Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 14
Текст из файла (страница 14)
! ыы договорвлвсь называть я е вырожденнойй. ") См. свойство 4' вз я, 4 4 2 гл. !. [гл. я лннаяные пРОстРАнстВА получим из последнего равенства Е1А1Г+ ЕаА11+... + Е„'А„Еай, откуда и, +~и;+ — неа+...++и (1= 1,2, ...,и) илн подробнее е = а е2+ д на+...+ — е', А11 А21 ° А«1 ° 1 Ь А 12 Ааа . Апа еа — е2 + а на + ... + а и,', (2,28) е„= — е1+ — еа+... + — е„'. Аап Аал ° Алл Формулы (2.28) и устанавливают, что обратный переход от базиса Е1, Еа, ..., Е,' К баЗИСу Е1, Еа, ..., Вп ОСущсетВЛястея С ПОМОЩЬЮ матрицы (2.27), обратной к матрице А.
Эту обратную к А матрицу мы кратко будем обозначать символом А-'. 2. Связь между преобразованием базисов и преобразованием соответствующих координат. Пусть, как н выше, базис ин е„... ..., е«преобразуется в базис е1, еа, ..., е„' с помощью невырожденной матрицы (2.28), так что обратное преобразование базисов задается матрицей (2.27). Пусть далее х — произвольный элемент рассматриваемого линейного пространства Я, (х„х„..., х„)— его координаты относительно первого базиса е1.
еа, ..., е„(ха, ха, ..., х„') — его координаты относительно второго базиса е1, еа, ..., и„', так что х = х;е1 + хаеа + ... + х„'е„ '= х1е1 + хаеа + ... + Х„е„. Подставив в это равенство вместо элементов и„ и„ ..., еп нх выражения, определяемые формулами (2.28), получим х= х(еа+ хаеа+... + х„'в„= х1 ~ ~ е1 + ~ е2+ + а и«) + 1' АН АП А«1 + ха ( — 1 и1+ а 61+ ° ° ° + — а е«) + + х„( — е'+ — еа+... + — е.'). / А1«Аал ° Апл ~ а а ''' а Из последнего равенства (в силу единственности разложения по базису е2, на, ..., и,') сразу же вытекают формулы перехода от координат (х„х„..., хп) относительно первого базиса к з гз пеаовглзовлние координлт пги праовглзовлнии злзисл ЕЗ координатам (х1, хг, ..., х„') относительно второго базиса: х~ = — х1 + —, хг+...
+ —, х„, Ан Ам Аа хе= — х~+ — хг+... + — х„, Аи лез Азп (2.29) х' = — х1+ — хе+... + — х . Ап~ Апз Аав л— а ° ° ° д ч. Формулы (2.29) показывают, что переход от координат (х„ хз, ..., х„) к координатам (х(, хз, ..., х„') осуществляется с помощью катрины Аи Аза Адн Ь Ь ''' Ь Агг Аи Аз~ Ь Л ' ' 6 Ал1 Аив А~и~ ь ь а гранспоннрованной к обратной матрице (2.27). Мы прнходим к следующему выводу: если переход от первого зозиса ко второму осуществляется с помощью невырожденной матрицы А, то переход от координат произвольного элемента зтносительно первого базиса к координатам этого элемента зтносительно второго базиса осуществляется с помощью матзицы (А ')', тронспонированной к обратной матрице А л. ГЛАВА 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Из элементарного курса и из курса аналитической геометрии читатель знаком с системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными и с системамн двух и трех линейных уравнений с тремя неизвестными ').
Целью настоящей главы является изучение системы произвольного числа не линейных уравнений с произвольным числом л неизвестных. Мы сначала установим необходимое и достаточное условие существования хотя бы одного решения (или, как говорят, с о вм е от н о с т и) такой системы, а затем займемся отысканием всей совокупности ее решений. В $4 главы 4 будет рассмотрен важный для приложений случай приближенного задания всех коэффициентов системы и ее свободных членов. Для этого случая будет изложен м е т о д р е г у л я р и з а ц и н А. Н. Тихонова, позволяющий найти так называемое н о р м а л ь н о е (т.
е. наиболее близкое к началу координат) решение указанной системы с точностью, соответствующей точности задания коэффициентов и свободных членов. В главе 6 будет дано представление о численных (итерационных) методах решения систем линейных уравнений. 5 1. Условие совместности линейной системы 1. Понятие системы линейных уравнений н ее решения. В общем случае система нт линейных уравнений с л неизвестными (или кратко л и н е й н а я си с те м а) имеет следующий вид: апх, + а„х, +... + анеле = Ь„ амх, + а х +... + ае„х„= Ь„ (3.1) аеахт + а~е»е +... + а„,„х„= Ь~. ') См.
вмпуск еАналнтнееская геометрия», дополнение к тлене 1. хслоаив созмвстности линвяноя систвмы 65 При этом через х,, х„..., х„обозначены неизвестные, подлежащие определению (число их я не предполагается обязательно равным числу уравнений т); величины адд, адм ..., а „, называемые коэффициентами системы, ивеличиныЬ„Ь„..., Ь, называемые с во боди ы м и ч л е н а м и, предполагаются известными.
Каждый коэффициент системы ац имеет два индекса, первый из которых 1 указывает номер уравнения, а второй !— номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Система (3.1) называется о д н о р о д н о й, если все ее свободные члены Ь„Ь„..„Ь,„равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов Ь„Ь„..., Ь,„отличен от нуля, то система (3.1) называется н е о д н о р о дн о й.
Система (3.1) называется к в ад р ат н о й, если число гп составляющих ее уравнений равно числу неизвестных и. Р е ш е н и е м системы (3.1) называется такая совокупность и чисел с„с„..., с„которая прн подстановке в систему (3.1) на место неизвестных х„х„..„х„обращает все уравнения этой системы в тождества.
Не всякая система вида (3.1) имеет решения. Так, система линейных уравнений х,+х,=1, хд+х,=2 заведомо не имеет ни одного решения (ибо если бы существовало решение этой системы, то при подстановке этого решения в левых частях обоих уравнений стояли бы одинаковые числа и мы получили бы, что 1= 2). Система уравнений вида (3.!) называется с о в м е с т н о й, если она имеет хотя бы одно решение, и н е с о в м е с т н о й, если у нее не существует ни одного решения.
Совместная система вида (3.1) может иметь или одно решение, нли несколько решений. Два решения совместной системы вида (3.1) с!~, сд, ..., с„ [н <н и] н с)", сдм', ..., с!" называютсЯ Различными, если наРУшаетсЯ Совместная система вида (3,1) называется о п р е д е л е н н о й, если она имеет единственное решение. Совместная система вида (3.1) называется н е о п р е д е л е ни о й, если у нее существуют по крайней мере два различных решения. Весьма удобно записывать линейную систему (3.1) в матричной форме. Для этого используем введенное в и.
2 э ! гл. 1 понятие произведения двух матриц (таких, что число столбцов первой из этих матриц равно числу строк второй из матриц). В качестве здак ез системы линеяных грхвнвння (гл, в перемножаемых матриц возьмем две матрицы: матрицу аи авв ат авв А= атв атв содержащую лв строк и л столбцов и составленную из коэффициентов при неизвестных (такую матрицу мы в дальнейшем будем называть о с н о в н о й м а т р и ц е й системы(3.1))и матрицу Х, содержащую и строк и 1 столбец, т.
е. один столбец вида хв хв (3.3) Согласно правилу перемножения двух матриц') произведение АХ матрицы (3.2) на матрицу (3.3) представляет собой матрицу, содержащую и строк н 1 столбец, т. е. один столбец следую. щего вида: анхв +аввх,+... +аввхи аввхв + авввв + ° ° + аввхв (3.4) атвхв+ атвхв+... + атихи Система равенств (3.1) означает, что этот столбец (3.4) совпадает со столбцом (3.5) Таким образом, в матричной записи систему (3.1) можно заменить одним эквивалентным ей матричным уравнением АХ В, (3.6) в котором матрицы А, Х и В определяются соотношениями (3.2), (3.3) и (3.5).
Решение матричного уравнения (3.6) заключается в отыскании такого столбца (3.3), который при заданной матрице (3.2) и заданном столбце правых частей (3.5) обращает уравнение (3.6) в тождество. В этом и в следующем параграфах мы выясним в отношении линейной системы (3.1) следующие три вопроса: 1) способ установления того, является система (3.1) совмесвной или нет, ')См. п. 2 $1 гл.
1, фориулу (!Л). э~1 УСЛОВИЕ СОВМЕСТНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 67 2) способ установления того, является система (3.1) (в случае ее совместности) определеннок или нет, 3) способ отыскания единственного решения совместной системы (3,!) (в случае ее определенности) и отыскания всех ее решений (в случае ее неопределенности). 2. Нетривиальная совместность однородной системы. Начнем с рассмотрения однородной линейной системы вида (3.1), т, е.
системы аых, +а„х, +... + а„,х„=О, ахех, + ахехх +... + а „х„= О, (3.7) амах,+а,х,+...+ а „х„=О, Сразу же отметим, что эта система всегда совместна, ибо она всегда обладает так называемым т р и в и а л ь н ы м (или н у л е ° вым) решением х,=х,=...=х„=О ), Возникает вопрос о том, при каких условиях однородная система (3.7) имеет, кроме указанного тривиального решения, еи(е и другие решения (т. е. является ен е т р ив и а л ь н о со вм е с т и о йъ). Этот вопрос решается довольно просто. Заметим, что существование нетривиального решения системы (3.7) эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы (3.2) (ибо линейная зависимость столбцов матрицы (3.2) означает, что существуют числа х„х„..., х„, не все равные нулю и такие, что справедливы равенства (3.7)). Но в силу теоремы 1.6 о базисном миноре линейная зависимость столбцов матрицы (3:2) будет иметь место тогда и только тогда, когда н е в се столбцы этой матрицы являются базис- ными, т.
е. тогда и только тогда, когда порядок г базисного минора матрицы (3.2) меньше числа и ее столбцов. Мы приходим к следующей теореме. Теорема 3.1. Однородная система (3.7) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг г матрицы (3.2) меньше числа и ее столбцов. Следствие. Квадратная однородная система *") имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю.
В самом деле, в случае квадратной однородной системы (3.7), т. е. при т = и ранг г матрицы (3.2) будет меньше числа т = и тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю. ') Действительно, подставив в систему (3.7) нули на месю всех неизвестных «, хх, ..., «и, мы обратим в тождества все уравнения втой системы. ~~) То есть система (3 7), у которой число уравнений и равно числу неизвестных л. системы лннейных уРАВнений [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
