Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ОпРеделители 1. Понятие определителя. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка гп ем етг °, . лга еы азз ° ° а А А ~ ы зв~ (1.9) то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное а„аза — атзазз и обозначаемое одним 1 ем пте1 из символов ') сь де1 А = ~ ~. Итак, по определению ~ азт аю ~' )пм етз) Ь=бе1 А=~ ' ) = аыазз — ама„. ) азт лаз) (1.10) Формула (1,10) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы.
Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1,9), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали "). В дальнейшем изложении мы будем говорить об элементах, строках или столбцах определителя, подразумевая под этими териииами соответственно элементы, строки или столбцы отвечающей атому определителю матрицы.
') В отличие от матрицы для обозначения определителя употребляют не :двоенные, а одинарные черточки. ") Напомннм, что г л а в и о й диагональю квадратной матрицы назы~аетея диагональ, йдущая нз левого верхнего в правый нижний угол (т, е. в случае матрицы (1.9) аыам), а п о 6 очно й — диагонале, идущая из левого «юкнего в правый верхний угол (т. е. а случае матрицы (1 91 ~~там). С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.
Если порядок и матрицы (1.8) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента ам и определителем первого порядка, соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента. Если далее порядок и матрицы (1.8) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [ГЛ. ! 18 ап а„ ал! илл а!и алл а = с$е1 А = (1А1) аи! а из ° ° алл Итак, по определению ап а,л ... а!л ам ам ° или = Е ( — 1) + а!!М!л (1 12) / ! ал! алл али Формула (1.12) представляет собой правило составления определителя порядка и по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам Мт элементов первой строки, являю! щимся определителями порядка и — 1. Заметим, что при и = 2 правило (1.12) в точности совпадает с правилом (1.10), ибо в этом случае миноры элементов первой ! ! строки имеют вид: М! = ам, Мг = аг!.
Естественно возникает вопрос, нельзя ли использовать для получения величины определителя (1.11) элементы и отвечающие им миноры не первой, а произвольной 1-й строки матрицы (1.8). Ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема. Перейдем теперь к выяснению понятия определителя л ю ° б о г о п о р я д к а и, где и ~ 2, Понятие такого определителя мы введем индуктивно, считая, что нами уже введено понятие определителя порядкз я — 1, соответствующего произвольной квадратной матрице порядка и — 1.
Договоримся называть м и н о р о м л ю б о г о э л е м е н т а аы матрицы и-го порядка (1.8) определитель порядка и — 1, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания !-й строки и 1-го столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент а„). Минор элемента а!! будем обозначать символом М,'. В этом обозначении верхний индекс обознзчает номер строки, нижний— номер столбца, а черта над М означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются. Определителем порядка и, соответствующим матрице (1.8),назовем число, равное Е ( — 1) +'а!, М! и обозначаемое ! ! символом $2) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Теорема 1.1.
Каков бы ни был номер строки((1 = 1, 2, ... „„п), для определителя п-го порядка (1.11) справедлива формула «) б =пе1А= ~ ( — 1)'~'анМ~, / =! (1.1 3) называемая разложен ием втоео определителя п о 2'-й с т р о ке. 3 а м е ч а н и е. Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число ( — 1), равен сумме номеров строки н столбца, на пересечении которых стоит элемент аоь Доказательство теоремы 1.1, Формулу (1.13) нужно доказать лишь для номеров ( = 2, 3, ...
° п "'). При и = 2 (т. е. для определителя второго порядка) эту формулу нужно доказать лишь для номера 1 = 2, т. е. при п = 2 нужно доказать лишь формулу Ь=бе1А = ~„'( — 1) ~~а21М~= — адМ~+а22М2. ! 2 ') По смыслу теоремы л ~ 2. «') Ибо пра 1 = 1 прапаа часть (1,13) по определеыыю раааа Ве1Я. Справедливость этой последней формулы сразу вытекает из выражений для миноров матрицы (1.9) М~ = а~2, М2 = ап, в силу которых правая часть этой формулы совпадает с правой частью (1,10). Итак, при и = 2 теорема доказана. Доказательство формулы (1.13) для произвольного и > 2 проведем по индукции, т.
е. предположим, что для определителя порядка и — 1 справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке, и, опираясь на это, убедимся всправедливостиформулы (1.13) для определителя порядка п. При доказательстве нам понадобится понятие миноров матрицы (1.8) порядка п — 2. Определитель порядка и — 2, соответствующий той матрице. которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания двух строк с номерами 1, и 12 и двух столбцов с номерами /2 и )„называется м и н о р о м (п — 2)-г о п о р я д к а и обозначается символом М,'„',. ьн Определитель и-го порядка Ь вводится формулой (1.12), причем в этой формуле каждый минор М~) является определителем порядка и — 1, для которого по предположению справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке.
Фиксирован любой номер 1 (1 = 2, З...„п), разложим в формуле (1,12) каждый минор М,' ио 1-й строке основного определителя (1.11) (в самом миноре М) эта строка будет (1 — 1)-й). млтрицы и опрвдзлитвли В результате весь определитель Л окажется представленным в виде некоторой линейной комбинации ') миноров (а — 2)-го порядка М/» с несовпадающими номерами / и /с, т.
е. в виде «') — ы (1,14) Для вычисления множителей Ом заметим, что минор М,!»! получается в результате разложения по (! — 1)-й строке «"') только следующих двух миноров (и — 1)-го порлды, отвечающих влемеитам первой строки матрица (1.8): минора М, и минора М» (ибо только эти два минора элементов первой строки содержат в с е с т о л б ц ы минора М/»). В разложениях миноров М/ и М» по указанной (! — Ц-й ! ! строке выпишем только слагаемые, содержащие минор М,'» (остальные не интересующие нас слагаемые обозначим многоточием). Учитывая при этом, что элемент а!» минора М/ стоит на пересе! чении (! — 1)-й строки и (й — 1)-го столбца этого минора '"'), ! а элемент ао минора М» стоит на пересечении (! — 1)-й строки и /-го столбца этого минора '*'*'), мы получим М! ( !)<»-и+и-и Ми + (1.15) М» = ( — 1) ат/М!»»+...
(1.16) Вставляя (1.15) и (1.16) в правую часть (1.12) и собирая коэф. фициеит при М',!», мы получим, что множитель О/» в равенстве (1.14) имеет вид О/» = ( — 1)<'+ '+1+»! (а!та!» — а,»ам], Для завершения доказательства теоремы покажем, что н правая часть (1.!3) равна сумме, стоящей з правой части (!.14), с теми же самыми значениями (1.17) для Оло Для этого в правой части (1.13) разложим каждый минор (и — 1)-го порядка М~/ п о не р в ой ст р о к е, В результате «) Напомним, что линейной комбинацией каких-либо величин вазывается сумма произведений зтнх величин на некоторые вещественные числа.
еч) Так как минор Мт!»! совпадает с М»/!, то мы переберем все миноры (л — 2)-го порядка с даниымн номерани строк 1 н й изменяя / от 1 до и и для каждого / беря все возможные» < /. "') В матрице (1.81 эта строка будет 1-8. ° "') Ибо в миноре М' отсутствуют первая строка и /-й столбец матрицы / (1.8) и / <».
чччч«) Ибо в миноре М»! отсутствует первая строка матрицы (1.8), а единстнеиный отсутствующий в этом миноре столбец матрицы (1,8] имеет номер й ~ /, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ г! вся правая часть (1.13) представится в виде линейной комбинации с некоторыми коэффициентами О,* тех же самых миноров М/»/ (1.18) М1 ( !)1+ !»-11 МК (1.19) М» = ( — 1) а!/ М/» + ..
— С 1+/ — П (!.20) Вставляя (1.19) и (1.20) в правую часть (1.13) и собнрая коэффициент при М,'», мы получим, что 6,» в сумме (!.18) определяется той же самой формулой (1.17), что н в равенстве (1.14), Теорема 1.1 доказана. Теорема 1.1 установила возможность разложения определителя и-го порядка по любой его строке.
Естественно возникает вопрос о возможности разложения определителя п-го порядка по любому его с т о л б ц у. Положительный ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема. Теорема 1.2. Каков бы ни был номер столбца ! О = 1, 2, ... ..., и), для определителя п-го порядка (1.11) справедлива формула Ь = 1)е1 А = ~ ( — 1)'+/ а//М/, ю ! (1.21) ') Ибо ! ( й и в миворе М' отсутствует Рй столбец матрацы (!.8). »') Ибо 1 ~ а, в у мивора М»1 отсутствует лашь а-й столбец матрацы (!.В). н нам остается вычислить множители О,„н убедиться в справедливости для ннх формулы (1.17). Для этого заметим, что минор М,» получается в результате 11 разложения по первой строке только следующих двух миноров (и — 1)-го порядка, отвечающих элементам 1-й строки матрицы (1.8): минора М/ и минора М» (ибо только этн два минора элементов 1-й строки содержат в се с т о л б ц ы минора М/»).
В разложениях миноров М' н М» по первой строке выпишем только слагаемые, содержащие минор М,» (остальные не интересующие нас слагаемые обозначим многоточием). Учитывая прн этом, что элемент ам минора М, стоит на пересечении первой строки и (я — 1)-го столбца ') этого мннора, а элемент а,/ минора М» стоит на пересечении первой строки и 1-го столбца **) этого минора, мы получим МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1гл, ! позмвоемая разложен ием этого определителя по 1му сптолбцу. До к аз а тел ь ств о. Достаточно доказать теорему для 1 = 1, т, е. установить формулу разложения по первому столбцу л Л = ~з~~ ( — 1)'+'апМ,', ! ! (1.22) нбо если формула (1.22) будет установлена, то для доказательства формулы (1.21) для любого 1 = 2, 3, ..., и достаточно, поменяв ролями строки и столбцы, дословно повторить схему рассуждений теоремы 1,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
