денное линейное преобразование координат, а невырожденному преобразованию координат — преобразование базиса, то вопрос о приведении формы к каноническому виду можно решать путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат. 1. Метод Лагранжа. Докажем следующую теорему. Теорема 7.3. Любая квадратичная форма А (х, х), зоданнол в и-мерном линейном пространстве 7., с помощью невырозкденного линейного преобразования координат мозкгт быть приведена к каноническому виду (7,13).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем доказательство теоремы м е т о до м Л а г р а н ж а. Основная идея этого метода заключается в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждому аргументу до полного квадрата. Будем считать, что А (х, х) ~ О *) и в данном базисе и = = (е„е„..., е„) имеет внд А(х, х) = ~ а„~,йп (7.14) с г=! Убедимся, во-первых, что с помощью невырожденного преобразования координат форму А (х, х) можно преобразовать так, что коэффициент при квадрате первой координаты вектора х будет отличен от нуля, Если в данном базисе этот коэффициент отличен от нуля, то нужное иевырожденное преобразование является тождественным.
В случае, если а„= О, но отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-либо другой координаты, то с помощью перенумерации базисных векторов можно добиться требуемого результата. Ясно, что перенумерация является невырожденным преобразованием. Если же все коэффициенты при квадратах координат равны нулю, то нужное преобразование можно получить следующим способом. Пусть, например, агечьО"'). Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат"**): $г = С1 — Ь $з = 5~ + $з, С = йг, г = 3, 4, ...> и. «) Если форма А (х, х) = О, то ее матрица в любом базисе состоит иэ нулевыя элементов, н поэтому такая форма по определению имеет канонический вид в любом базисе. "«) Напомним, что А (х, х) ~ О, н поэтому хотя бы один коэффициент пм отличен от нуля.
«'*) Определитель мзтрицы этого преобразования равен 2, и потому зто преобразование невыроагленное. ВИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ сгл, т После этого преобразования коэффициент при ес будет равен 2асг и поэтому отличен от нуля. Итак, будем считать, что в соотношении (7.14) атт ~ О. Выделим в выражении (7.14) ту группу слагаемых, которые содержат $2.
Получим л А (х, х) = аи~с, + 2асДД2+ ° ° + 2аиДД„+ ~ ассЫ;. (7,15) С, С=2 Преобразуем выделенную группу слагаемых следующим образом: асД)+ 2асДД2+ ° ° ° + 2аслсДл = аи (сс + — "Ь+ ° ° ° + — '"$л)— аг а7 аи л аи аи Очевидно, выражение (7.15) можно теперь переписать так: л А(х, х)=аи($2+ — "~7+ ° ° ° + — '"$л) -1- ~' а,'ДД;, (716) где а,', — коэффициенты при $ДС, полученные после преобразования. Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат: Чг=аг+ $2+ ' '+ — «л аи "' аи -"' Чг = В,.
Ч 'лл С помощью этого преобразования и представления (7.16) для А (х, х) получим Л А(х, х) =асст17с-1- ~ ассЧстс,. С, С 2 Игах, если форма А (х, х) ~ О, то с помощью невырожденного преобразования координат эту форму можно привести к виду (7.17). л Обратимся теперь к квадратичной форме ~' ас;Ч,Ч,. Если эта С,с 2 форма тождественно равна нулю, то вопрос о приведении А (х,х) л к каноническому виду решен. Если же форма ~ ассЧсЧС Ф О С, с-г то мы можем повторить рассуждения, рассматривая преобразования координат Ч„..., Ч„, аналогичные описанным выше, и не $ 31 ЛРиВЕДЕНие КВАДРАТИЧНОЙ ФОРмы К СУММЕ КВАДРАТОВ Гвз ~,=еи /,=аме, + е„ Л, = а„е, + а„е, + е„ (7.19) Л,=а„,е,+а„,е,+ "° +е„ 3 а м е ч а и и е. Так как определитель матрицы треугольного преобразования (7.19) отличен от нуля (равеи 1), то векторы ~» , г"„образуют базис.
Введем в рассмотрение угловые миноры матрицы А (в) (ам) коэффициентов формы А (х, х) в базисе е, обозначив их снмвоЛами дм дм ..., д -т: вм ° ° ° ви в-т ~аи а11~ д,......., .. (7.20) 1 втт вм! ав т т.. ° ак-т в-т Э меняя при этом координату т(,. Очевидно, такого типа преобразования координат т)н т(„..., т)„будут невырождеииыми. Ясно, что за конечное число шагов мы приведем квадратичную форму А (х, х) и каноническому виду (7.13) Отметим, что нужное преобразование исходных координат можно получить путем перемножения найденных в процессе рассуждений невырождеииых преобразований.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
