Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 16
Текст из файла (страница 16)
формулу (!.41) яэ и. т 4 2 гл. 1 ° где Š— единичная матрица (см. п.7 52 гл. 1), А 1(АХ) = = (А 'А) Х = ЕХ = Х, так что мы получим из (3.17) Х = А 1В. (3.18) Развертывая равенство (3.!8) и учитывая вид обратной матрицы '), мы и получим для элементов столбца Х формулы Крамера. Итак, мы доказали, что если решение матричного уравнения (3.16) существует, то оио однозначно определяется соотношением (3.18), эквивалентным формулам Крамера. Легко проверить, что столбец Х, определяемый соотношением (3.!8), в самом деле является решением матричного уравнения (3.16), т.
е. при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. В самом деле, если столбец Х определяется равенством (3.18), то АХ = А (А 'В) = (АА ') В = ЕВ = В. Итак, если определитель Ь матрицы А отличен от нуля (т. е. если эта матрица является невырожденной), то сум4ествует и притом единственное решение матричного уравнения (3.16), определяемое соотноигением (3.18), эквивалентным формулам Крамера. П р и м е р. Найдем решение квадратной системы линейных уравнений й а1 отыскании рвшвния линаяиоп систвмы 73 то в силу формул Крамера единственное решение рассматривае.
мой системы имеет видх,=1, х,=2, х,=3, х,=4. Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают явное выражение для решения квадратной системы линейных уравнений (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений н свободные члены. Практическое использование формул Крамера связано с довольно громоздкими вычислениями (для решения системы и уравнений с и неизвестными приходится вычислять(п + 1) определитель п-го порядка). К этому следует добавить, что если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких-либо измеряемых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам и в ряде случаев является нецелесообразным. В $4 гл.
4 будет изложен метод регуляризацин, принадпежащий А. Н. Тихонову и позволяющий находить решение линейной системы с точностью, соответствующей точности задания матрицы коэффициентов уравнений н столбца свободных членов, а в главе б дается представление о так называемых итерационных методах решения линейных систем, позволяющих решать эти системы при помощи последовательных приближений неизвестных. В заключении отметим, что в этом пункте мы исключили из рассмотрения случай обращения в нуль определителя Ь основной матрицы системы (3.10).
Этот случай будет содержаться в обшей теории систем гп линейных уравнений с и неизвестными, излагаемой в следующем пункте. 2. Отыскание всех решений общей линейной системы. Рассмотрим теперь общую систему ш линейных уравнений с и неизвестными (3.1).
Предположим, что эта система совместна и что ранг ее основной и расширенной матриц равен числу г. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что базисный минор основной матрицы (3.2) находится в левом верхнем углу этой матрицы (общий случай сводится к этому случаю посредством перестановки в системе (3,1) уравнений и неизвестных). Тогда первые г строк как основной матрицы (3.2), так и расширенной матрицы (3.8) являются базисными строками этих матриц '), и по теореме 1.6 о базисном миноре каждая из строк расширенной матрицы (3.8), начиная с (г + 1)-й строки, является линейной комбинацией первых г строк втой матрицы.
В терминах системы (3.1) это означает, что каждое из уравнений этой системы, начиная с (г + 1)-го уравнения, является е) Так как ранги основной н расширенной матриц оба равны г, то базисный минор осноиной матрицы будет одновременно являться баансным мйнором н расширенной матрицы. системы ливайн ы х талана нии 1гл, з линейной комбинацией (т.
е. следствием) первых г уравненнй этой системы (т. е. всякое решение первых г уравнений системы (3.!) обраи(ает в тождества и все последуюи(ие уравнения этой сиспымы). Таким образом, достаточно найти все решения лишь первых г уравнений системы (3,1), Рассмотрим первые г уравнений снстемы (3.1)„записав их в виде апх!+ а!охо+ ° ° ° + а!,х =(!! — а! <„!!х, ! — ° ° ° — а!„х„! амх! + амхо + ° ° ° + хмх, = (!! — ао !„их,+! — ° - - — а,„х„, ао!х! + аах! + ' ' + атеях~ (г~ а~ !»+!!хо+! — ' ' ' аг»х», (3.19) Если мы придадим неизвестным х,+„..., х„совершенно произвольные значения с,„,, ..., с„, то система (3.19) превратится в квадратную систему г линейных уравнений для г неизвестных х„х„..., х„причем определителем основной матрицы этой системы является отличный от нуля базисный минор матрицы (3.2).
В силу результатов предыдущего пункта эта система (3.19) имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера, т. е. для произвольно выбранных с,+„ ..., с„ существует единственная совокупность г чисел с,, с„..., с„обращающих в тождества все уравнения снстемы (3.19) и определяющихся формулами Крамера. Чтобы записать это единственное решение, договоримся обозначать символом М, (й,) определитель, получающийся из базисного минора М матрицы (3.2) заменой его (сто столбца столбцом из чисел 4, ам ..., й„..., а, (с сохранением без изменения всех остальных столбцов М).
Тогда записывая решение системы (3.19) с помощью формул Крамера н пользуясь линейным свойством определителя, мы получим ! сг э! Мг((!! сч !г+!!с~+! — ' ' ' а!»с») » — (Мг (Ь!) — с,+!М! (аг! -!.!! — ' — с»М! (а»Н (3 20) ! (1=1, 2, ..., г). Формулы (3.20) выражают значения неизвестных х! — — сг (! = 1, 2,, г) через коэффициенты при неизвестных, свободные члены н произвольно заданные параметры с„„, ..., с„.
Докажем, что формулы (3.20) содержат любое решение системы (3.1). В самом деле, пусть с!, со, ..., с„с,+!, ..., с„— произвольо о о о о ное решение указанной системы. Тогда оно является решением и системы (3.19). Но из системы (3.19) величины с!, со, ..., с, о о о определяются через величины с„„..., с, однозначно н именно о о о по формулам Крамера (3.20). Таким образом, прис„! с„!, ... О з1 отысклниа оешкния линаиноя системы 75 ..., с„= с„формулы (3.20) дают нам как раз рассматриваемое о о о о о о решение сь сз, ..., с„с,», ..., с,. 3 а м е ч а н н е. Если ранг г основной и расширенной матриц системы (3.1) равен числу неизвестных и, то в этом случае соотношения (3.20) переходят в формулы определяющие ед и н с т в е н н о е решение системы (3.1). Таким образом, система (3,!) имеет единственное решение (т. е.
является определенной) при условии, что ране г основной и расширенной се матриц равен числу неизвестных п (и меньше числа уравнений т или равен ему). П р и м е р. Найдем все решения линейной системы х,— х,+х,— х,=4, Хз + Хз + 2Хз + ЗХ4 = 8, 2х, + 4х, + бхз + 10х, = 20, 2х, — 4хз+хз — бхз=4. (3.21) Нетрудно убедиться в том, что ранг как основной, так и расширенной матрицы этой системы равен двум (т. е.
эта система совместна), причем можно считать, что базисный минор М стоит в левом верхнем углу основной матрицы, т. е, М=~! ~=2. Но тогда, отбрасывая два последних уравнения и задавая произвольно с, и с„мы получим систему хз — хо= 4 — сз+ сз, Хз + Хз 8 — 2Сз — Зев, нз которой в силу формул Крамера получаем значения 3 1 х, = с, = 6 — — с, — с,, х, = сз = 2 — — сз — 2сз.
(3.22) 2 ' 2 Таким образом, четыре числа ( 3 1 6 — 2 сз — см 2 — 2 с,— 2с,, сз сз) (3. 23) при произвольно заданных значениях с, и с, образуют решение системы (3.21), причем строка (3.23) содержит все решения этой системы. 3. Свойства совокупности решений однородной системы. Рассмотрим теперь однородную систему т линейных уравнений с и неизвестными (3,7), предполагая, как и выше, что матрица (3.2) систвмы лииияиых грлвиииия сгл. в 7В имеет ранг, равный г, и что базисный минор М расположен в левом верхнем углу втой матрицы.
Поскольку на этот раз все Ь! равны нулю, вместо формул (3.20) мы получим следующие формулы: 1 с1 = — — 1с!+!М!(а!!г+!1)+ ° ° ° +с„М,(а1„)) (1=1, 2..., г), (3.24) выражающие значения неизвестных х! = с! (/ = 1, 2, ..., г) через коэффициенты при неизвестных и произвольно заданные значения с„„..., с„. В силу доказанного в предыдущем пункте формулы (3.24) содержат любое решение однородной системы (3.7).
Убедимся теперь в том, что совокупность всех решений однородной системы (3.7) образует линейное пространство. Пусть Х! (х[", ..., х„'") и Хт = (х[", ..., х„' ') — два произвольных решения однородной системы (3.7), а Х вЂ” любое вещественное число. В силу того, что каждое решение однородной системы (3.7) является элементом линейного пространства А" всех упорядоченных совокупностей и чисел, достаточно доказать, что каждая из двух совокупностей Х! +Хе= (х[!!+ х[е1, ..., х!!1+ х! !) и ХХ! = ()!х['1, ..., )!х1~!) также является решением однородной системы (3.7). Рассмотрим любое уравнение системы (3.7), например 1-е урав- нение, и подставим в это уравнение на место неизвестных эле- менты указанных совокупностей. Учитывая, что Х, и Х, — реше- ния однородной системы, будем иметь П е е ~ а1, [х!!'+ х1~!) = ~~ аих!!и+ ~ а!!х!1~! = О, у=! с-! 1=! е е ~ аи [)!х)!") = Х Е а!!х~!и = О, ! ! / ! а это и означает, что совокупности Х, + Х, и )!Х! являются решениями однородной системы (3.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
