Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Справедливо следующее утверждение. Теорема б.б. Пусть в линейном пространстве У задан базис е1, ет, ..., е„, и пусть А = (аь) — квадратная матрица, содержащая и строк и и столбцов. Существует единственный линейный оператор А, матрицей которого в заданном базисе является матрица А. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Докажем сначала существование оператора А. Для этой цели определим значения Аеь этого опера- ЛИНЕЙИЫВ ОПЕРАТОРЫ !Гл. э тора на базисных векторах е» с помощью соотношения (5.13), полагая в этом соотношении а» равными соответствующим эле/ ментам заданной матрицы А. Значение оператора А на произвольном векторе л Е !!, разложение которого по базисным векторам е,, е„..., е„дается формулой (5,11), определим по формуле (5.12). Очевидно, построенный оператор линейный и матрицей этого оператора является матрица А . Единственность оператора А, матрнцей которого в базисе е,, е„ ..., е„ является матрица А, следует нз соотношений (5.13): с помощью этих соотношений единственным образом определяются значения оператора на базисных векторах. 3 а м е ч а н и е 3.
Пусть А и  — квадратные матрицы порядка л, А и  — отвечающие им линейные операторы в заданном базисе !е») пространства 1!. Из доказательства теоремы 5.5 следует, что матрице А + !.В, где А — некоторое число, отвечает линейный оператор А + ХВ (напомиим, что А, В и А + ХВ принадлежат 1. (У, 1')). Докажем следующую теорему.
Теорема б.б. Ранг линейного оператора А ровен рангу матрицыы А етого оператора: гапй А = ганя А. Доказательство. По определению гапдА = = б!ш (!ш А), а пи А — линейная оболочка векторов д»: гг» = ~Я а»е, ! ! ! (5.15) тапа АВ ~ гапй А, гапй АВ ~ гапй В, ганя АВ ~ ганя А + ганя  — л. Следствие 2. Обратный оператор А-' для оператора А существует только тогда, когда ранг матрицы А оператора А равен л (л = б!ш 1!). Отметим, что в этом случае существует также и обратная матрица А ' для матрицы А. (см. матричную форму записи оператора и определение ип А).
Поэтому гана А равен максимальному числу линейно независимых векторов В». Так как векторы е„е„..., е„линейно независимы, то, согласно (5.15), максимальное число линейно независимых векторов й» совпадает с максимальным числом линейно независимых строк (а», а», ..., а») матрицы А, т. е. с рангом А. Теорема доказана Пусть А и  — произвольные квадратные матрицы, содержащие л строк и л столбцов. Из теорем 5.3, 5А, 5.5 н 5.6 вытекают следующие следствия.
Следствие 1. Ранг гапй АВ произведения А и В удовлетворяет соотношениям аз] МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПТ 2. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Пусть У вЂ” линейное пространство, А — линейный оператор из 7. (У, У), е„е„..., е„и е„е„..„е„— два базиса в У и е = Е и»е„й=1, 2, ..., л (5.16) ~=1 — формулы перехода от базиса «е,) к базису «е»).
Обозначим через 0 матрицу (и,'): и = (и,'). (5.17) Отметим, что гапй (! = л. Пусть А =(а»!) и А=(а»!) (5.18) — матрицы оператора А в указанных базисах. Найдем связь между этими матрицами. Справедливо следующее утверждение. Теорема б.7. Матрицы А и А олератора А в базисах «е»« и «е»«соответственно связаны соотношением А (! »А(7, где (! 1 обратная матрица «) для матрицы У, определенной равенством (5.17). Д о к а з а т е л ь с т в о. Обращаясь к понятию матрицы линейного оператора, получим, согласно (5,18), л л Ае» = ~„'а»ег, Ае»= ~ а»ег.
(5.! 9) Г 1 ! ! Из определения линейного оператора, из формул (5.16) и из второй из формул (5.19) следуют соотношения / л л л Ае» = А ~ Е и»е,), Ае» = Е а» Х и!е!. 1=1 в=! ! 1 л л ! л Поэтому справедливо равенство ~ и»Ае! = ~~ ~~~ а»!и! е!. 1=1 ! 1 Подставляя в левую часть этого равенства выражение Ае, по первой из формул (5.19), найдем Х, 'иЯ ег= 2„'Е а,'и, 'е,. «1 Так как гани У = л, то обратная матраца У ' яяя матрацы У существует, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ггл. 3 ыв Так как (в,) — базнс, то из последнего соотношения вытекают равенства л л ~; и~а,'= ~; ахи~~, 1, я=1, 2, ..., и.
(5.20) Если обратиться к матрицам А, А и У (см. (5.17) и (5.18)), то соотношения (5.20) эквивалентны следующему матричному равенству: УА = Аи. Умножая обе части этого равенства слева на матрицу У ', получим требуемое соотношение А = У 'Аи. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Обратимся к формуле А = У гАУ.
Умножая обе части этого матричного равенства слева на матрицу У и справа на У ', получим соотношение А= УАУ', (5.21) представляющее собой другую форму связи между матрицами А н А линейного оператора А в разных базисах. 3 а и е ч а н н е 2 Пусть А и  — квадратные матрицы порядка и, А и  — отвечающие им линейные операторы в заданном базисе (е~) Как уже отмечалось (см замечание 3 предыдущего пункта) матрице А + ).В отвечает линейный оператор А + ХВ. Выясним вид матрицы этого оператора в базисе (е~). Пусть А и  — матрицы операторов А и В в базисе (вь).
Тогда, согласно (5 2!), имеем А = иАи-*, в =иви-. (5.22) Матрица линейного оператора А+ АВ в базисе (ех) имеет, согласно (5.21), следующий внд: У (А + ХВ) У *. Используя распределительное свойство умножения матриц, перепишем последнюю формулу следующим образом (напомним, что эта формула представляет собой матрицу линейного оператора А + ХВ в базисе (ех)): уАУ- (-л(иви-'). Обращаясь к соотношениям (5.22), видим, что матрица оператора А + ХВ в базисе «вх) записывается следующим образом: А + ХВ.
В частности, еслн  — единичная матрица, В = 1, то В / (см. замечание 2 предыдущего пункта н теорему 5.5), н поэтому г з1 МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 1!9 матрица линейного оператора А + И в базисе (е»» имеет вид А+ Л/. Следствие из теоремы д.7. бе1 А = с1е1 А. В самом депе, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то из равенства А = 0 »А У следует, что бе1 А = бе1 У 1 бе1 А йе1 У. (5.23) Поскольку бе1 У ' бе1 У = 1, то из соотношения (5.23) получаем равенство йе1 А бе1 А. Таким образом, определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. Поэтому можно ввести понятие определителя бе1А линейного оператора А, полагая бе1 А = бе1 А, (5.24) где А — матрица линейного оператора А в любом базисе.
3. Характеристический миогочлен линейного оператора. Пусть А — линейный оператор, а Š— тождественный оператор нз л. (Р, У). Определение Многочлен относительно Л йе1 (А — М) (5,25) называется х а р а к т е р и с т и ч е с к и м м и о г о ч л е и о м оператора А. Пусть з пространстве Кзадан базис»ел» и А = (а») — матрица оператора А в этом базисе. Тогда, согласно (5.24), характеристический многочлен (5.25) оператора А запишется следующим образом: а1 — Л в»~ ...
а", вз вз Л ° вз (5.26) йе1 (А — Л7) = Р„... о — Л Запишем характеристический многочлен (5.25), обозначая через й, коэффициент при Л»: бе1 (А — ЛХ) = Е й»Л». (5.27) 3 а м е ч а н и е 1. Так как значение определителя бе1 (А— — Л7) не зависит от выбора базиса, то коэффициенты й» характеристического многочлена в правой части (5.27) также не зависят от выбора базиса. Таким образом, коэффициенты йл хараиперистического многочлена оператора А представляют собой инварианты— величины, значения которых не зависят от выбора базиса. [г л.з лннеяныя опеэктоэы 120 В частности, коэффнпнент И„п равный, очевидно, а~ + + а~ + ... + а"„, является ннварнантом. Этот инвариант называется с л ед ом о и е р а то р а А н обозначается символом 1г А (от английского слова (гасе — след): 1г А а1 + а~ + ° ° ° + а,",.
(5.23) Замечание 2. Уравнение бе1 (А — Хl) = О (5.29) называется х а р а к т е р н стн ч ее к н м у р а в н е н н ем оператора А, й 3. Собственные значения н собственные векторы линейных операторов Пусть У, — подпространство п-меряого линейного пространства г' н А — линейный оператор из 1.(ч', у). Определение 1. Пространство $', назыоается и и в ариантным подпространством оператора А, если для каждого х, принадлежащего Ум элемент Ах также принадлежит 1',.
Примерами ннварнантных подпространств оператора А могут служить кег А н пп А. Определение х. Число Х называется с о б с т в е и и ы м зн ачен ием оператора А, если существует ненулевой вектор х такой, что Ах = Хх. (5.30) При этом вектор х называется с о б с т в е н н ы м в е и т о р о м оператора А, отвечающим собственному значению Х.
Справедливо следующее утверждение. Теорема б'8. Для того апобы число Х было собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (5.29) оператора А. До к а з а т ел ь с т в о. Пусть Х вЂ” собственное зяаченне опе« ратора А н х — собственный вектор, отвечающий этому А (х~ 0). Перепишем соотношение (5.30) в следующей форме: (А — М)х=О. Так как х — ненулевой вектор, то нз последнего равенства следует, что йег (А — М) ~ О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
