Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Считая, что т — целое число, меньшее и, предположим, что нам удалось построить т элементов е,, е„ ..., е„, линейно выражающихся через Г"„,)э, ...,,у". попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице. Докажем, что к этим элементам е,, е„..., е„, можно присоединить еще один элемент е,, линейно выражающийся через Г„,Гэ, ...,,г „, ортогойальный к каждому из элементов е„е„..., е и имеющий норму, равную единице. Убедимся в том, что этот элемент е +, имеет вид е„„=а „1)㠄— (Т" и е )е — (Т„,п е г)е„,— "- ...
— (Т„„, е,) е,1, (4.12) где а „вЂ” некоторое вещественное число. В самом деле, элемент е „линейно выражается через Тт, ..., Т „(в силУ того, что он линейно выРажаетсЯ чеРез е„ е„..., е, Т" „, а каждый из элементов е,,е,, ..., е„линейно выражается через,~„~в, ...,,)г ). Отсюда сразу же следует, что при а„„~ 0 элемент е „заведомо не я в л я е т с я н у л е в ы м (ибо в противном случае являлась бы нулевым элементом некоторая линейная комбинация линейно независимых элементов .~„,у„...,,)г „, в которой в силу (4.12) отличен от нуля коэффициент при у" +,). ') Напомним, что среди линейно неэависвмык элементов,~к,,~э, ..., ув не может быть нулевого элемента, тав что норма ~, болыне нуля. 9 З) ОРТОНОРМИРОВАННЫИ ВАВИС ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА 9! Л У(Л Л) е,= кз , где йз=,('з — ()'з, ез)в,; У((г (гз) вз ', где уз=,уз — (~з, в~Ез — (~'з, Ез)Е,; з'з У(в'з зз) е„=, где й„=,Гз — ()з„, ез з) ез з — " ° — (Гз, ез) е,.
Ю'з У(з' А' ) Указанный алгоритм обычно называют и р о ц е с с о м о рт о г о н а л и з а ц и и линейно независимых элементов Л" .г' 3 а м е ч а н и е, Конечно, в каждом и-мерном евклидовом пространстве Е существует много ортонормированиых базисов. Действительно, если например, строить ортонормированный базис процессом ортогонализации одних и тех же линейно независимых элементов ./;, Д„..„~„, то, начиная процесс ортогонализации с различных элементов )з», мы придем к различным ортонормированным базисам.
Ниже, в и. 2 9 7 гл. 7 будет рассмотрен вопрос о том, как связаны между собой различные ортоиормированные базисы данного евклидова пространства Е. Примером ортонормированного базиса может служить декартов прямоугольный базис евклидова пространства" всех Далее из того, что элементы ез, ез, ..., е,з попарно ортогональны и имеют нормы, равные единице, и из соотношения (4 !2) СРаЗУ жЕ ВЫтЕКаст. Чта СКаЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕАЕИИЕ (В „.
Ез) РаВНО нулю для любого номера Ф равного ), 2,..., т. Для завершения индукции остается доказать, что число и „ можно выбрать так, что норма элемента (4 (2) будет равна единице. Выше уже установлено, что при и „~ О элемент в „, а, стало быть, и элемент, заключенный в (4 (2) в квадратные скобки, не является нулевым, Стало быть, для того чтобы нормировать элемент, заключенный в квадратные скобки, следует взять число зз „обратным положительной норме этого заключенного в квадратные скобки элемента.
При этом норма в „ будет равна единице. Теорема доказана. Доказанная теорема приводит к следующему осуществляемому шаг за шагом алгоритму построения по данной системе п линейно независимых элементов ~,,,7з, ..., ~„ системы н попаРно оРтогональных элементов е„е„..., е„, норма каждого из которых равна единице: ВВклндОВЫ пРОстРАнстВА свободных векторов нли совокупность л элементов е, (1,0,0,„.,0), е, (0,1,0,...,0), е„(О,О,О,...,Ц евклидова пространства Е" всех упорядоченных совокупностей л вещественных чисел со скалярным произведением (4.2).
2. Свойства ортонормироаанного базиса. Пусть е„е„... ..., е„— произвольный ортонормированный базис л-мерного евклидова пространства Е, а х и у — два произвольных элемента этого пространства. Найдем выражение скалярного произведения (х, у) этих элементов через их координаты относительно базиса е„ е„..., е„. Обозначим координаты элементов х и у относительно базиса е„ е„ ..., е„ соответственно через х„ х„ ..., х„ и у„ у„ ..., у„, т. е. предположим„что х= х,е, + х,е, + ... + х„е„, у = у,е, + +У!аз+" + у„е„.
Тогда (х, у) = (х,е, + х,е., + ° ° ° + х„е„, у,е, + у,е, +,...+ у е ) Из последнего равенства в силу аксиом скалярного произведения и соотношений (4.10) получим ( и п и л (х, у) = ~ ~ х(е„Д уаек) = ~„'~ х(уа (е,е,) ! ! Ф=! , (Ф ! х,у, + х,у, + ° " + х„у„, Итак, окончательно, (х, у) х,у,+х,у,+ ° ° ° +х„у„. (4.13) Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произ. ведение двух любых элементов ровно сумме произведений соответ- ствующих координат втих элементов. Рассмотрим теперь в л-мерном евклидовом пространстве Е совершенно произвольный (вообще говоря, не ортонормирован- ный) базис ~„,)г„..., .Т".„и найдем выражение скалярного про- изведения двух произвольных элементов х и у через координаты этих элементов относительно указанного базиса. Обозначим координаты элементов х и у относительно базиса .('„ .(м ..., у„ соответственно через х„ х„ ..., х„ и уг, у„ ..., у„, т, е.
предположим, что х = х!,Т! + х,д + ° . ° + х„~„, у уг,(л(+ у,я, + ° ° ° + у„,1'„. Пользуясь аксиомами скалярного произведения, получим (х, у) =(х,рг+х,Я,+ "° +х„,1"„, у,Я!+у,Д,+. ° ° +у„у„) = и л и и =~Ях(~„Е у.~.') =Я Я х(у„(~(, Я. ( 1 йа! (агй ! аз) оэтоноэмнэсвлиныя влэис вВклидовк пэостялнстэл дз Таким образом, в произвольном базисе.г«, ~„..., ~„скалярное произведение двух любых элементов х = х«~! + х,~, + ... + х„~„ и у = у«Л + у,л + ... + у„,1'„определяеп!ся равенством и л (х, у)= ~ ~ а!«х,у„, (4.14) ! !ь ! в котором матрица 1а!«1(! = 1, 2, ..., и; я = 1, 2, ..., и) имеет элементы ам = (г! Уь) Последнее утверждение приводит к следующему результату: для того чтобы в данном базисе Г«, ~ы ..., Я,евклидовапространства Е скалярное произведение двух любых элементов было ровно сумме произведений соопметствующих координат этих элементов, необходимо и достаточно, чтобы базис ~„~, ..., ~„был ортонормированным.
В самом деле, выражение (4.14) переходит в (4.13) тогда и только тогда, когда матРица 1а!ь'1 с элементами а!„—— (,~„~„) является единичной, т, е. тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (1 при !=к, (~" ©='(О прн (~й, устанавливающие ортонормированность базиса,~«, Д«, ..., ~„. Вернемся к рассмотрению произвольного ортонормированного базиса е„е,, е„п-мерного евклидова простраяства Е. Выясним смысл координат произвольного элемента х относительно указанного базиса. Обозначим координаты элемента х относительно базиса е„ е„..., е„через х,, «~, ..., х„, т.
е. предположим, что х = х,е, + х,е, + ° ° ° + х„е„. Обозначим далее через й любой из номеров 1, 2, ..., и и умножим обе части (4.15) скалярно на элемент еь. На основзнии аксиом скалярного произведения и соотношений (4.10) получим ! л л (х, е„) = ~ 2, х!е„е,~ =',)' х, (е,, е,) = х,. ! а ! Таким образом, координаты произвольного элемента относительно ортонормированного базиса ровны скалярным произведениям этого элемента на соответствующие базисные элементы. Поскольку скалярное произведение произвольного элемента х на элемент е, имеющий норму, равную единице, естественно назвать проекцией элемента х на элементе, то можно сказать, что координаты произвольного элемента относительно ортонормированного базиса равны проекциям этого элемента на соответствующие базисные элементы. езклидовы пэостэанстаа !гл.
4 Таким образом, произвольный ортонормированный базис обладает свойствами, вполне аналогичными свойствам декартова прямоугольного базиса. 3. Разложение и-мерного евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Пусть 6 — произвольное подпространство и-мерного евклидова пространства Е. Совокупность Г всех элементов у пространства Е, ортогональных к каждому элементу х надпространства 6, называется о ртогональным дополнением надпространства 6.
Заметим, что ортогональное дополнение Е само является подпространством Е (нбо из ортогональности каждого из элементов у, и у, элементу х, очевидно, вытекает, что и любая линейная комбийацня элементов у, и у, ортогональна элементу х).
Докажем, что всякое и-мерное евклидово пространство Е предсглавляет собой прямую сумму своего произвольного надпространства 6 и его ортогонального дополнения Е. Выберем в 6 произвольный ортонормированный базис и„ и„..., ею В силу доказанного в и. ! $ 3 гл. 2 этот базис можно дополнить элементами ~д„, ..., ~„пространства Е до базиса во всем Е. Произведя п р о ц е с с о р т о г о н а л и з а ц и и элементов е,, ..., еь, Д,ь ..., ~„, мы получим ортонормированный базис е„..., еь, еээ„..., е„всего пространства Е. Разложив произвольный элемент х пространства Е по этому базису, т.
е. представив его в виде х = х,е, + ... + хсеь + хь„е„„+ ... + + х„е„, мы получим, что этот элемент х однозначно представим в виде х = х'+ х", где х' = х,е, + ... + х„ед совершенно определенный элемент 6, а х" = хь„е~„+ ... + х„е„— совершенно определенный элемент ортогонального дополнения г (каждый элемент е~„, ..., е„ортогоналеи к любому из элементов и„..., ем а потому ортогоиалеи любому элементу 6; поэтому н линейная комбинация х„,е„„ + . + х„е„ ортогональна к любому элементу 6, т, е. является совершенно определенным элементом г).
4. Изоморфизм и-мерных евклидовык пространств. В этом пункте мы покажем, что различные евклндовы пространства одной и той же размерности и в смысле свойств, связанных со введенными в этих пространствах операциями, по существу не отличаются друг от друга.
Поскольку в евклидовых пространствах введены лишь операции сложения элементов, умножения элементов на числа и скалярного перемножения элементов, то естественно сформулировать следующее определение. Определение. Два евклидовых пространства Е и Е' называются из о м о р фн ы м и, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам х и у пространства Е отвечают соот- 4 з1 хомплакснов евклидово пространство 95 ветственно элементы х' и у' пространства Е', то элементу х + у отвечает элемент х' + у'. элементу дх (ири любом вещественном Х) отвечает элемент ) х' и скалярное произведение (х, у) равно скалярному произведению (х', у'). Таким образом, евклидовы пространства Е и Е' изоморфны, если они изоморфны как линейные пространства ') и если этот изоморфизм сохраняет величину скалярного произведения соответствующих пар элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
