Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

0 Для того чтобы убедиться в равенстве этих двух определителей, достаточно заметить, что первые л столбцов у этих определителей совпадают, а каждый столбец второго определителя (1.40) с номером и+ Й (где Й 1, 2, ..., и) в силу формулы с» = л Я а,ль„л получается в результате прибавления к (и + а)-му столбцу первого определителя (1.40) линейной комбинации первых л его столбцов с коэффициентами, соответственно рваными В силу примера 2 из предыдущего пункта определитель матрицы ( — 1) Е равен числу ( — 1)".

Рассмотрим следующие две блочные квадратные матрицы порядка 2п; ыдтРнцы и опРидвлиталк [ГЛ. ! Ьа„Ьаа...,, Ь„„, Таким образом, определители (1.40) равны в силу следствия 5 из и. 3. В заключеиие заметим, что веиосредствеиво из формулы (1.37) вытекает> 1А О! что определитель примой суммы (А ца В1 ~ ~ двух матрицА и В равен )о в~ произведеиию определителей «тих матриц.

7. Понятие обратной матрицы. Пусть А — квадратная матрица и-го порядка, а Š— единичная квадратная матрица того же порядка (см, п. 2 з 1). Матрица В называется и р а во й о бр а ты ой по отношению к матрице А, если АВ = Е. Матрица С называется л ев ой о бр ат ной по отношению к матрице А, если СА = Е. Так как обе матрицы А и Е являются квадратными матрицами порядка п, то матрицы В и С (при условии, что они существуют) также являются квадратными матрицами порядка и. Убедимся в том, что если обг матрицы В и С существуют, то они совладают между собой. В самом деле, на основании равенств (1.7) (см. и.

2 $1), соотношений АВ = Е, СА Е и сочетательного свойства произведения матриц, получим С = СЕ = С(АВ) = (СА) В = ЕВ = В. Естественно возникает вопрос об условиях на матрицу А, при выполнении которых для этой матрицы существуют как левая, так и правая обратные матрицы '). Теорема 7.4. Для того чтобы для матрицы А существовали левая и правая обратные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы определитель де1 А матрицы А был отличен от нуля, Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Н е о б х о д и м о с т ь. Если для матрицы А существует хотя бы одна из обратных матриц, например В, то из соотношения А В = Е мы получим, что бе1 А бе1 В = = де1 Е = 1 "), откуда вытекает, что бе1 А чь О. 2) Дост а то ч н ос т ь. Пусть определитель Ь = де( А отличен от нуля. Обозначим, как и выше, символом Аы алгебраические дополнения элементов ам матрицы А и составим матрицу В, в (-й строке которой стоят алгебраические дополнения а-го столбца матрицы А, поделенные иа величину определителя.

Ь! Ам Ам Ааа з а ' а Ааа Ааа Ааа (1.41) а а ' 6 Ааа Ааа А«а о о ''' а ') И, стало быть, зги матрицы совпздмот. «') де1 Е * 1 в силу примера и из п. б етого параграфа, З з1 ТЕОРЕМА О БАЭИСНОМ МИНОРЕ МАТРИЦЫ зу Убедимся в том, что эта матрица В является как правой, так и левой обратной по отношению к матрице А. Достаточно доказать, что оба произведения АВ и ВА явля» ются единичной матрицей.

Для этого достаточно заметить, что у обоих произведений любой элемент, не лежащий на главной диагонали, равен нулю, ибо после выноса множителя 1/Л этот элемент равен сумме произведений элементов одной строки (или одного столбца) на соответствующие алгебраические дополнения другой строки (или другого столбца), Что же касается элементов, лежащих на главной диагонали, то у обоих произведений АВ и ВА все такие элементы равны единице в силу того, что сумма произведений элементов и соответствующих алгебраических дополнений одной строки (одного столбца) равна определителю, Теорема доказана.

3 а м е ч а н и е 1. Квадратную матрицу А, определитель Йе1 А которой отличен от нуля, принято называть н е в ы р о ж » ден ной. 3 а м е ч а н и е 2. Впредь мы можем опускать термины «левая» и «правая»и говоритьпросто о матрице В, об р ат н о й п о отношениюкневырожденной матрице Аиопределяемой соотношениями АВ = ВА = Е. Очевидно также, что свойство быть обратной матрицей взаимно в том смысле, что если В является обратной для А, то А является обратной для В. Матрицу, обратную к матрице А, впредь мы будем обозначать сим- волом А '.

й 3, Теорема о базисном миноре матрицы 1, Понятие линейной зависимости строк. Выше мы уже договорились называть строку ') А = (а„а„.„, а„) линейной комбинацией строк В = (Ь„Ь„..., Ь ), ",С = (ст сэ " с») если для некоторых вещественных чисел Л, ..., р справедливы равенства ау — — ХЬт+ „. + рст (1= 1, 2, ..., и).

(1.42) Указанные и равенств (1.42) удобно записать в виде одного равенства А = ХВ + ... + рС. (1.43) Всякий раз, когда будет встречаться равенство (1.43), мы будем понимать его в смысле и равенств (1.42). Введем теперь понятие линейной зависимости строк. Олределенде. Строки А = (а„а„..., а„), В = (Ь„Ь„ ..., Ь„), ..., С=(с„с„..., с„) назовем линейно зависима м и, если найдутся такие числа а, р, ..., у, не все равные нулю, что справедлива равенства аат + 5Ь! + ... + цс~ = О (1 = 1, 2...„п)„(1А4) ') Каждую строку моино рассматривать как метрику. Поэтому естес»ненни ислользоиать для обозначения строк большие латинские буквы, 1гх 1 мат»ицы и определители и равенств (1.44) удобно записать в виде одного равенства аА+РВ+ ...

+ТС ° О, (1.45) в котором О (О, О, ..., О) обозначает нулевую строку. Строки, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независкмыми. Можно дать и «самостоятельное» определение линейной независимости строк: строки А, В, ..., С называются линейно независимыми, если равенство (1.45) возможно лишь в случае, когда все числа а, „р равны нулю.

Докажем следующее простое, но важное утверждение. Теорема 7.б. Для того чтобы строки А, В, ..., С были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чяюбы одна из зтих строк являлась линейной комбинацией остальных строк. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть строки А, В, ..., С линейно зависимы, т. е. справедливо равенство (1.45), в котором хотя бы одно из чисел а, р, ..., у отлично от нуля.

Ради определенности допустим, что а ~ О. Тогда поделив (1.45) на а и введя обозначения а. = — (3/а, ..., )» = — тра, мы можем переписать (1.45) в виде А =ХВ+...+)»С, (! .45) а зто и означает, что строка А является линейной комбинацией строк В, ..., С. 2) Д о ст а т о ч н о с т ь. Пусть одна нз строк (например, А) является линейной комбинацией остальных строк.

Тогда найд ся числа а„..., р такие, что справедливо равенство (!Аб). Г о зто последнее равенство можно переписать в виде ( — 1) А + ХВ + ... + РС = О «). Так как из чисел — 1, Х, ..., р одно отлично от нуля, то последнее равенство устанавливает линейную зависимость строк А, В, ..., С. Теорема доказана. Конечно, во всех проведенных выше рассуждениях термин «строки» можно заменить термином «столбцы». 2. Теорема о базисном миноре. Рассмотрим произвольную (не обязательно квадратную) матрицу а„а„.. ° а»п ам а», ...

аап (1.47) апч ауп» °" авп Минором й-го п о р я дк а матрицы А будем называть определитель й-го порядка с элементами, лежащими на пересе- «) Зд««п О (О, О, ..., О) — краевая строка. е а1 тяонимл о вазисном мином млтеицы 39 ам аы ам аы аи аа, аи ааа (1.48) ага ати агг ам ааг аау ага ааа ') Ранг матрицы А, все элементы которой — нули, по определению ранен нулю, чении любых й строк и любых й столбцов матрицы А.

(Конечно, й не превосходит наименьшее нз чисел т и а.) Предположим, что хотя бы один из элементов аы матрицы А отличен от нуля. Тогда найдется такое целое положительное число г, что будут выполнены следующие два условия: 1) у матрицы А имеется минор г-го порядка, отличный от нуля, 2) всякий минор (г+ 1)-го и более высокого порядка (еслн таковые существуют), равен нулю. Число г, удовлетворяющее требованиям !) и 2), назовем р а иго м матрицы А *). Тот минор г-го порядка, который отличен от нуля, назовем б а з н с и ы м м н н о р о м (конечно, у матрицы А может быть несколько миноров г-го порядка, отличных от нуля). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, назовем соответственно б а з и с н ы м н с т р оками и базисными столбцами.

Докажем следующую основную теорему, Теорема л.б !ггаеоремо о базисном миноре). Базисные строки (базисные сталбцгл) линейно независимы. Любая сгпрока (любой столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов). Д о к а з а т е л ь с т в о. Все рассуждения проведем для строк.

Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна из этих строк являлась бы линейной комбинацией других базисных строк, и мы могли бы, не изменяя величины базисного минора„вычесть нз этой строки указанную линейную комбинацию и получить строку, целиком состоящую из нулей, а это противоречило бы тому, что базисный минор отличен от нуля. Итак, базисные строки линейно независимы. Докажем теперь, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк.

Так как при произвольных переменах строк (или столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, то мы, не ограничивая общности. можем считать, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы (!.47), т. е. расположен на первых г строках и первых г столбцах.

Пусть ! — любое число от 1 до л, а й — любое число от 1 до т. Убедимся в том, что определитель (г+ 1)-го порядка 4О мдтеицы и опседвлнтели равен нулю. Если 1» г нли я» г, то указанный определитель будет равен нулю в силу того, что у него будет два одинаковых столбца или две одинаковые строки. Если же оба числа 1 и й превосходят г, то (1.48) является минором матрицы А порядка (г + 1), а всякий такой минор равен нулю (по определению базисного минора). Итак, определитель (1.48) равен нулю при всех )от 1 до л н всех й от 1 до т. Но тогда, разложив этот определитель по последнему столбцу и обозначив не зависящие от номера 1 алгебраические дополнения элементов этого столбца символами Аы = см Аы = с„ ..., Аы = = с„, Ад~ — — с„+„мы получим, что с,ам+ ода,~+...

+ с,ам+ с„+,ад~ О (для всех 1= 1, 2, ..., и). Учитывая, что в последних равенствах алгебраическое дополнение сыа = Ад~ совпадает с заведомо отличным от нуля базисным минором, мы можем поделить каждое из этих равенств на с,+,. Но тогда, вводя обозначения 3 — —, дд= — —, ..., а,= — ' сс сд с, сс+1 сс+д ' с>+1 мы получим, что ад> —— Л,ап + Хдац + ... + Х,а„г (для всех 1= 1, 2, ..., и), а это и означает, что я-я строка является линейной комбинацией первых г (базисных) строк. Теорема дока.

Характеристики

Список файлов книги