Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Если матрица А является положительно определенной, то мы договоримся писать неравенство А > О. Далее договоримся писать неравенство В > А (или А ( В) в случае, если  — А > > О (т. е. если матрица  — А является положительно определенной). Докажем следующую замечательную теорему е). Теорема 6.2 (теорема А. А. Самарского). Пусть матрица А является симметричной и выполнены условия А > О, В > >. О (симметричность матрицы В, вообще говоря, не предполагается). Тогда для того чтобы итерационная последовательность, определяемая соотношением В Х»+,— Х» +АХ (6.!3) при любом выборе нулевого приближения Ха сходилась к точному решению Х системы АХ = Р достаточно, чтобы были выполнены условия 2В>тА, тА>О. (6.1 4) При дополншпельном предположении о том, что матрица В является симметричной, условия (6.14) не только достаточны, но и необходимы для сходимости указанной итерационной последовательности при любом выборе нулевого приближения Х.
Доказательство. 1) Достаточность. Прежде всего оценим погрешность Я» = Х» — Х. Так как Х удовлетворяет уравнению АХ = Р, а Х» соотношению (6.13), то для 2» получим соотношение В У»' '" + Аг„= О. (6 16) Установим для погрешности Л» так называемое основное э н е р г ет и ч еское с о от но шеи и е. ')Эта теорема является частным случаем доказанного нзвестнмм советским математиком А.
А. Самарским значительно более общего утвервглення. (А. А. Сам в р ск н а. Введение в теорию раансстных схем, -Мл Наука, 1971.) [гл. з итеРАиионные методы Умножая (6.! 5) скалярно на вектор 2 (ЛА+, — 2А) = 2т получим равенство т(В 2"" 2А, 2"" ЕА ~+2т(А2м 2"'~ 2А) =О. (6,16) 1 / т Если воспользоваться обозначением С = 2 — тА и соотношением ЯА 1+ 2А 2А 1 — 2А ЛАМ вЂ” 2А т 2А~1 — 2А 2 2 2 2 то равенство (6.16) можно переписать в виде т(С А", ', ~"~ ~ )+(А(ХА+1+ХА), ЕА+т — 2А)=0 (617) Далее заметим, что в силу симметрии матрицы А второе слагаемое в (6.17) равно (АЛА„, ЯА„,) — (АЯА, 2А). Это приводит нас к основному э н е р г е т и ч е с к о м у с о о т н о ш ению: С ьм ~ ° ~" ~ )+(АХАТ ЯА+Д=(АЕЫ ЯА) (618) ( ' ' ° ' ' + ..., ..
= ., ' ( . ) т т Для доказательства достаточности условий (6.14) остается с помощью основного энергетического соотношения доказать сходимость к нулю последовательности (12„'1). Из основного энергетического соотношения и из положительной определенности матрицы С = 2 — тА вытекает, что (АЕ„„, ЕА) ~ (АЯА, 2А), т. е. вытекает невозрастание последовательности 1(АЛА, Я,)). Из условия А > 0 вытекает, ироме того, что эта последовательность ограничена снизу нулем, а поэтому сходится.
Но тогда из основного энергетического соотношения следует, что 1!т ~~С '"а '", "а 'А) =О. (6.19) А еэ Напомним, что для положительно определенной матрицы С всегда найдется 6 > 0 такое, что (СХ, Х) ~ 6 (Х, Х) для лю- 1 бого вектора Х или, что то же самое, 1Х)А ~ — (СХ, Х). Последнее неравенство позволяет заключить, что из равенства нулю указанного выше предела (6.19) следует, что И|п $2„„— ЛА ~ = О, (6.20) А сю э ы итзэкционныа методы вешания линаиных систем !Зт Для завершения доказательства достаточности следует воспользоваться соотношением В " '+АУ~ О, т из которого в силу существования для положительно определенной матрицы А ограниченной обратной матрицы А ' вытекает, что г„= — А- .
—,(2„, — 2,). Последнее равенство и соотношение (6.20) дают право заключить, что 1!ш !1Е„)! = О. Достаточност доказана. э Для доказательства необходимости условий (6.!4) при дополнительном предположении о том, что матрица В симметрична, привлечем следующую лемму. Лемма.
П усть С вЂ” некоторая симметричная матрица, а  — симметричная полоясительно определенная матрица. Тогда матрица С является пололсигпельно определенной в том и только в том случае, когда являются полоясительными все собственные значения задачи СХ = ЪВХ. Для доказательства леммы заметим, что так как матрица В является симметричной и положительно определенной, то (в силу теоремы 5.24 из п. 6 $5 гл.
5) существует самосопряженный положительно определенный оператор Внэ такой, что для соответствующей ему матрицы Вн' справедливо равенство Виэ Х х Вы' = В. Так как матрица Ви' является положительно определенной и симметричной, то для нее существует ограниченная н симметричная обратная матрица, которую мы обозначим через В-и'. Заметим далее, что с помощью замены Х = В-н''г' и умножения слева на матрицу В-н' задача на собственные значения СХ = ХВХ переходит в эквивалентную задачу иа собственные значения В-ц'.С В-н'У = М', так что для доказательства леммы остается убедиться в том, что заведомо симметричная матрица В 'г'С В ы' является положительно определенной тогда н только тогда, когда является положительно определенной матрица С.
Это последнее сразу вытекает из того, что для любых двух ненулевых векторов Х и У, связанных соотношением !' = = В-цэ Х справедливо равенство (В н*С В нХ, Х)=(С В ~*Х, В ' .Х)= (СУ, )е). Лемма доказана. Теперь мы можем перейти к доказательству необходимости условий (6.14) теоремы 6.2 при дополнительном предположении о том, что матрица В является симметричной. 2) Н е об ход имост ь. Будем опираться на следующее утверждение из доказанной выше леммы: если матрица В является 168 мтер»пионные методы симметричной и ноложшпвльно определенной, а матрица С является симметричной и не является положительно определенной, то задача на осбственные значения СХ =).ВХ имеет хотя бы одно неположительное собственное значение )>,.
Предположим, что не выполнено первое из условий (6.14), т. е. не выполнено требование 2 — тА >О. Полагая в проведенных выше рассуждениях С = 2 — чА, мы получим, что задача на собственные значения (2 — чА) Х = = ЛВХ имеет хотя бы одно неположительное собственное значение )>,. Обозначим через Х<*> отвечающий )>, собственный вектор н выберем нулевое приближение Хе так, чтобы было выполнено условие Я Хьо Тогда, переписав уравнение для погрешности (6.15) в виде ВЯ»„= -ВЯ» + (2 — чА)с»> мы получим, последовательно полагая й равным О, 1, ..., 2,=(-1+Х,)Х,">, г,=(- !+А,)'Х<*>, ..., г»=(-1+Х,)" Хи', ...
Поскольку — 1 + 7, с — 1, то очевидно, что ><о») не стремится к нулю прн й-» оо. Анзлогично рассматривается случай невыполнения второго условия (6.14), т. е. условия чА > О. В этом случае в проведенных выше рассуждениях следует положить С тА. <>!ы получим при этом, что задача тАХ )>ВХ имеет хотя бы одно неположительное собственное значение )>, с собственным вектором Х<'>. Выбирая нулевое прнблнжение Хе так, чтобы было справедливо равенство 2, = Х<'> и перепнсывая (6.!6) в эквивалентном внде ВУ»„= = Вс» — тАЯ», мы получим, что г,=(1 -7„)Х<*>, г, =(1 - Л,)'Х<*>...
„г, =(! — ),)" Х">, ... Так как Х, ( О, то очевидно, что /!Е»~! на стремится к нулю при й ->. оо. Теорема 6.2 полностью доказана. Перейдем теперь к оценке скорости сходнмостн общего неявного метода простой итерации. Следуя А.
А. Самарскому '), выясним вопрос о выборе такого значения параметра т, которое обеспечивает наиболее быструю сходимость. Предположим, что матрнца В является симметричной и положительно определенной. С помощью такой матрицы естественно ввести так называемое «э н е р г е т и ч е с к о е» с к а л я р н о е п р о н з не де н не двух произвольных векторов Х и 'г'> положив его равным (ВХ, г) = (Х, В)'). Такое скалярное произведение будем обозначать символом (Х, 1')а. ') А. А. Сам з рек нй.
Введенне в теорию ревностных схем. — Мл Наука, 1971. А.А. Сама рок на, А. В. Гу ли н. Устойчивость разностнмх схем.— Мм Науке, 1973. з ~> итеехциониые методы вешания линеяных систем ~аэ С помощью матрицы В'~' это скалярное произведение можно записать в виде (Х, К)з = (Вн'Вы'Х, 1') = (Вы'Х, ВУ')').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
