Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ранг такой матрицы, очевидно, равен г. Убедимся в том, что посредством трех элементарных операций любую матрицу (3.31) ") То есть еодержзп(не внутри себя минор М. «') В самом деле, э укзззпном случае нее строки (столбцы) мзтрнцы принадлежат линейной оболочке ее й строк (стоябцон), ие пересечении которых стоит минор М, з резиерность указанной линейной оболочки ренин Ь.
«'") Зти три оперзцни ие изменяют ранга матрицы вследствие того. что оперзцин !) и 2) ие нзиеняют изкснизяьного числа линейно неззннсныых строк (етохбцоэ) матрицы, н операция 3) обделает теи свойством, что лннейизя оболочке всех строк (етолбцон)„ ииенюихся до проведения этой операции, совпадает с линейной оболочкой всех строк (столбцон), подученных восле пронедеиня этой операции, «21 ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 81 можно привести к диагональному виду (что и позволяет вычислить ее ранг), В самом деле, если все элементы матрицы (З.З!) равны нулю, то эта матрица уже приведена к диагональному виду.
Если же у матрицы (3.31) есть отличные от нуля элементы, то путем перестановки двух строк н двух столбцов можно добиться того, чтобы был отличен от нуля элемент аи. Умножая после этого первую строку матрицы на аи, мы превратим элемент аи в единицу.
— ! Вычитая далее из (Его столбца матрицы (при 1 = 2, 3, ..., и) первый столбец, умноженный на а«и а затем вычитая из (-й строки (при 1 = 2, 3, ..., л) первую строку, умноженную на асо мы получим вместо (3.31) матрицу следующего вида: о Совершая уже описанные нами операции с матрицей, взятой в рамку, н продолжая действовать аналогичным способом, мы после конечного числа шагов получим матрицу диагонального вида.
Изложенные в предыдущих пунктах методы решения линейных систем, использующие в конечном итоге аппарат формул Крамера, могут привести к большим погрешностям в случае, когда значения коэффициентов уравнений и свободных членов заданы приближенно или когда производится округление этих значений в процессе вычислений.
В первую очередь это относится к случаю, когда матрица, отвечающая основному определителю (или базисному минору), является п л о х о о б у ел о вл е н н о й (т. е. когда «малым» изменениям элементов этой магрицы отвечают «большие» изменения элементов обратной матрицы). Естественно, что в этом случае решение линейной системы будет н е у сто й ч и в ы м (т. е. «малым» изменениям значений коэффициентов уравнений и свободных членов будут зтвечать «большие» изменения решения).
Отмеченные обстоятельства приводят к необходимости разработки как других (отанчных от формул Крамера) теоретических алгоритмов отыскания решения, так и численных методов решения линейных систем. В$4 главы4 мы познакомимся еметодом регул я р и- 2 а ц и н А. Н.
Тихонова отыскания так называемого н о р м а л ьз о г о (т. е. наиболее близкого к началу координат) решения пикейной системы. В главе б будут изложены основные сведения о так назы2аемыхитер аци о нных метода х решениялинейныхси:тем, позволяющих решать эти системы при помощи последова2ельных приближений неизвестных. ГЛАВА 4 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Из курса аналитической геометрии читатель знаком с понятием скалярного произведения двух свободных векторов и с четырьмя основными свойствами указанного скалярного произведения.
В настоящей главе изучаются линейные пространства любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем, безразлично каким) определено правило, ставящее в соответствие любым двум элементам число, называемое с к алярным произведением этих элементов. При этом важно только, чтобы это правило обладало теми же четырьмя свойствами, что и правило составления скалярного произведения двух свободных векторов. Линейные пространства, в которых определено указанное правило, называются е в к л и д о в ы и и п р о ст р а н с т в а м и. В настоящей главе выясняются основные свойства произвольных евклидовых пространств.
й 1, Вещественное евклидова пространство и его простейшие свойства 1. Определение вещественного евклидова пространства. Вещественное линейное пространство Я называется в г щ е с т ее ни ы м е в к л и д о е ы м пространством (или просто г в к л ид о в ы м пространством), если выполнены следующие два требования: 1. Имеется правило, носргдством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещгственное число, называемое с к а л яр н ы м и р о и з в гдгн и г м этих элементов и обозначаемое символом (х, у).
11. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам: 1'. (х, у) = (у, х) (переместнтельное свойство или симметрия). 2'. (х, + х„у) = (х,, у) + (хг, у) (распределительное свойство). 3'. (Хх, у) = Х (х, у) для любого вещественного к. 4', (х, х) > О, если х — ненулевой элемент; (х, х) = О, если х — нулевой элемент. Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объек- й~) ВЕШЕСТВЕННОе еВклндОВО ПРОСтРАНстВО 83 тов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворили восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).
Если же природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны, то евклидово пространство называется к о нкретным. Приведем примеры конкретных евклидовых пространств. П р и м е р 1. Рассмотрим линейное пространство В, всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как зто было сделано в аналитической геометрии (т, е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1' — 4' '), Стало быть, пространство Ва с так определенным скалярным произведением является евклидовым пространством.
П р и м е р 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство С [а, Ь) всех функций х(г), определенных и непрерывных на сегменте а ~ г ~ Ь. Скалярное произведение двух таких функций х (!) и у (1) определим как интеграл (в пределах от а до Ь) от произведения этих функций ) х(1) у(1) сУ. а (4.1) ') См. выпуск «Аналитическая геометрия», гл. 2, 4 2, и. 3. ') См.
выпуск «Основы математического анализа», часть 1, свойства 1' и 2' иа п. 1 4 6 гл, )О. Элементарно проверяется справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1' — 4'. В самом деле, справедливость аксиомы 1 очевидна; справедливость аксиом 2' и 3' вытекает из линейных свойств определенного интеграла; спра- 6 ведливость аксиомы 4' вытекает из того, что интеграл ) х«(1) Й от непрерывной неотрицательной функции х' (г) неотрицателен и обращается в нуль лишь тогда, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте а к г ~ Ь*«) (т. е.
является нулевым элементом рассматриваемого пространства). Таким образом, пространство С [а, Ь) с так определенным скалярным произведением представляет собой бесконечномерное евклидово пространство. П р и м е р 3. Следующий пример евклидова пространства ДаЕт П-МЕРНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСтРаНСтВО Аа УПОРЯДОЧЕННЫХ СОВО- авклидовы пространства 1гл. е наконец, справедливость аксиомы 4' вытекает из того, что (х, х) = х1 + хэ э+ ...
+ х„всегда является неотрицательным числом и обращается в нуль лишь при условии х, = х, = ... = х„= О. Рассмотренное в этом примере евклидово пространство часто обозначают символом Е". П р и м е р 4. В том же самом линейном пространстве А" введем скалярное произведение любых двух элементов л = (х„ х„ ..., х„) и у = (у„ у,, ..., у„) не соотношением (4.2), а другим более общим способом. Для этого рассмотрим квадратную матрицу порядка п 1( аы а„ А= ам аээ ~ат а„э (4.3) Составим с помощью матрицы (4.3) однородный многочлен вто. рого порядка относительно и переменных хы хэ, ..., х„ а и ~ ~~ а~эх,хэ. 1 э=1 Забегая вперед, отметим, что такой многочлен называется к в а д р а т и ч н о й ф о р м о й (порождаемой матрицей(4.3))').
Квадратичная форма (4.4) называется п о л о ж и т е л ь и о о п р е д е л е н н о й, если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных хм хэ, ..., х„, одновременно не равных нулю "). Так как при х, = х, = ... = х„= О квадратичная форма (4.4), очевидно, равна нулю, то можно сказать, что положительно определенная квадратичная форма обраи(ается в нуль лишь при условии х, = хэ = ... = х„= О. ') Квадратичные формы систематически научаются н главе 7 этой книги. ") В главе 7 этой нннгн будет укэээнп неабходнмое н достаточное услаэне положнтельной ппределенностн кнэдрэтнчной формы.
купностей и вещественных чисел, скалярное произведение двух любых элементов х = (х,, хэ, ..., х„) и у = (у,, у„..., у„) которого определяется равенством (х, у) =х,уэ+хэу + ° ° ° + х„у,, (4.2) Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиомы 1 очевидна; справедливость аксиом 2' и 3 легко проверяется (достаточно вспомнить определение операций сложения элементов и умножения их на числа: (х„х„..., х„)+ (у„у„..., у„) = = (хэ+ у„», + у,, ..., х„+ у„) Л(хы х„..., х„) =(Ххь Хх„..., Хх„)); в п1 вещественное евклндово пэостэднство аз (х, у)= ~ ~ амх,уд. 1д (4.5) Легко проверить справедливость для так определенного ока. лярного произведения всех аксиом 1' — 4'. В самом деле, аксиомы 2 и 3, очевидно, справедливы при совершенно произвольной матрице (4.3); справедливость аксиомы 1' вытекает из условия симметричности матрицы (4.3), а справедливость аксиомы 4' вытекает из того, что квадратичная форма (4.4), представляющая собой скалярное произведение (х, х), является положительно определенной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
