Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Стало быть, любые(г + 1) элементов указанной линейной оболочки (и, в частности, любые (г + 1) строк матрицы А) линейно зависимы. А это и означает, что число г представляет собой максимальное число линейно независимых строк. 3. Сумма и пересечение подпространств. Пусть Е, и с,з — два произвольных подпространства одного и того же линейного пространства )с. Совокупность всех элементов х пространства 1т. принадлежащих одновременно Ь, и Ь„образует подпространство пространства К "'), называемое п е р е с е ч е н и е и подпространств (., и 1.з.
«) Это устанавливается с помощью тех же самых рассуждений, которые была проведены прн доказательстве теоремы 2.5. «) В частности, отсюда будет следовать весьма нетривиальная теорема о том, что у любой матрицы максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов. '«') Ибо элементы этой совокупности удовлетворяют требованиям 1' н 2', сформулированным в начале п. 1. в з) ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ зу Совокупность всех элементов пространства )с вида у + е ° где у — элемент подпространства г'., а е — элемент подпространства А.„образует подпространство пространства )с '), называемое с У м м о й подпРостРанств А., н А.я П р и м е р. Пусть Я вЂ” линейное пространство всех свободных векторов (в трехмерном пространстве), А., — надпространство всех свободных векторов, параллельных плоскости Оху, т.е — подпространство всех свободных векторов, параллельных плоскости Охг.
Тогда суммой подпространств А., и Ьз будет являться все пространство )с '*), а пересечением подпространств А'., и (.я будет являться множество всех свободных векторов, параллельных оси Ох. Справедливо следующее утверждение. Теорема 2.9. Сумма размерностей произвольных надпространств А'., и 1е конечномерного линейного пространства )т' равна сумме размерности пересечения этих подпространств и размерности суммы этих подпространств. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Се пересечение Ь, и (.„а через А.
— сумму с,, и г'.а, Считая Ео й-мерным, выберем в нем базис Е„ Е„ ..., ЕА. (2.11) Используя утверждение, доказанное в и, 1, дополним базис (2.11) до базиса е,,...,е„,еы...,а, (2.12) в подпространстве А'., и до базиса Ем ..., ЕА,,Ун ...,,У" (2,1 3) в подпространстве ).т. Достаточно доказать, что элементы и;, ...,й»е„...,е„УН ...,,у (2.14) являются базисом суммы (. подпространств С, н Еее е е). Для этого в свою очередь достаточно доказать, что элементы (2,14) линейно независимы и что любой элемент х суммы С представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.14). Сначала докажем, что элементы (2.14) линейно независимы. «) См.
предыдупгую сноску. "') В самом деле, любой вектор х пространства Я представляет собой линейную комбинапию х = пМ + рд + ТЭ базисных векторов ),/, Ф параллельных осям Ок, Оу и Ог соответственно, причем вектор си -)- р/ принадлежит г.н а вектор тй принадлежит Аэ. "е) Ибо при этом размерность г., равная )+ й+ ю, в сумме с размерностью Се, равной Ф, будет равна сумме размерностей й + ) и А + т подпространств Ц и Е~. линаяные пэостэхнствя !гл. г Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов (2.14) представляет собой нулевой элемент, т.
е. справедливо равенство а,хг, +... + а,й, + б,е, +... + Рдеь + Т,К, +... + Т,г = 0 (2.15) илн а1й, +... + а,ггпу + р1е, +... + (!ьед = — у, ~, —... — у,/' (2.16) Так как левая часть (2.16) является элементом Е,, а правая часть (2.16) является элементом Б„то как левая, так и правая часть (2.16) принадлежит пересечению Еь подпространств Б, и (.з. Отсюда следует, в частности, что правая часть (2.16) представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.11), т. е.
найдутся такие числа Х„..„Хд, что — уг Л вЂ” — Ъ„У = Х! е, +... + 3М,еь. (2.17) В силу линейной независимости базисных элементов (2.13) равенство (2.17) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты Т„...„у, Х„..., Хь равны нулю. Но при этом из (2.15) мы получим, что а1д~+... +а~у~+р,е1+... +5ьед=й, (2.18) В силу линейной независимости базисных векторов (2.12) равенство (2.18) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты а„..„а„бо ..., 5ь равны нулю. Тем самым мы установили, что равенство (2.15) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты а„..., а,, р„..., ()ю уо ..., у равны нулю, а это и доказывает линейную независимость элементов (2.14).
Остается доказать, что любой элемент х суммы Б представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.14), но это сразу следует из того, что этот элемент х представляет собой (по определению Е) сумму некоторого элемента х, подпространства Е,, являюшегося линейной комбинацией элементов (2.12), и некоторого элемента х, подпространства Б„являющегося линейной комбинацией элементов (2.13). Теорема доказана. Возврашаясь к примеру, рассмотренному перед формулировкой теоремы 2.9, заметим, что в этом примере размерность каждого из подпространств 7, и Б, равна двум, размерность их суммы равна трем, а размерность их пересечения равна единице.
4. Разложение линейного пространства в прямую сумму надпространств. Пусть Я, и Я, — два подпространства линейного и-мерного пространства Й. Определение. Будем говорить, что пространство Я представляет собой и р я м у ю с у м м у подпространств!х х и )хм если за) ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ 59 «аясдыб элемент х пространства Р может бьопь е д и и с т в е ин ым способом представлен в виде суммы Х=Х, +ХА (2.19) элементах, подпространства РА и элемента хь надпространства Р . 1от факт, что Р представляет собой прямую сумму Р, и Рь символически ззписывают так: Р = Р, Е Р,. Последнее равенство обычно называют р а з л о ж е н и е и пространства Р в прямую сумму подпространств Р, и Р,.
Так пространство Р всех свободных векторов (в трехмерном пространстве) можно разложить в прямую сумму подпространства Р, всех векторов, параллельных плоскости Оху и подпространства Р, всех векторов, параллельных оси Ог. Теорема 2.10. Для того чтобы и-мерное пространство Р представляло собой прямую сумму подпространств Р, и Р„достаточно, чнюбы пересечение Р, и Р, содержало только нулевой элемент и чтобы размерность Р была равна сумме размерностей надпространств РА и Р,. До к а з а тел ь ст в о. Выберем некоторый базис в» ..., еь в подпространстве Рт и некоторый базис у» ..., у~ в подпространстве Р,.
Докажем, что объединение этих базисов (2.20) Е» ° ° ° ВА Я» ° ° ° Щ представляет собой базис всего пространства Р. Так как по условию теоремы размерность и всего пространства Р равна сумме й +! размерностей Р, и Р„то достаточно (в силу теоремы 2.5) доказать линейную независимость элементов (2 20).
Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов (2.20) представляет собой нулевой элемент, т. е. справедливо равенство а,в, +... + аьеь+ ()уА+... + б,п; = О, (2.21) нли а,еА +... + а„в„= — рАй'А —... — Р,йн (2.22) Так как левая часть (2.22) является элементом Р» а правая— элементом Р„а пересечение Р, и Рь содержит лишь нулевой элемент, то как левая, так и правая часть (2.25) представляет собой нулевой элемент, а это (на основании линейной независимости элементов каждого из базисов е» ..., еь н й'»" Кю) воз можно лишь прн условии (2.23) аь = ... аь = О, (1А = ...
= Р~ О. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Тем самым мы установили, что равенство (2.21) возможно лишь при условии (2.23), а это и доказывает линейную независимость элементов (2.20) и тот факт, что элементы (2.20) образуют базис всего пространства гг. Пусть теперь к — любой элемент Я, Разложив его по базису (2.20), будем иметь х = Х,е, + ... + Хье» + р,й, + ... + руй' или х= х, +х„где х1 = Х,е, + ... + Хяе» вЂ” элемент Дн а х,= = р,й', + ... + р,у; — элемент Й,.
Остается доказать, что представление (2.19) является единственным. Предположим, что, кроме (2.19), справедливо и еще одно представление (2.24) х = х( + х2, где х( — элемент )сн а х1 — элемент %, Вычитан (2.24) из (2.19), получим, что 0 =х, — х( + хт — х~, или к~ — х~ = х1 — х1. Так как в левой части последнего равенства стоит элемент Ян а в правой — элементй„и посколькупересечение Я~ и )(', содержит лишь нулевой элемент, то из этого равенства следует, что х1 — х( = О,х) — хг = О, т. е.х( = хи хг = х1. Теорема дока.
вана. 3 а м е ч а н и е. В случае, когда пространство Я представляет собой не прямую, а обычную сумму подпространств Я~ и Я„ представление (2.19) любого элемента х пространства Я также справедливо„ но не является, вообще говоря, едикственным. Пусть, например, )с представляет собой трехмерное пространство всех свободных векторов, )(', — подпространство всех векторов, параллельных плоскости Оху, а й, — подпространство всех векторов, параллельных плоскости Охг. В предыдущем пункте мы выяснили, что Я представляет собой сумму (но, конечно, не прямую сумму) подпространств Й, и )1,.
Обозначим через 1, ,1, й базисные векторы, параллельные осям Ох, Оу и Ог соответственно, и разложим произвольный элемент х пространства )с по базису 1„/, Ф. Найдутся вещественные числа а, р и у такие, что х=а1+ р,/+ уй, так что, с одной стороны, х =х, + х„где х,= а1+ ~/ — элемент Я„а х, = уй — элемент К„с другой стороны, х= х; +х1, глек( = Ц вЂ” элемент Рн а х1 — — а1 + ТФ— элемент й,.
9 4. Преобразование координат при преобразовании базиса гг-мерного линейного пространства 1. Прямое н обратное преобразование базисов. Пусть о„ еи ..., е, и е(, ет, ..., и,' — два произвольных базиса л-мерного линейного пространства Я. Как всякий элемент пространства Я, каждый элемент еь ит...„е„' может быть разложен по базису ен ем ..., и,. Предположим, что элементы г(, е1, ..., и'„ й а) пРеОБРАзОВАние КООРдИНАт ПРи ПРЕОБРАВОВАнии ВАЗИОА Е! выражаются через е„е„..., е„с помощью формул ес = апес + аме, +...
+ ас„е„, ез = амес+ азтес + ° .. + ат„е., (2.25) е," а„сес + а„тег + ° ., + а„е . с)то означает, что переход от первого базиса е„ е„ ..., е„ ко второму базису ес, ез, ..., е,', задается матрицей ом оса оас оаз (2.25) аз! ат Подчеркнем, что определитель Л матрицы (2,26) заведомо отличен от нуля е), нбо в противном случае в силу теоремы 1.7 строки втой матрицы (а стало быть, н базисные элементы е;, ет, ..., е„') оказались бы линейно зависимыми. Убедимся в том, что обратный переход от второго базиса ес, ез, ..., е' к первому базису ес, ез, ..., е„осуществляется с помощью матрицы В, обратной к матрице А. Напомним, что матрица В, обратная к матрице А, введена в и. 7 22 гл. 1 н имеет вид Асс Асс Аас А А Ам Ам Ам Л Ь ' ' Ь (2.27) Аса Аса Аап ° ° ° Ь Л ' Ь где через Ь обозначен определитель матрицы А, а через А,ь— алгебраическое дополнение элемента а,„этого определителя.
Умножим уравнения (2.25) соответственно на алгебраические дополнения Асн Ам, ..., А„с элементов сьго столбца определителя сз и после этого сложим эти уравнения. В результате получим (для любого номера 1, равного 1, 2, ..., и) о есАсс+етАтс+...+е.'А,с ~ ес(амАИ+амАм+ ° "+а сА с). с=с Учитывая, что сумма произведений элементов с-го столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов !Его столбца равна нулю при с Ф ! и равна определителю сь при 1 = ! е') ') Такую матрацу в в, У 4 2 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
