Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 6
Текст из файла (страница 6)
>а минор М>,.",;„(остальные не интересующие нас слагаемые обозначим многоточием), Учитывая прн этом, что в каждом миноре (1.34) элемент а> л стоит на пересечении 1(ь — (А — 1) )-й строки н 11, — (з — 1) )-го столбца этого минора е«е), мы получим — 'с" 'а с Ра->а-»!+1>с-о-»1 — 'с" га Му,...!е(бес >с) ага),М)с... Уа +...
') Суммирование в атом равенстве, как и вьппе, идет по всем возможным значениям индексов )с, ..., 1», удовлетворяющим условию 1 ~ 1> ()е ( ...<)а ( к л. «') Символом М>~ ~->б 1 > обозначается минор, отвечающий пере- " >А ее с сечению строк с вомерамв й, ..., 1а с и всех столбцов с комерами ры 1„..., /ь за исключением столбца с номером )„а символом (1.34) дополнительный к нему минор. "') Зто вытекает нз того,что строке с номером га предшествует (е — 1) строк, аетОЛбЦУС НОМЕРОМ/е ПРЕДШЕСтВУЕт (З вЂ” 1) СтОЛбЦОВ МКНОРа М.
'" — <бес > >, '> "гд> 1 ... >а 1 ес к которому минор (1.34) является дополнительным. (суммнрованне вдет по всем возможным значениям индексов удовлетворяющим условням 1 ~ у, < )з < ... ... <)ах<Л). Разложнм в формуле (1.32) каждый мннор М>з,."..'р>-', по строке, имеющей в матрице (1.8) номер >а. В результате весь определитель Ь будет представлен в виде некоторой линейной ком†... >а с>а бннацнн миноРов М>,„,>а-,>а с коэффициентами, котоРые мы обозначим через 81, ... >а, т. е.
для Л будет справедливо равенство ') сз Я 6>з ... )аМ>,'... >а, н нам остается аычнсз''' *' лить коэффнцненты 01,...>„н убеднться в том, что онн равны Опгеделители Теперь нам остается учесть, что в формуле (1.32) каждый минор (1.34) умножается на множитель ,(ц+ ...+дд,)+(г +...+Уд)-~„с ... дд, ( — ) г ... дд (бед/~) и после этого суммируется по всем з от 1 до я.
Имея также в виду, что ( — 1)'-тдкм = 1, мы получим, что й,,... „=( — 1)"+"'+'"'"~'"+'"„~ — 1) +*~И",:: „"-',, „. Замечая, что сумма в квадратных скобках представляет собой сд разложение минора М;, ~„по его последней к-й строке, мы окончательно получим для 8у, ...;„формулу (1.33). Теорема Лапласа доказана. 3 а м е ч а н и е. В полной аналогии с формулой (1.32) записывается н выводится формула разложения определителя по каким-либо й его столбцам. 4. Свойства определителей. Ниже устанавливается ряд свойств, котодпыми обладает произвольный определитель и-го порядка. 1.Свойство равноправности строк и столбцов. Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки н столбцы с сохранением порядка их следования.
В результате транспоннрования матрицы А получается матрица, называемая транспонированной по о т н о ш е н н ю к м а т р н ц е А и обозначаемая символом А'. В дальнейшем мы договоримся символами )А ~, 1В), ~А'( ... обозначать определители квадратных матриц А, В, А' ... соответственно. Первое свойство определителя формулируется так: при транснонировании величина определителя сохраняется, т. е.
~ А' ~ = =1А). Это свойство непосредственно вытекает из теоремы 1.2 (достаточно лишь заметить, что разложение определителя ~А ~ по первому столбцу тождественно совпадает с разложением определителя ~А' ~по первой строке). Доказанное свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства устанавливать л и ш ь для строк н быть уверенными в справедливости нх и для столбцов. 2'. Свойство антисимметрин при пере ° становке двух строк (нли двух столбцов). При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противонолозсный. МАТРИЦЫ И ОПРБДБЛИТБЛИ 1гл.
1 Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно (из правила (1.10) сразу вытекает, что определители ! ° ! ! ! а11 авв ~ (ав1 авв ! ! и ! ! отличаются лишь знаком). авв авв! !ап а1в! Считая, что и > 2, рассмотрим теперь определитель и-го порядка (1.11) и предположим, что в этом определителе меняются местами две строки с номерами 1, и 1,.
Записывая формулу Лапласа разложения по этим двум строкам, будем иметь 1 1,+1,+П+ПМв,в,Мвэвэ 1дг !'О'а. П,!в (1,35) При перестановке местами строк с номерами 1, и 1, каждый определитель второго порядка МЯ в силу доказанного выше меняет знак на противоположный, а все остальные величины, стоящие под знаком суммы в (1.35), совсем не зависят от элементов строк с номерами 11 и 1, и сохраняют свое значение.
Тем самым свойство 2' доказано. 3'. Линейное свойство определителя. Будам говорить, что некоторая строка (а„а„..., а„) является линейной комбинацией строк (Ь„Ьв, ..., Ь), (св, св, ..., с„), ..., (й„й„..., й„)скоэффицигнтами Х, 11, ...,ч, если а1 = ХЬ1+ рс1 + ... + чй1 для всех 1= 1, 2, ..., и. Линейное свойство определителя можно сформулировать так: если в определителе и-го порядка Ь некоторая 1-я строка (а„, ам, ..., а,„) является линейной комбинацией двух строк (Ь„ Ь„..., Ь„) и (с„св, ..., с„) с коэффициентами Х и р, то Ь = ХЬ1 + рЬв, гдг Ь, — определитель, у которого 1-я строка равна (Ь„Ьв, ..., Ь„), а всг остальные строки тв жг, что и у Ь, а Ь, — определитель, у которого 1'-я строка равна (св, св, ...
„., с„), а всг остальные строки тг жг, что и у Ь. Для доказательства разложим каждый из трех определителей Ь, Ь, н Ь, по 1-й строке н заметим, что у всех трех определителей все миноры М! элементов 1-й строки одинаковы, Но отсюда следует, что формула Ь ХЬ1 + рЬ, сразу вытекает из равенств ам — — ХЬ1 + ров (1 = 1, 2, ..., и). Конечно, линейное свойство справедливо и для случая, когда 1-я строка является линейной комбинацией ие двух, а нескольких строк. Кроме того, линейное свойство справедливо и для столбцов определителя.
Доказанные три свойства являются о с н о в н ы м и свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются л о г и ч е с к и м и с л е д с т в и я м и трех основных свойств. Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю. (В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель Ь не из- $21 опзвдвлитали менится, а с другой стороны, в силу свойства 2' изменит знак на противоположный.
Таким образом, Ь = — Ь, т. е. 2Ь = 0 или Ь=О. Следствие 2. Умножение всех влементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число Х равносильно умножгнию определителя на это число Х. Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя. (Это свойство вытекает нз свойства 3' при р = 0.) Следствие 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитгль равен нулю.
(Это свойство вытекает из предыдущего при Х= 0.) Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. (В самом деле, в силу следствия 2 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно следствию 1). Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель Х, то величина определителя не изменится. (В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно в силу свойства 3' разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк (или столбцов) и следствия 4.) 3 а м е ч а н и е.
Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую мы приведем для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величина определителя не изменится. Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей (соответствующие примеры будут приведены в следующем пункте). Прежде чем сформулировать еще одно свойство определителя, введем полезное понятие алгебраического дополнения данного элемента определителя. Алгебраическим дополнен ием данного элемента аы определителя л-го порядка (1.11) назовем число, равное ( — ц'+Г М~1 и обозначаемое символом Аи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
