Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 9
Текст из файла (страница 9)
вана. 3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Теорема 1.7. Для того, чтобы определитель п-го порядка Л был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы. Доказательство. 1) Необходимость. Если определитель и-го порядка Ь равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок г, заведомо м е н ь ш и й и. Но тогда хотя бы одна из строк является не базисной. По теореме 1,6 эта строка является линейной комбинацией базисных строк. В эту линейную комбинацию мы можем включить и все оставшиеся строки, поставив перед ними нули. Итак, одна строка является линейной комбинацией остальных. Но тогда по теореме !.5 строки определителя линейно зависимы.
2) Д о с т а то ч н о с т ь. Если строки Ь линейно зависимы, то по теореме 1,5 одна строка А, является линейной комбинацией остальных строк. Вычитая из строки А, указанную линейную комбинацию, мы, ие изменив величины Л, получим одну строку, целиком состоящую из нулей. Но тогда определитель Л равен нулю (в силу следствия 3 из п. 4 2 2), Теорема доказана. ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Из курса аналитической геометрии читатель знаком с операцией сложения свободных векторов н с операцией умножения вектора на вещественное число, а также со свойствами этих операций.
В настоящей главе изучаются множества объектов любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем, безразлично каким) определены операция сложения элементов и операция умножения элемента на вещественное число, причем указанные операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над геометрическими векторами. Такие множества, называемые л и н е й н ы м и п р о с т р а н с т в а м и, обладают целым рядом общих свойств, которые и будут установлены в настоящей главе, й 1. Понятие линейного пространства 1. Определение линейного пространства.
Множество й элементов х, у, х, ... любой природы называется л и и е й н ы м (или аффинным) пространством, если выполнены следующие три требования: 1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам х и у множества Я ставится в соответствие третий элемент л этого множества, называемый с у м м о й элементов х и у и обозначаемый символом и = х+ у.
11 Имеется правило, посредством которого любому элементу х множества е( и любому вещественному числу Х ставится в соответствие элемент и этого множества, называемый и р о и зв еден ием элемента х на число Х и обозначаемый символом и = Хх или и хХ. 1! 1. Указанные два правила подчинены следующим восьми аксиомам: !'. х+ у = у+ х (переместительное свойство суммы); 2'. (х + у) + и х+ (у+ х) (сочета тельное свойство суммы); 3'. существует нулевой элемент О такой, что х+ О х для любого элемента х (особая роль нулевого элемента); 4'.
для каждого элемента х существует и р о т и в о и ол о жн ы й элемент х' такой, что х+ х' = О; ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ. 9 5'. 1 х = х ддя любого алеман»па л (особая роль числового множителя 1); б', Л (рХ) = (А)з)Х (СОЧЕтатЕЛЬНОЕ ОтНОСИтЕЛЬНО ЧИСЛОВОГО МИО- жителя свойство); 7'. (Х + р) х = Хх+ рх (распределительное относительно суммы числовых множителей свойство); 8'.
А (х +у) = Хх + Ху (распределительиое относительно суммы элементов свойство). Подчеркнем, что при введении понятия линейиого пространства мы абстрагируемся ие только от природы изучаемых объектов, ио и от коикретиого вида правил образования суммы элементов и произведения элемента иа число (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам, сформулированным в даином выше определении). Если же природа изучаемых обьектов и вид правил образования суммы элементов и произведения элемента иа число указаиы '), то мы будем называть лииейное пространство к о як р е т н ы м. Приведем примеры конкретных линейных пространств.
П р и м е р 1. Рассмотрим множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве. Операции сложения указанных векторов и умножения этих векторов иа числа определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (сложение векторов определим по правилу «параллелограмма»; при умиожеини вектора иа вещественное число й длина этого вектора умножается на !Х~, а направление при».
) О остается неизменным, а прн А < Π— изменяется иа противоположное). Элементарно проверяется справедливость всех аксиом 1' — 8' (справедливость всех аксиом, за исключением аксиомы 5', устаиовлена в курсе аналитической геометрии аа), справедливость аксиомы 5' ие вызывает сомнений.) Таким образом, множество всех свободных векторов в простраистве с так определенными операциями сложения векторов и умножения их на числа представляет собой линейное пространство, которое мы будем обозначать символом В,. Аналогичные множества векторов иа плоскости и иа прямой, также являющиеся лииейными пространствами, мы будем обозначать соответствеиио символами В, и В,.
П р и м е р 2. Рассмотрим множество «х) всех и о л о ж ите л ь и ых вещественных чисел. Определим сумму двух элементов х и у этого множества как произведение вещественных чисел х и у (поиимаемое в обычном в теории вещественных чисел «)разумеетея, вти правила должны быть указаны так, чтобы были справедливы свойства 1' — а', перечисленные в данном выше определении в виде аксиом. «')См.
выпуск «Аналитическая геометрия», гл. 2, $1, п. 2. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЯНОГО ПРОСТРАНСТВА смысле). Произведение элемента х множества»х» на вещественное число А, определим как возведение положительного вещественного числа х в степень Х. Нулевым элементом множества»х» будет являться вещественное число 1, а противоположным (для данного элемента х) элементом будет являться вещественное число 1/х. Легко убедиться в справедливости всех аксиом 1 — 8'.
В самом деле, справедливость аксиом !' и 2 вытекает из перемести- тельного и сочетательного свойств произведения вещественных чисел; справедливость аксиом 3 и 4 вытекает из элементарных ! равенств х 1 = х, х — „= 1 (для любого вещественного х > 0); аксиома 5 эквивалентна равенству х' х; аксиомы б н T справедливы в силу того, что для любого х > 0 и любых вещественных х и р имеют место соотношения (хв)" = хАР, х<А+в> = хА х»; наконец, справедливость аксиомы 8' следует из того, что для любых положительных х н у н для любого вещественного Х имеет место равенство (ху)" х"у". Итак, мы убедились, что множество»х» с так определенными операциями сложения элементов н умножения их на числа является линейным пространством. П р н м е р 3.
Важный пример линейного пространства дает множество А", элементами которого служат упорядоченные совокупности п произвольных вещественных чисел (х„х„..., х„). Элементы этого множества мы будем обозначать одним символом х, т. е. будем писать х = (х„х„..., х„), н при этом называть вещественные числа х„х„..., х„к о о р д и н а т а м и элемента х. В анализе множество А" обычно называют а-м е р н ы м координатным пространством'). В алгебраической трактовке множество А" можно рассматривать как совокупность всевозможных строк, каждая из которых содержит п вещественных чисел (что мы уже и делали в $3 гл.
1). Операции сложения элементов множества А" и умножения этих элементов на вещественные числа определим правилами: (х„х„..., х„)+(у„у„..., у„)=(х,+у„х,+у„...,х„+у„), Х (х„х„..., х„) = (Хх„Хх„..., Хх„). Предоставляем читателю элементарную проверку справедливости всех аксиом !' — 8' н того факта, что нулевым элементом рассматриваемого множества является элемент О = (О, О, ..., О), а противоположным для элемента (х„ х„ ...,х,) является элемент ( — х„— х„..., — хв). П р и м е р 4. Рассмотрим далее множество С »а, Ь ) всех функцнй Х = Х (9, ОПрЕдЕЛЕННЫХ И НЕПрсрЫВНЫХ На СЕГМЕНТЕ а еа ~ ! ~ Ь.
Операции сложения таких функпий и умножения нх на ') см, выпуск еОсвовы математического ввалвзее, честь 1, гл. 14, $ 1, о. е, ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 44 вещественные числа определим обычными правилами математи- ческого анализа. Элементарно проверяется справедливость ак- сиом 1' — 8' '), позволяющая заключить, что множество С (а, Ь! является линейным пространством. П р и и е р 5.
Следующим примером линейного пространства может служить множество (Р„.(1)) всех алгебраических много- членов степени, не превышающей натурального числа и, с опера- циями, определенными так же, как в предыдущем примере. Заме- тим, что множество (Р„(1)), если его рассматривать на сегменте а <1«Ь, является подмножеством линейного про- странства С (а, Ь), рассмотренного в примере 4, 3 а м е ч а н и е 1. Для разъяснения изучаемого понятия ли- нейного пространства укажем примеры множеств, по той или иной причине не являющихся линейными пространствами: а) множество всех векторов пространства с исключением век- торов, коллинеарных некоторой прямой 1 (ибо в пределах этого множества нельзя складывать векторы, симметричные относи- тельно указанной прямой 1); б) множество всех многочленов степени, точно равной нату.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
