Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Докажем следующие два утверждения, в которых выясняются условия, при которых полуторалннейная форма является эрмитовой. Теорелеа В.М. Для того чтобы полуторалинейная форма В (х, у) являлась эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы оператор А в представлении (5.80) этой формы был самосопряженным (А = А'), в В) ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К СУММЕ КВАДРАТОВ Щ Доказательство. Действительно, если А — самосопряженный оператор, то, используя свойства скалярного произведения, получим В(х, у)=(Ах, у)= (х, Ау)=(Ау, х)=В(у, х). Таким образом, выполнено соотношение (5.79), т. е. форма В (х, у) = (Ах, у) является эрмитовой.
Если же форма В (х, у) = (Ах, у) эрмитова, то, опять обращаясь к свойствам скалярного произведения, получим равенства (Ах, у) = В (х, у) = В (у, х) = (Ау, х) = (х, Ау). ь В(х, х) — Е Х»»$»»'. »-! (5.81) До к а з а тел ь с тв о. Так как форма В (х, у) эрмитова, то, согласно теореме 5.25, существует самосопряженный оператор А такой, что В(х, у)=(Ах, у). (5.82) Таким образом, (Ах.
у) = (х, Ау), т. е. оператор А является самосопряженным. Теорема доказана. Теорема 5.26. Для того чтобы полуторалинейная форма В (х, у) была эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы функ. ция В (х, х) была вещественной. Доказательство. Форма В(х, у) будет эрмитовой в том и только в том случае, когда линейный оператор А в представлении (5.80) этой формы является самосопряженным (см.
теорему 5.25). Согласно же теореме 5,18, для того чтобы оператор А был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы для любого х скалярное произведение (Ах, х) было вещественным. Теорема доказана. Введем теперь понятие квадратичной формы. Пусть В (х, у) — эрмнтова форма. Квадратичной формой, соответствующей форме В (х, у), называется функция В (х, х).
Докажем следующую теорему о приведении квадратичной формы к сумме квадратов. Теорема 6.27. Пусть В (х, у) — эрмитова форма, определенная на всевозможных векторах х и у и-мерного евклидова пространства У. Тогда в этом просгпранстее существует такой ортонормированный базис»е»» и можно указать такие вещественные числа»», что для любого х, принадлежащего У, квадратичная форма В (х, х) может быть представлена в виде следующей суммы квадратов координат $„вектора х в Оазисе»е„»: !гл. в ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Обратимся теперь к теореме 5.21. По этой теореме для оператора А можно указать ортонормнрованный базис «в»«из собственных векторов этого оператора.
Если»» — собственные значения А, а $» — координаты вектора х в базисе «е»», так что п х= сл Ье», (5.83) то, используя формулу (5.!2) и соотношение Ае» = Х»в» *), получим следующее выражение для Ах: л Ах = ~'„ЗчД»в». (5.84) » ! Из (5.83), (5.84) и ортонормированности базиса «в»«получим следующее выражение для (Ах, х); и (Ах, х) = Е» «8 «'. » ! Из этого выражения и из соотношения (5.82) получим (5.81). Тео ема доказана. 3 окажем теперь важную теорему об одновременном приведении двух квадратичных форм к сумме квадратов. Теорема б.28.
Пусть А (х, у) и В (х, у) — эрм итоны формы, определенные на всевозможных векторак х и у и-мерного линейного пространства К Допустим, далее что для всех ненулевых элементов х из У имеет место неравенство В (х, х) >О. Тогда в пространстве Р' можно указать базис «в»«такой, что квадратичные формы А(х, х) и В(х, х) могут быть представлены в следуюи(ем виде: А(х, х)= Е Л»«еч»«», » ! и В(х, х)= Е «Ь,«», (5.86) » ! еде Մ— вещественные числа, а $» — координаты вектора х в базисе «в»«.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как свойства скалярного произведения н свойства эрмитовой формы В (х, у) при дополнительном требовании о том, что В (х, х) >О при хчь О, формулируются одинаково, мы можем ввести в линейном пространстве У скалярное произведение (х, у) векторов, полагая (х, у) =В(х, ч!). (5.87) '! Это соотношение следует ие того, чго Х» н е» вЂ” соответственно собственные виичеиии н собственные векторы оператора д.
е т) УНИТАРНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (аз Таким образом, У представляет собой евклидово пространство со скалярным произведением (5.87). По теореме 5.27 можно указать в У такой ортонормированный базис (еа) и такие вещественные числа Л„, что в этом базисе квадратичная форма А (х, х) будет представлена в виде (5.85).
С другой стороны, в любом ортонормированном базисе скалярное произведение (х, х), равное, согласно (5.87), В (х, х), равно сумме квадратов модулей координат вектора х. Таким образом, представление В (х, х) в виде (5.86) также обосновано. Теорема доказана. $ 7. Унитарные и нормальные операторы В этом параграфе рассматриваются свойства важного класса операторов„действующих в евклидовом пространстве У. Определение 7. Линейный оператор 77 из Е (У, У) называется у н и т а р и ы м, если для любых элементов х и у из У справедливо соотношение (5.88) В дальнейшем соотношение (5.88) будем называть у с л о в и е м ун итарности оператора.
3 а м е ч а н и е 1. Из условия (5.88) унитарности оператора следует, что для любого унитарного оператора е7 справедливо равенство ) егх( = '1х1. Отметим следующее у т в е р ж д е н и е . Если Л вЂ” собственное значение уншпарного оператора 77, гпо ~Л~ =!. Действительно, если Л вЂ” собственное значение У, то существует такой элемент е, что(е1 = 1 и еге = Ле. Отсюда и из замечания 1 следуют соотношения )Л~ = !Ле) = 1е7е)( =1е)( = 1. Утверждение доказано. Докажем следующую теорему.
Теорема б.ЗУ. Для того чтобы линейный оператор У, действуюи(ий в евклидовом пространстве У, был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено соотношение (7е= Ю ' (5.89) Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть оператор е/ унитарный, т. е. выполнено условие (5.88), Обращаясь к определению сопряженного оператора С», можно переписать это условие в следующей форме ') (ег'*егх, у) = (х, ч), ') Напомним, что оператор о'е называется сопряженнмм н оператору (), если лля любых е н у выполняется соотногпенне (е, (гу) = (у'г, у) Полагая я = ()л, получим (5.90).
линейные ОпеРАТОРы [гл ь нлн, иначе, для любых х и у выполняется равенство «и'и — Г)х, у) =О. Фиксируя в этом равенстве любой элемент х и считая у произвольным, получим, что линейный оператор и'и — Т действует по правилу (и'и — /)х= О Следовательно, и*и = 1. Совершенно аналогично можно убедиться, что ии' = /.
Таким образом, и и и' — взаимно обратные операторы, т. е. соотношение (5.89) выполнено. Необходимость условия теоремы доказана. 2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть выполнено условие (5.89). Тогда, очевидно, ии' = и'и = Е. Обращаясь к определению сопряженного оператора н используя только что написанные соотношения, получим при любых х и у равенства (их, иу)=(х, и*иу)=(х, гу)=(х, у).
Таким образом, условие (5.88) унитарности оператора выпол- нено, Следовательно, оператор и унитарный. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. 2. В процессе доказательства теоремы уста- новлено, что условие (5.88) унитарности оператора и н условие и*и= ии =~ (5.91) эквивалентны.
Таким образом, в основу определення унитарного оператора можно положить условие (5.91). Это условнетакжеможно называтьу слов и ем у и и та р- ности оператора и. Введем понятие н о р м а л ь н о г о оператора. Определение 2. Линейный оператор А называется и о р- и а л ь и ы м, если справедливо соотношение А'А = АА*.
(5.92) Обращаясь к условию (5.91) унитарности оператора и к усло- вию (5.92), мы видим, что любой унитарный оператор является нормальным оператором. Нам понадобится следующее вспомогательное утверждение. Лемма. Пусть А — нормальный оператор. Тогда оператор А и оператор Аь имеют общий собственный элемент е такой, что "1е'1 = 1, и справедливы соотношения Ае = Хе и А*е = Ае. Д о к а з а т ел ь с т в о. Пусть А — собственное значеннеопе- ратора А, и пусть )гь = )гег (А — М).
Иными словами, множество всех элементов х таких, что Ах — Ах = О. Убедимся теперь, что если х принадлежит ЯА, то н А*х при- надлежит К„. Действительно, если Ах = Хх (т. е. х Е ЯА), то, поскольку А — нормальный оператор, А (А*х) = А' (Ах) = А* 9х) = Х (А'х). 4 г) унитланыа и ноимлльныв опарьтоеы !45 Иными словами, вектор А*х является собственным вектором оператора А н отвечает собственному значению Л, т. е принадлежит Йь. Рассматривая далее оператор А* как оператор, действующий нз Яь в К„, и используя вывод следствия из теоремы 5 8 о том, что каждый линейный оператор имеет собственное значение, мы можем утверждать, что в Кь существует элемент е такой, что 1е)( = 1 н справедливы соотношения А'е = ре н Ав = Ле.
Используя эти соотношения и условие 1е1 =!, найдем (Ае, в)=(Лв, е)=Л'1еР=Л, (е, А'е)=(е, рв)=)л'1е'1' —— )л. Так как (Ае, е) = (в, А*е), то, очевидно, Л = р. Лемма доказана. Докажем теперь следующую теорему. Теорема б.30. Пусть А — нормальный оператор Тогда существует ортонормированный базис (вь), состоящий из собственных элементов операторов А и А*. Д о к а з а т е л ь с т в о, Согласно только что доказанной лемме операторы А и А» имеют принадлежащий У общий собственный элемент в„причем (~е,1 = 1. Собственные значения для операторов А и А*, соответствующие е„равны соответственно Л, и Л,. Пусть У, — ортогональное дополнение элемента в,, до пространства 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
