Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 10
Текст из файла (страница 10)
ральному числу и (сумма двух таких многочленов может ока- заться многочлеиом степени ниже и); в) множество всех многочленов степени, не превышающей натурального и, все коэффициенты которых положительны (эле- менты такого множества нельзя умножить на отрицательные веще- ственные числа). 3 а м е ч а н и е 2. Отметим, что элементы произвольного ли- нейного пространства принято называть в е к т о р а м и. То об- стоятельство, что часто термин евектор» употребляется в более узком смысле, при этом ие приводит к недоразумениям, а, напро- тив, взывая к сложившимся геометрическим представлениям, позволяет уяснить, а зачастую и предвидеть ряд результатов, справедливых для линейных пространств произвольной при- роды. 3 а м е ч а н и е 8. В сформулированном нами определении линейного пространства числа Л, р, , брались из множества в е щ е с т в е н н ы х чисел.
Поэтому определенное нами про- странствоестественноназвать в еще с т вени ы м л и и е йн ым и р о с т р а и с т в о м. При более широком подходе можно брать Л, р, ... иэ множества к о м и л е к с и ы х чисел. При этом мы придем к понятию к о м п л е к с н о г о л н н е й н о г о пространства. 2. Некоторые свойства произвольных линейных пространств. Из аксиом 1' — 8' в качестве логических следствий можно по- лучить ряд утверждений, справедливых для произвольных ли- ') В частности, нулевым влементом пространства С (о, Ь] является Функнии, тождественно равная нулю на сегменте о( ~( Ь.
понятие линейнОГО простРАнствА нейных пространств. В качестве примера установим два утвержденна. Теорема 2.1. В произвольном линейном пространстве существует единственнвтй нулевой элемент и длл каждого элемента х существует единственный противоположный элемент. Доказательство. Существование хотя бы одн о г о нулевого элемента утверждается в аксиоме 3'. Предположим, что существуют два нулевых элемента О, н О,. Тогда, полагая в аксиоме 3' сначала х 0„0 О„а затем х = 0„0 = О„мы получим два равенства О, + О, 0„0, + О, О„левые части которых (в силу аксиомы 1') равны. Стало быть, в силу транзитивности знака = равны и правые части двух последних равенств, т.
е. О, 0„ и единственность нулевого элемента установлена. Существование для каждого элемента х х о т я б ы о д н о г о противоположного элемента у утверждается в аксиоме 4'. Предположим, что для некоторого элемента х существует два противоположных элемента у, и р„так что х+у,= 0 и х+ у, О. Но тогда в силу аксиом 3', 2 и 1' у, у, + 0 = ут + (х+ у,) = (у, +х) + у, = 0 + у, =у, + 0 = у„т. е. у, = у„и единственность для каждого элемента х противоположного элемента доказанз. Теорема доказана.
Теорема 2.2. В произвольном линейном пространстве 1) нулевой элемент 0 равен произведению произвольного элемента х на вещественное число 0; 2) для каждого элемента х противоположный элемент равен произведению этого элемента х на вещественное число — 1. До к з з а тел ьс т во. 1) Пусть х — произвольный элемент, а у — ему противоположный.
Последовательно применяя аксиомы 3', 4', 2', 5, 1', 7' и снова 5' и 4', будем иметь х 0 = = х О + О = х О + (х + у) = (х О +х) + у = (х О + х.1) + +у=х(0+1) + у=х.1+у х+у=О, т.е..«Очи = О. 2) Пусть х — произвольный элемент, у ( — 1) х. Используя аксиомы 5', 7', 1' и уже доказанное равенство.«.0 О, получим равенство х+ у = х + ( — 1) х= 1 х+ ( — 1) х= 11 + ( — 1) )х = 0 х= х 0 = О, которое и доказывает (в силу аксиомы, 4'), что у — элемент противоположный х. Теорема доказана.
Отметим в заключение, что аксиомы 1' — 4' позволяют доказать существование и единственность р а з н о с т и любых двух элементов линейного пространства х и у, которая определяется как элемент х, удовлетворяющий условию е+ у х*). (Таковым элементом служит сумма и = х+ ( — 1) у.) ') Достаточно дословно повторить докааательство, данное в теории веитественных чисел (сн. выпуск «Основы иатематического аналнва», часть 1, гл. и» фв, п. 3). 1гл, з линеииыв пэостэьнства ф 2.
Базис и размерность линейного пространства 1. Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства. В курсе аналитической геометрии ') было введено понятие линейной зависимости векторов, а в п. 1 $ 3 предыдущей главы — понятие линейной зависимости строк (или, что то же самое, элементов пространства А", рассмотренного в примере 3 из п.
1 $1 настоящей главы). Обобщением этих понятий является понятие линейной зависимости элементов совершенно произвольного линейного пространства, к выяснению которого мы и переходим. Рассмотрим произвольное вещественное линейное пространство Й с элементами х, у, ..., я, .... Л и к е й н о й к о м б и и а ц и е й элементов х, у,..., з пространства )с мы будем называть сумму произведений этих элементов на произвольныг веществеиныв числа, т.
е, выражение вида ях+ру+" +уз, (2.1) где и, р, ..., у — какие угодно вещественные числа. Определение 1. Элементы х, у, ..., в пространства И называются л и н в й и о з а в и с и м ы м и, если найдутся пикив веществеккые числа а, р, ..., у, из которых хотя бы одно отлично от куля, что линейная комбинация элементов х, у, ..., и с указанными числами является нулевым элементов пространства й, т. г.
имеет место равенство ах+ ру+... +ух=О. (2.2) Элементы х, у, ..., я, не являющиеся линейно зависимыми, мы будем называть линейно независимыми. Дадим другое определение линейно независимых векторов, построенное на логическом отрицании содержания определения 1. Определение 2. Элементы х, у, ..., в пространства )с называютсялингйно независимыми, еслилииейнаякомбииация (2.1) является нулевым элементом пространства гс лишь при условии а = р = ...
= у = О. Теорема 2.3. Для того чтобы элементы х, у, ..., з пространства И были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных элементов. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть элементы х, у, ..., в линейно зависимы, т, е. справедливо равенство (2,2), в котором хотя бы одно нз чисел а, р, ..., у отлично от нуля. Пусть, ради определенности, а ~ О.
Тогда, поделив (2.2) на а и введя обозначения Х = —, ..., р = — — „, мы можем «) Си. выпуск «Аньлзтичесхья геометрия», гл. 2, э 1, п. 3. З Т! БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЯНОГО ПРОСТРАНСТВА в,=(1, 0,0, ...,0), в,=(0, 1,0, ..., 0), е, = (О, О, 1, ..., 0), (2.5) в, = (О, О, О, ..., !) являются линейно независимыми, а совокупность п элементов (2.5) и еще одного п р о и з в о л ь н о г о элемента х = (х„хе, ..., х„) пространства А' уже образует линейно зависимую систему элементов.
Рассмотрим линейную комбинацию элементов (2.5) с какими- либо числами а„ а„ а„ ..., а„. В силу аксиом эта линейная комбинация представляет собой элемент а,е,+аАв,+...+а„е„=(а„сгч, ..., а„), который является нулевым лишь при условии ат — — аэ ..„= = а, = О. Но зто и означает линейную независимость элементов (2.5). переписать (2,2) в виде х=Лу+... + ри, (2.3) а это и означает, что элемент х является линейной комбинацией элементов у, ..., г. 2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть один из элементов (например, х) является линейной комбинацией остальных элементов. Тогда найдутся числа Х, ..., и, такие, что справедливо равенство (2.3). Но это последнее равенство можно переписать в виде ( — 1)х+Ау+... +рх=0. (2.4) Так как из чисел ( — 1), Х, ..., р одно отлично от нуля, то равенство (2.4) устанавливает линейную зависимость элементов к, у, ..., л, Теорема доказана. Справедливы два элементарных утверждения: 1.
Если среди элементов х, у, ..., и имеется нулевой элемент, то эти элемента линейно эовисимэс В самом деле, если, например, х = О, то равенство (2.2) справедливо при а = 1, (1 = ... = =у О. 2. Если часть элементов х, у, ..., и являются линейно зависимыми, то и все эти элемента являются линейно зависимыми. В самом деле, если, например, элементы у, ..., и линейно зависимы, то справедливо равенство ру + ... + уя = О, в котором ие все числа 5, ..., у равны нулю.
Но тогда с теми же числами р, ..., у и с а = 0 будет справедливо равенство (2.2). В заключение рассмотрим вопрос о линейной зависимости элементов пространства А", введенного в примере 3 и. ! й 1. Докажем, что л элементов указанного пространства !гл. з лине яиыа пространства 48 Докажем теперь, что система, состоящая из и элементов (2.5) и еще одного п р о н з в о л ь н о г о элемента х = (х„х„..., х„) пространства А", уже является линейно зависимой.
В силу теоремы 2.3 достаточно доказать, что элемент х = (х„х„..., х„) предспимляет собой линейную комбинаиию элементов (2.5), а зто очевидно, ибо в силу аксиом ,х = (х„х„..., х„) = хье, + х,е, +... + х„е„. 2. Базис н координаты. Рассмотрим произвольное вещественное линейное пространство )г. Определение. Совокупность линейно независимых элементов вы в„..., в„пространства )г называется б а з и с о м этого пространслма, если для «аждого элемента х пространства )ч найдутся вещественные числа х„х„..., х„та«ие, что справедливо равенспмо (2.6) х = х,в, + х,в, +... + х„е„. При этом равенство (2.6) называется р а з л о ж е н и е и э л е м е н т а х п о б а з и с у е„е„..., е„, а числа х„х„..., х, называются к о о р д и н а т а и и элемента х (относнтельно базиса е„е„..., в„). Докажем, что каждый элемент х линейного пространства К может бьипь разложен по базису е„е„..., е„ед и н с т в гнин ы м с и о с о б о м, т.
е. координаты каждого элемента х относительно базиса в„е„..., в„определяются о д н о з н а ч н о. Допустим, что для некоторого элемента х наряду с разложением (2.6) справедливо еще и другое разложение потому же самому базису х = х(с! + хявг +... + х' е . (2.1) Почленное вычитание равенств (2.6) и (2.1) приводит нас к соотношению *) (х> — х)) в> + (хя — хя) вя +... + (хя — хя) вч — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
