Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Итак, по определению Ь„ ь„ Ь„ Ь„ Е1 аи аи ° ° аи ам ам ... аяа Ь, Ь, (а,а+ Ьм) (ам+ Ь„) а 1 а,а . аша (ап + Ьп) (ам+ Ьи) (а,„+ Ь1„) (аул + Ьаа) а,+Ь,) (а а+Ь,) (а,„„+ Ьа ) см = Да» (1 = 1, 2, ..., т; ! = 1, 2, ..., и), (1.3) Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно: 1) переместительным свойством: А + В = В + А, 2) сочетательным свойством: (А + В) + С = А + (В+ С). Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.
б) Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А =!ац) (1=1,2, ..., т; = 1, 2, ..., и) на вещественное число Х называется матрица С = ~сц) (! = 1, 2, ..., т; ! = 1, 2, ..., и), элементы сы которой равны матэицы и опэвдалнтвли гд Для обозначения произведения матрицы на число используется запись С ХА или С АХ. Операция составления произведения матрицы на число называется у м и о ж е н и е м матрицы на это число. Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умноженне матрицы на число обладает следующими свойствами: 1) сочетательным свойством относительно числового множителя: (Хр) А = Х (рА); 2) распределительным свойством относительно суммы матриц: Х (А + В) ХА + ХВ; 3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (Х + р) А = ХА + рА.
3 а м е ч а и и е. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и и естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей В дает матрицу А. Для обозначения разности двух матриц используется естественнан запись: С А — В. Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С А + ( — 1) В. в) П е р е м н о ж е н и.е м а т р и ц.
П р о и з в е д е н и е м матрицы А ~ац( (1 = 1, 2, ..., т; / = 1, 2, ..., и), имеющей порядки, соответственно равные т и л, на матрицу В = (Ьо( (1 1, 2, ..., л; 1 = 1, 2, ... ° р), имеющую порядки, соответственнорзвныен и р, называется матрица С = )сц((1 = 1, 2, ..., т; 1 = 1, 2, ..., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р, и элементы ссь определяемые формулой сц — — Я ац(эи (1=1, 2, ..., т; 1=1, 2, ..., р). (1.4) ь-1 Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись С = А .В.
Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется п е р е м н о ж е н и е м этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на еслную матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В. В частности, оба,произведения А В и В А можно определить лишь в том случае, когда число столбцов А совпадает с числом строк В, а число строк А совпадает с числом столбцов В. При этом обе матрицы А.В и В А будут квадратными, но порядки их будут, вообще говоря, различными. Для того чтобы оба произведения А В и В А не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы А и В были квадратными матрицами одного и того же порядка. млтпицы Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В.
Это правило можно сформулировать и словесно: влемент с!» стоящий на пересечении (-й строки и /-го столбца матрицы С = А В, равен сумме попарных произведений соответ. ствующих влементов т-й строки матрицы А и (сго столбца матрицы В. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка а)х а!в~ )) Ь)х Ь!х) )) (а)тьх)+ ах! Ь!Д (аыЬ!я+ а!вьем а„а„'1Ь,! Ьм) 1(а,тЬ„+ ая! Ь!Д (а)!Ьхх+ амЬ,!) Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матрицу В: 1) сочетательное свойство! (АВ) С А (ВС); 2) распределительное относительно суммы матриц свойство: (А + В) С = АС + ВС или А (В + С) = АВ + АС.
Распределительное свойство сразу вытекает из формул (1.4) и (1.2), а для доказательства сочетательного свойства достаточно заметить, что если А ))а)!)) (! = 1, 2, ..., т; ! 1, 2, ..., п), В ~Ь!в)) ((=1,2,...,п; А=1,2,,,р), С=))ся!)) (й= = 1, 2, ..., р; 1 1, 2, ..., г), то элемент йи матрицы (АВ) С я (а у)1.4)р ма„Е (Е нЬ|) „, ° г юа тр пм я=! )=1 я / р л)вс) р ' я,-Е ц(Е ),,а,), л рюю~ш и )=1 я ! = й!) вытекает из возможности изменения порядка суммирования относительно ! и й.
Вопрос о перестановочном свойстве произведения матрицы А на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц А и В одинакового порядка (ибо, как указывалось выше, только для таких матриц А и В оба произведения АВ и ВА определены и являются матрицами одинаковых порядков). Элементарные при. меры показывают, что произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным сво)й)твом, В самом деле, если положить А = йо, )), В = ~ — 1! о1 - АВ - ~о о~, ° ВА = ~о ',~ Здесь мы укажем, однако, важные частные случаи, в которых справедливо перестановочное свойство *).
") две мятрнны, для проявведеняя которых спрвведлнво перестввовояное свойство, принято нявывять к о м м у т я р у )о щ ям в. матрицы н определители Среди квадратных матриц выделим класс так называемых д н а гон ал ь н ы х матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диагональная матрица порядка л имеет вид а, О ... о О ие ...
О (1.5) (1.6) т. е. сн = с) у Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами е(е = де = ... = И„= е( особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при «( 1, называется е д и н н ч н о й м а т р и ц е й и-го порядка и обозначается символом Е. Вторая матрица получается при д = О, называется нулевой матрицей л-го порядка и обозначается символом О. Таким образом, 0 0 0 0 е=~ 0 0 ... 1 0 0 В силу доказанного выше АЕ ЕА я АО = ОА.
Более того, из формул (1.6) очевидно, что АЕ = ЕА = А, АО = ОА = О. (1,7) Первая из формул (1.7) характеризует особою роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число ! при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но я элементарно проверяемое равенство ') А + О = О + +А =А. В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадратных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю). ') Это равенство является прямым следствием формулы (1.2), где е(„а„..., а„— какие угодно числа, Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е.
д, Ие то для любой квадратной матрицы А порядка и справедливо равенство А0 = 0А. В самом деле, обозначим символами са и са элементы, стоящие на пересечении 1-й строки и 1-го столбца матриц А0 и 0А соответственно. Тогда из равенства (!.4) и нз вида матрицы 0 получим, что сы = аое(, = апе(, с(; — — 4аа = е(апь матрицы ее) 3. Блочные матрицы. Предположим, что некоторая матрица А = ~ац~ при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется б л о к о и исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицы А = !А„а), элементами А,а которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер «блочного» столбца.
Например, матрицу а„аы аге ( аы аы а, аез аз ! а„а„ аы аи аы аы азз азе ! "зе азе 1 ам аее аы а,м ~ аез ам 1 аы азз а,з а,е ! а„а„ !Ам А1з! можно рассматривать как блочную матрицу А = ~ ~, эле- ~ Агз Аез 1' ментами которой служат следующие блоки: гз ~ы ате~ А ~~ ~ге аы ~ аы А,= аы ам азз аи аы 1 1 ага азе ! ае, аег ам, Агг =1 аез аее ° аы аез азе азз азе е) Прн этом блочные элементы ХАоа сами вычисляются по правилу умножения матрицы Аор на число Х. Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.
В самом деле, элементарно проверяется, что если матрица А ~ае!~ является блочной и имеет блочные элементы А з, то при том же разбиении на блоки матрице ХА = )Ха,т~! отвечают блочные элементы яА„а '). Столь же элементарно проверяется, что если матрицы А н В имеют одинаковые порядки н одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме матриц А н В отвечает блочная матрица с эле- млтгицы и опгедалитали 1б ментами С,,з = А„з + В„з (здесь А а н В„з — блочные элементы матриц А и В). Пусть, наконец, А н  — две блочные матрицы такие, что число столбцов каждого блока А,з равно числу строк блока Вз„ (так что при'любых а, 11 и у определено произведение матриц А„зВз). Тогда произведение С = АВ представляет собой матрицу с элементамн С „определяемыми формулой Сат Е АааВзт в Для доказательства этой формулы достаточно расписать левую и правую ее части в терминах обычных (числовых) элементов матриц А н В (предоставляем это сделать читателю).
В качестве примера применения блочных матриц остановимся на понятии так называемой п р я м о й с у м м ы квадратных матриц. П р я м о й с у м м о й двух квадратных матриц А и В порядков т н и соответственно называется квадратная блочная 1Л 01 матрица С порядка гп + а, равная С - ~ п~. Для обозначения прямой суммы матриц А и В используется запись С = А ® В.
Из определения прямой суммы матриц А н В очевидно, что эта сумма, вообще говоря, не обладает перестановочным свойством. Однако элементарно проверяется справедливость сочетательного свойства: (А Щ В) Ю С = А Э (В Ю С) С помощью свойств операций над блочными матрицами легко проверяются следующие формулы, устанавливающие связь между операцией прямого суммирования н операциями обычного сложения и перемножения матриц: (А,„Е А„) + (В,„Э В„) = (Ам + В„,) Щ (А„+ В„), (А 9 А„)(В„ЕВ„)=А В Е А„В„ (в этих формулах Ам и „— произвольные квадратные матрицы порядка гл, а А„и „— произвольные квадратные матрицы порядка л). Проверку этих формул мы предоставляем читателю.
й 2. Определители Целью настоящего параграфа является построение теории определителей любого порядка л. Хотя читатель (из курса аналитической геометрии) уже знаком с определителями второго и третьего порядков, мы будем вести изложение так, чтобы избег. нуть каких-либо ссылок. Знакомство с определителями второго и третьего порядков разве лишь облегчит восприятие излагаемого ниже материала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
