Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Итак, совокупность всех решений однородной системы (3.7) образует линейное пространство, которое мы обозначим символом 1с. Найдем размерность этого пространства Я и построим в нем базис. Докажем, что в предположении о том, что ранг матрицы однородной системы (3,7) равен г, линейное пространство Я всех решений однородной системы (3.7) изоморфно линейному пространству А"-' всех упорядоченных совокупностей (и — г) чисел е).
') Простреиство Ае! введеио в примере 3 и. 1 $1 гл. 2. 3 2! Отысканив Рвшений линейнОй системы тт — М'(о'('+и), 1 О, ... 01 е ("~ (~+2)) О Х = ( — М1( "+1)) М ~ ° з Ъ. 1(О((е+2)) -'=(- М (3. 25) )( ( м1 (аь) ме (аы) О О 1) Поставим в соответствие каждому решению (с„..., с„с„„... ..., с„) однородной системы (3.7) элемент (с„2, ..., с„) пространства А"-'.
Поскольку числа с„), ..., с„могут быть выбраны произвольно и при каждом выборе с помощью формул (3.24) однозначно определяют решение системы (3.7), то установленное нами соответствие является в з а и м н о од н оз н а ч н ы м. Далее заметим, что если элементы (с(п(, .„, с„"') и (с,",)... с(2)) пространства А" ' отвечают элементам (с((", „с,'", с(,'),(1)) и (с), ..., с,, с,+1, ..., с„) пространства И, то нз формул (3 24) (2) (2) (2) (2) сразу же следует, что элементу (с(+1 + с(',)„..., сп' + с(") отвечает элемент (с(1" + с)(", ..., с,'" + с('), сЯ + с,',"1, ...,с„") + с(2)), а элементу ()(с1,"1, ...
Хсп)) при любом вещественном Х отвечает элемент (Хс(1", ..., Хоп), )с(д, ..., Хс("). Тем самым доказано, что установленное нами соответствие является изоморфизмом. Итак, линейное пространство )с всех решений однородной системы (3.7) с и неизвестными и рангом основной матрицы, равны,ч т, изол(орфно пространству А"-', и, стало быть, имеет размерность и — е. Любая совокупность из (и — г) линейно независимых решений однородной системы (3.7) образует (в силу теоремы 2,5) базис в пространстве )х всех решений и называется фу и дам е итальной совокупностью решений однородном системы (3.7).
Для построения фундаментальной совокупности решений можно отправляться от любого базиса пространства А"-', Отвечающая этому базису совокупность решений системы (3.7) в силу изоморфизма будет линейно независимой и поэтому будет являться фундаментальной совокупностью решений, Особо выделяют фундаментальную совокупность решений системы (3.7), отвечающую простейшему базису е, = (1, О, О, ..., О), е, = (О, 1, О, ..., 0), ... е„, = (О, О, О, ..., 1) пространства А"-' н называемую нормальной фундаментальной сов оку п костью решений однородной системы (3.7).
При сделанных выше предположениях о ранге и расположении базисного минора, в силу формул (3.24), нормальная фундаментальная совокупность решений однородной системы (3.7) имеет внд: системы линейных уРАВнений По определению базиса любое решение Х однородной системы (3.7) представимо в виде Х = С,Х, + С,Х,+...+С„„Х„„ (3.28) где фф..., Се е — некоторые постоянные.
Поскольку в формуле (3.28) содержится любое решение однородной системы (3.7), то эта формула дает общее р еш е н не рассматриваемой однородной системы. П р и м е р. Рассмотрим однородную систему уравнений хд ха + ха ха Ою хд+ х +2х + Зха=О, 2х, +4х, +бх,+ 10х,= О, 2х, — 4ха+ ха — бхе = О, (3.27) соответствующую неоднородной системе (3.21), разобранной в примере в конце предыдущего пункта.
Там мы выяснили, что ранг г матрицы этой системы равен двум, и взяли в качестве базисного минор, стоящий в левом верхнем углу указанной матрицы. Повторяя рассуждения, проведенные в конце предыдущего пункта, мы получим вместо формул (3.22) соотношения з сд = — — са — се, се = — са — 2се, справедливые при произвольно выбранных с, и с,.
С помощью этих соотношений (полагая сначала с, = 1, с, = О, а затем с, = О, с, = 1) мы получим нормальную фундаментальную совокупность двух решений системы (3.2?): Хд=( — е > — ~, 1, 0), Х,=( — 1, — 2; О, 1). з Общее решение однородной системы (3.27) имеет вид Х= С,( — ~, — ~, 1, 0) +С,( — 1, — 2, О, !), (328) ") С теми же самыми коэффыцмевтамм прм мекзвестымк.
где Сд и С, — произвольные постоянные. В заключение этого пункта установим связь между решениями неоднородной линейной системы (3.1) и соответствующей ей однородной системы (3.7) '). Докажем следующие д в а у та е р ж д е н и я. 1'. Сумма любого решения неоднородной системы (3.1) с любым решением соотеетствуюи(ей однородной системы (3.7) представляет собой решение системы (3.1). а а1 ОТЫСКДНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 79 В самом деле, если с„..., с„— решение системы (3.1), а й„..., а„— решение соответствующей ей однородной системы (3.7), то, подставив в любое (например, в з-е) уравнение системы (3.1) на место неизвестных числа с! + йт, ..., с„+ йя, получим и н н Я ан (с!+ й>) = Д ацс> -(- Я а!тй! = б, + 0 = б!, ! ! у=! у ! что и требовалось доказать. 2'.
Разность двух произвольных решений неоднородной системы (3.1) является решением соответствующей однородной системы (3 7) В самом деле, если с!, ... ° с'„и с;, ..., с"„— два произвольных решения системы (3.1), то, подставив в любое (например, в г-е) уравнение системы (3.7) на место неизвестных числа с! — с!, ... ..., с„' — с„, получим н н н ~~ аи(с) — с!) = Е аис! — Е аг!с! — — бс — бг = О, у ! ! ! г=! что и требовалось доказать. Из доказанных утверждений вытекает, что; найдя одно решение неоднородкой системы (3.1) и складывая еео с каждым решением соответствующей однородной системы (3.7), мы получим все решения неоднородной системы (3.1).
Другими словами, сумма частного решения кеодкородной системы (3.1) и общего решения соответствующей однородной сиспымы (3.7) дает общее решение неоднородной системы (3.1). В качестве частного решения неоднородной системы (3.1) естественно взять то его решение ') которое получится, если в формулах (3.20) положить равными нулю все числа с„„, ..., с„. Складывая зто частное решение с общим решением (3.26) соответствующей однородной системы, мы получим следующее выражение для общего решения неоднородной системы (3.1): Х = Х, + С,Х! + СаХз + ...
+ С„„Х„„. (3.30) В зтом выражении Х, обозначает частное решение (3.29), С„ С„..., С„„— произвольные постоянные, а Х,, Х„..., Х„, элементы нормальной фундаментальной совокупности решений (3.25) соответствующей однородной системы. е) При этом предполагается, хан и выще, что ранги основной н расщиренной матриц системы (3. Ц равны г н что базисный минор находится в левом верхнем углу этих матриц. системы линейных уРАВнениЙ (Гл. 3 Так, для рассмотренной в конце предыдущего пункта неоднородной системы (3.21) частное решение вида (3.29) равно Х, = (6, 2, О, 0). Складывая это частное решение с общим решением (3.28) соответствующей однородной системы (3.27), мы получим следующее общее решение неоднородной системы (3.21): Х=(6, 2, О, 0)+С,( — —, — —, 1, 0)+Се( — 1, — 2, О, 1).
з (Здесь С, и С, — произвольные постоянные.) 4. Заключительные замечания о решении линейных систем. Развитые в предыдущих пунктах методы решения линейных систем упираются в необходимость вычисления ранга матрицы н нахождения ее базисного минора. После того как базисный минор найден, решение сводится к технике вычисления определителей и к использованию формул Крамера. Для вычисления ранга матрицы можно использовать следующее и р а в и л о: при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам ббльших порядков; при этом, если уже найден отличный от нуля минор М порядка й, то требуют вачисления лишь миноры порядка (й + 1), о к а й м л я ю щ и е «) втот минор М; в случае равенства нулю всех окаймляющих миноров порядка (у+1) ранг матрицы равен Ф '«).
Укажем н другое правило вычисления ранга матрицы. Заметим, что со строками (столбцами) матрицы можно производить т р и эл ем е н т а р н ы е о п е р а ц и и, не изменяющие ранга этой матрицы: !) перестановку двух строк (или двух столбцов), 2) умножение строки (или столбца) на любой отличный от нуля множитель, 3) прибавление к одной строке (столбцу) произвольной линейной комбинации других строк (столбцов) '*'). Будем говорить, что матрица ~ац), содержащая т строк и и столбцов, имеет д и а г о н а л ь н ы й вид, если равны нулю все ее элементы, отличные от агн ааь ..., а„„где г = ппп (т„п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
