Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 2
Текст из файла (страница 2)
')квивалентные представления (283). 3. Приводимые и неприводимые представления (284). 4. Характеры (285). 5. Примеры представлений групп (287). Алфавитный указатель ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗЛАНИ10 Книга написала с учетом опыта чтения лекций па физическом факультете, а также па факультете вычислительной математики и ктюернсгики Московского государственного университеш. От других руководств по пшейной алгебре ее отличает оалее полное изложение теории линейных операторов, наличие специальной главы, посвященной итерационным методам решеши линейных систем, наличие доказаннзьства сходнчости метода вращении для решения полной проблемы собственных значений, изложение метода регуляризации А Н.
Тихонова для отыскания нормального решения линейной системы. Четвертое издание перепечатывается с текста третьего издания, в котором исправлено несколько замеченных опечаток. Июль 1998 г. ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Эга книга возникла в результате переработки курса лекций, читавшихся авторами в Московском государственном университете Отметим некоторые особенности ижюжения Изложение начинается с изучения матриц и определителей, причем опредслшсль и-го порядка вводится по индукции через опредслнщль (и-1)-го порядка с помощьнэ формулы рахзожения па первой строке.
При этом легко доказывается теорема о разложении по любой строке и по щобаму столбцу (схема доказательства этой теоремы оказывается соверпкнпю аналогичной схеме доказпельства теоремы Лапласа). Традициошюе определезше детерминанта (определителя) непосредственно через его элементы является простым следствием даьпюго в этой книге определения. Изучению !гшзсйных сисщм црсдшесшусг теория линейных пространств и преобразований базисов и координат векторов в таких пространсзвах. Прн изучении линейных сисшм мы сразу жс знакомим читателя не только с обычной. но и с матричной формой записи системы и вывода формул Крамера. 8 зптьдисловик Изучение вещественных и комплексзгых евклидовых пространств завершается доказательствам теоремы А.
П. '1'ихонова об отыскании нормального резпения линейной системы. Нри изучении линейных операторов излагаются все основные асзтскгы спектршп,ной теории в конечпомерных евюзидовых пространствах. '!'сорсма о приведении матрицы к жордановой форме доказываещя с помощью предлозкенного Л.
Ф. Филипповым короткого ьзеюда, основанного на индукции Книга содержит специальную з:завь, посвященную итерационным методам, в которой с единой точки зрения рассматриваются важнейшие итерапионные методы решения линейных систем (явньш и гзеявньш методы простой итерации, метод Зейделя, метод верхней релаксации) и усзанавливакпся условия сходимосзи этих мезодов. Для общего неявного метода простой итерации выяснянтгся установленные А Л Самарским условия получения наиболее быстрой сходимости.
11риводится доказательство сходимости метода вращении для решения полной проблемы собствешгьзх значений Изложение теории Спщинейных и квадратичных форм завершается приведением к каноническому виду уравнений гиперповерхностей второго порядка в и-мерном пространстве При изучении тензо1юв, наряду с традициошп зм материалом, излагасшя важная щтя приложений тснзорная форма записи основных операций векторной алгебры. Здесь же даются понятия псевдоевклидова пространства, галилеевых координат и преобразования Лоренца Книга:завершается изложением элеменшв теории групп и их представлений. Следует отмстить, что дазпшя юппа примьзкает к нЛца:ппической геометрии», хотя может читаться и независимо от нес.
Лвюры приносзп глубокую благодарносзь Л. Н. Тихонову и А. П Свешникову за большое количество ценных замечаний, Ш Л Алимову вклад которого в эту книгу далеко вьппел за рамки обычного редактирования, Д. Д Кудрявцеву, С А. Ломову и особенно Л. Л Сама1зскому за весьма полезные критические замечания и цезпзые советы, В С Николаеву, Д Д Соколову и В В Шикину за большунэ помощь при написании некоторых разделов этой книги январь !974 ь. Е Илана, Ч Поянвк В этой книге мы будем иметь дело с внешне различными объектами: 1) с матрицами (или прямо)гольными таблицами из чисел), 2) с алгебраическими формами, включающими в себя так называемые линейные, билинейные и квадратичные формы, 3) с шк называемыми линейными (и, в частности, с евкпьдовглми) пространствами и с лвпешплми преобразованиями в таких пространствах.
Элементарные представления об этих объектах читатель имеет из курса аначитической геометрии. В самом деле, в курсе аиазгзтической геометрии изучались квадратные матрицы второго и третьего порядков и отвечающие этим матрипам определители. Линейная и квадратичная формы представляют собой соответственно однородную линейную и однородную квадратичную функции нескольких независимых переменных (например, координат вектора). Примером линейного пространства может служить совокупность всех геометрических векторов на плоскости (или в пространстве) с заданными операциями сложения этих векторов и умножения их на числа.
Если для совокупности таких векторов задано еще и скалярное произведение, то мы придем к понятию евклидова пространства. Примером линейного преобразования в таком пространстве может служизь переход от одного декартова прямоугольного базиса к другому. Несмотря на внешнее различие, перечисленные совокупности объектов тесно связаны между собой. болыпинство утверждений допускает равносильную формулировку для каждой из этих совокупностей Наиболее отчетливо эта связь вьвшляется при изучении произвольных линейных и евкчидовых пространств (гз линейных преобразований в таких пространствах). Однако более конкретная матричная трактовка результашв непосредственно связана с фактическими вычислениями (и, в частности, с решением линейных систем уравнений).
Именно поэтому мы начинаем наше рассмотрение с изучения матриц и неоднократно возвращаемся впоследствии к матричной трактовке результатов ГЛАВА 1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ В этой главе изучаются таблицы из чисел, называемые м а тр и ц а м и и играющие в дальнейшем важнейшую роль. Здесь вводятся основные операции иад матрицами и детально изучаются свойства так называемых оп р ел ел и те лей, являющихся основной числовой характеристикой квадратных матриц. ф 1. Матрицы ап агг .
° ° агл ам агг ° ° ° агл илн ,,... -,.) ап ам ° ° ° агл ам агг ° ° агл айаг ашг . . аул Впрочем, для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, А), либо символ )агг), а иногда и с разъяснением: А = )агг) = = (ал) (! = 1, 2, ..., т; 1 = 1, 2, ..., л).
Числа ап, входящие в состав данной матрицы, называются ее э л е м е н т а м и. В записи агг первый индекс г означает номер строки, а второй индекс 1 — номер столбца. В случае квадратной матрицы а,л агл ап ам агг агг (!.1) алг алг ° ° ° алл 1. Понятие матрицы. М а т р и ц е й называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество т строк и некоторое количество л столбцов. Числа т и л называются п о р я д к а м и матрицы. В случае, если т л, матрица называется к в а др а т н о й, а число т л — ее порядком. В дальнейшем для записи матрицы будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки: матрицы вводятся понятия главной и побочной диагоналей, Г л з в н о й д н а г о н а л ь ю матрицы (1.1) называется диагональ а„а„ ... ...
а„„, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижнийееугол.Побочной диагоиальютойжематрицы называется диагояаль а„аы-па ... ам, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. 2, Основные операции над матрицами н нх свойства. Прежде всего договоримся считать две матрицы р а в н ы и и, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают. Перейдем к определению основных операций над матрицами, а) Сложение матриц.
Суммой двух матриц А=~ам~(1 =1,2,...,т; 1=1,2,...,и) и В=)Ьц)(1 ° = 1, 2, ..., пц ! =* 1, 2, ..., и) одних и тех же порядков т и и называется матрица С ~с~~~ (1 = 1, 2, ..., т; ! !, 2, ..., и) тех же порядков т и и, элементы сп которой равны с» ам+Ьм(! 1,2, ...,т;! 1,2, ...,и). (1.2) Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
